Конспекты курса по функциональному анализу 2008, страница 2

При этом || ≡ ||* называется мерой измеримого множества .Из определения меры Лебега и свойства 4 внешней меры следует, чтомера множества равна нулю тогда и только тогда, когда внешняя мерамножества равна нулю (|| = 0 ↔ ||* = 0).Теорема 1. Любое открытое множество на прямой измеримо, а его мераравна сумме длин составляющих его попарно не пересекающихся интервалов.Достаточно взять = . Поскольку множество —открытое, inf (()) будет достигнут на покрытии, совпадающем с разбиением на попарно непересекающиеся интервалы. Доказательство.Теорема 2. Сумма конечного или счётного числа измеримых множествявляется измеримым множеством.8Доказательство.

Пусть = ⋃︀ .∞ измеримо ∀, поэтому=1∀ > 0 ∀ ∃ — открытое, ⊃ , | ∖ |* <Рассмотрим =∞⋃︀.2 . Получаем, что ⊂ . Кроме того, если ∈=1( ∖ ), то ∋ ∀ и ∃ :∞⋃︀( ∖ ) ⊂( ∖ ). ∈ ⇒ ∈ ( ∖ ). Поэтому=1Из свойств внешней меры получаем, что*| ∖ | 6∞∑︁*| ∖ | < ∞∑︁2− = . =1=1Теорема 3. Любое замкнутое множество измеримо.Доказательство.а) Сначала рассмотрим случай, когда множество ограничено. По свойству 4 внешней меры ∀ > 0 ∃ — открытое, ||* < | |* + . Множество — замкнутое, поэтому множество ( ∖ ) является⋃︀∞открытым.

А этозначит, что оно представимо в виде суммы ∖ = =1 Δ попарно непересекающихся интервалов Δ .Для любого Δ = (, ) за Δ будем обозначать интервал Δ = ( + , −), а за Δ — сегмент Δ = [ + , − ] (имеется в виду, что < −,2в противном случае получаем пустые множества). Для каждого номера⋃︀⋃︀⋃︀=Δ и = определим множества =Δ , Δ .=1=1=1Так как ∀ > 0 и для всех множество не имеет общих точек смножеством , то в силу свойства 3 внешней меры| ∪ |* = | |* + | |* .Кроме того, ∀ > 0 и для всех множество ∪ содержится в ,поэтому| ∪ |* 6 ||* .Получаем, что| |* + | |* 6 ||* 6 | |* + .Так как мы рассматриваем случай ограниченного , то | |* < ∞.

Такимобразом, | |* 6 (∀ > 0 и для всех ). Последовательно переходя9в этом неравенстве к пределу при → 0 + 0 и → ∞, получим, что∞⋃︀| ∖ |* =|Δ | 6 . А это означает, что измеримо.=1б) Если множество не является ограниченным, то мы можем предста∞⋃︀вить его в виде суммы = , где = ∩ [−; ]. — замкнутое=1⇒ множество ∩ [−; ] тоже является замкнутым. Получаем, что каждое замкнуто и ограничено, а значит, и измеримо в силу пункта а).Но тогда и само множество тоже является измеримым по теореме 2.Таким образом, теорема полностью доказана.

Теорема 4. Если множество измеримо, то и его дополнение { измеримо.Доказательство. По определению измеримости ∀ ∈ R, > 0 найдётся открытое множество , содержащее и такое, что | ∖ |* <Тогда = { — замкнутое множество.1.Заметим, что ∀, ∀ ∖ = { ∖ {. Поэтому { ∖ = { ∖ { = ∖ . А это значит, что| ∖ |* = | ∖ |* <Рассмотрим множество =∞⋃︀1. . Так как {∖ ⊂ {∖ , то |{∖ |* 6=11. Поскольку это верно для любого , то |{ ∖ |* = 0, а,следовательно, это множество измеримо и |{ ∖ | = 0.|{ ∖ |* <Получаем, что { = ({ ∖ ) ∪ .

Множество ({ ∖ ) измеримо, множество также измеримо в силу теорем 2 и 3. Следовательно, { являетсяизмеримым множеством. Следствие. Для того, чтобы множество было измеримо, необходимои достаточно, чтобы для ∀ > 0 нашлось замкнутое множество ⊂ такое, что | ∖ |* < .Из теоремы следует, что измеримость множества эквивалентна измеримости множества { , то есть эквивалентна требованию∀ > 0 ∃ — открытое, ⊃ {, | ∖ {|* < .Доказательство.10В силу того, что {1 ∖ {2 ≡ 2 ∖ 1 ,это эквивалентно требованию∀ > 