Конспекты курса по функциональному анализу 2008

ВМиК, 4-й курс, 3-й потокКонспекты курса по функциональномуанализу1Косовец ДмитрийПетрушкина АнастасияРучкин Дмитрий 22008 годВерсия 0.4 — полный курс (лекции 1-13, параграфы 1-14)Отдельное спасибо тем, кто давал полезные советы и помогал исправлятьошибки: Гусейнову Алексею, Деревенцу Егору, Картавцу Евгению, КозловуКириллу, Кунцьо Степану, Маслову Дмитрию, Соловьёву Антону и др.12Литература по курсу:1. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк "Основы математического анализа, часть2 М., 1973.2. А.Н.

Колмогоров, С.В. Фомин "Элементы теории функций и функционального анализа М., 1976.3. Л.А. Люстерник, В.И. Соболев "Элементы функционального анализа М., 19511§1. Открытые и замкнутые множества на прямойРассматриваем пространство действительных чисел - R.Множество ⊂ R.Операции над множествами:∙ Объединение: = 1 ∪ 2 ;∙ Пересечение: = 1 ∩ 2 ;∙ Разность: = 1 ∖ 2 ;∙ Дополнение: { = R ∖ .Окрестностью точкику.называется любой интервал, содержащий эту точ-Точка называется предельной точкой множества , если в любой окрестности содержится хотя бы одна точка множества , отличная от точки.

Если точка множества не является его предельной точкой, то онаназывается изолированной точкой множества .Множество всех предельных точек называется его производным множеством и обозначается ′ .Возможны такие ситуации:∙ ′ ⊂ , тогда —замкнутоемножество;∙ ⊂ ′ , тогда —плотное в себе∙ = ′ , тогда —совершенноемножество.Определение. Множество ¯ = ∪ ства .множество;′называется замыканием множе-Примеры:{︂ }︂∞11. =, ′ = {0}, =1 — не замкнуто, не плотное в себе;2{︂ }︂∞12.

=∪ {0}, ′ = {0} =1 — замкнуто, не плотное в себе;3. = (, ), ′ = [, ] — не замкнуто, плотное в себе;4. = [, ], ′ = [, ] — совершенное;5. = Q,′ = R — не замкнуто, плотное в себе;6. = R,′ = R — совершенное;7. = ∅,′ = ∅ — совершенное;¯Для любого множества производное множество ′ и замыкание всегда будут являться замкнутыми. Объединение конечного числа замкнутых множеств — замкнутое множество, бесконечного числа — невсегда. Например:]︂1;1 ; =[︂=∞⋃︁ = (0, 1].=1Точка X множества E называется внутренней, если она принадлежит Eвместе с некоторой своей окрестностью.Множество E называется открытым, если все его точки внутренние.Пересечение конечного числа открытых множеств является открытыммножеством.Пересечение бесконечного числа открытых множеств, вообще говоря, открытым не является:(︂)︂1 1 = − ;; =∞⋂︁=13 = 0.Утверждение.

- замкнутое множество ⇒ { — открытое множество.Доказательство. Возьмём произвольную точку ∈ { . — замкну-тое множество ⇒ оно содержит все свои предельные точки. ̸∋ ⇒ не является предельной точкой . Это означает, что существует окрестность (), целиком принадлежащая { . Таким образом, точка является внутренней точкой { . В силу произвольности выбора в { этомножество является открытым. Утверждение. — открытое множество ⇒ { — замкнутое множество.Доказательство.

Предположим, что это не так. Тогда существует точ-ка 0 , предельная для { , но не принадлежащая ему. Следовательно,0 ∈ . — открытое множество, 0 ∈ ⇒ существует окрестность(0 ), целиком принадлежащая . Это противоречит тому, что 0 —предельная точка { . Значит, наше предположение неверно ⇒ { —замкнутое множество.

Объединение любого числа открытых множеств является открытым множеством.Пересечение любого числа замкнутых множеств является замкнутыммножеством.=⋂︀⇒{ = ∪ {Утверждение. Если E — открытое множество, а F — замкнутое, то ∖ — открытое множество. Если E — замкнутое множество, а F —открытое, то ∖ — замкнутое множество. ∖ = ∩ { . Доказательство.Теорема 1. Любое открытое множество на прямой может быть пред-ставлено в виде конечного или счетного объединения попарно непересекающихся интервалов.Пусть — открытое множество на прямой.

Введёмдля его точек бинарное отношение, считая, что ∼ , если существуеттакой интервал (, ), что , ∈ (, ) ⊂ .Очевидно, что это отношениерефлексивно и симметрично.Доказательство.Докажем его транзитивность. Пусть ∼ , ∼ . Тогда ∃(, ) : , ∈4(, ) ⊂ и ∃(, ) : , ∈ (, ) ⊂ .Получаем, что ∈ (, ), ∈ (, ) ⇒ < ⇒ (, ) ⊂ .Но тогда , ∈ (, ) ⊂ ⇒ ∼ — отношение транзитивно.Таким образом, отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно ⇒оно является отношением эквивалентности ⇒ распадается на непересекающиеся множества эквивалентных между собой точек:⋃︁=Для каждого введём точную нижнюю и верхнюю грани = inf , = sup (возможны случаи = −∞, = ∞). По определению , если, ∈ , то (, ) ⊂ . В любой окрестности от справа и в любойокрестности от слева есть точки из ⇒ содержит любой интервал(′ , ′ ), концы которого принадлежат (, ).

Следовательно, ⊃ (, );включение ⊂ (, ) очевидно. Отсюда = (, ).Выбрав в каждом из таких интервалов рациональную точку, мы установим взаимно однозначное соответствие между этими интервалами инекоторым подмножеством множества рационаьных чисел ⇒ число непересекающихся интервалов не более, чем счётно. Теорема доказана.

Следствие 1. Любое замкнутое множество на прямой получается удалением из прямой конечного или счетного числа интервалов.Следствие 2. Любое совершенное множество на прямой получается уда-лением из прямой конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов, концы которых не совпадают.Пример. Рассмотрим сегмент [0, 1]:(︂=1 2;3 3)︂(︂∪1 2;9 9)︂(︂∪7 8;9 9)︂∪ ... = [0; 1] ∖ ∞1111 ∑︁+2* +4*+ ··· =39273 =0(︂ )︂2=13Любое число из отрезка [0; 1] может быть представлено в троичнойсистеме следующим образом:1 2=+ 2 + ··· + + ...,3335где числа могут принимать значения 0, 1 и 2. У числа может быть неодно такое представление.

Заметим, что у чисел из множества существует хотя бы одно троичное представление,(︂ в котором)︂ {︂(︂ числа)︂ ̸= 1}︂∀.1 21 27 8Ведь в множество не входят интервалы;,;,( ; ) и3 39 99 9так далее, числа которых как раз соответствуют троичным представлениям, где часть коэффициентов равна единице. А для некоторых "граничных"чисел, входящих в и имеющих троичное представление с од1ним единичным коэффициентом (например, ), существуют соответству3ющие троичные представления, где нет единичных коэффициентов:1102002= + 2 + ··· + + ··· = + 2 + ··· + + ...33 333 33Таким образом, каждой точке множества можно поставить в соответствие последовательность 1 , 2 , . . .

, , . . . , где = {0; 2}. Совокупностьтаких последовательностей образует множество мощности континуума⇒ множество имеет мощность континуума. Кроме того, оно замкнутои является совершенным (по следствию 2).Множество называется канторовым множеством.§2. Измеримые множестваΔ = (, ), |Δ| = − Определение 1.Покрытием множества называется конечная илисчетная система интервалов, объединение которых содержит .() : ⊂∞⋃︁Δ=1Длина покрытия():() =∞∑︁|Δ |=1Внешняя мерамножества :||* = inf ()()Внешняя мера не обладает ни конечной, ни счётной аддитивностью.Свойства внешней меры:61. 1 ⊂ 2 => |1 |* 6 |2 |* .Этот факт следует из того, что любое покрытие 2 будет одновременно являться покрытием и для 1 .2. =∞⋃︀ ⇒ ||* 6∞∑︀| |* .Доказательство.

Фиксируем произвольное > 0. По определению=1=1меры как точной нижней грани, для любого номера найдётсяпокрытие ( ) множества системой интервалов {Δ } такое,что∞∑︁|Δ | < | |* + .2=1Рассмотрим =поэтому*|| 6 () 6∞⋃︀ ( ). является покрытием множества ,=1∞ ∑︁∞∑︁|Δ |=1 =1∞∞∑︁∑︁*| |* + .(| | + ) =<2=1=1Устремив к 0, получим требуемое неравенство.Введём понятие расстояния между множествами : = (1 , 2 ) = inf (, ) = | − |.∈1∈23.

> 0 => |1 ∪ 2 |* = |1 |* + |2 |*Из определения меры как точной нижней граниследует, чтоДоказательство.∀ > 0 ∃() = {Δ } :∞∑︁|Δ | < ||* +=12Разобьём каждый интервал покрытия () на интервалы длины,меньшей , а концы этих новых интервалов ("точки соприкосно2вения"), в свою очередь, покроем интервалами, общая сумма длинкоторых меньше . Таким образом,2̃︀ } :∀ > 0 ∃̃︀() = {Δ∞∑︁=17̃︀ | < ||* + ,|Δ̃︀ | <|Δ∀2̃︀ | < ∀, то интервалы Δ̃︀ , покрывающие точкиПоскольку |Δ21 , не содержат точек 2 , а интервалы, покрывающие точки 2 , несодержат точек 1 . А это значит, что покрытие ()̃︀распадаетсяна два непересекающихся покрытия ̃︀1 (1 ) и ̃︀2 (2 ). Тогда∞∑︁̃︀ | = (˜|Δ) = (˜1 ) + (˜2 ) > |1 |* + |2 |* .=1С другой стороны,∞∑︁̃︀ | < ||* + .|Δ=1Следовательно, |1 |* + |2 |* 6 ||* . Но по второму свойству внешней меры верно и неравенство |1 |* + |2 |* > ||* .

Итак, получаем,что |1 |* + |2 |* = ||* . 4. ∀ > 0 и ∀ ∃ — открытое, ⊃ : ||* < ||* + В качестве можно взять объединение всех интервалов, составляющих такое покрытие () множества , что() < ||* + Доказательство.Определение 2. Множество называется измеримым (по Лебегу), ес-ли ∀ > 0 найдётся открытое множество , содержащее и такое, что| ∖ |* < .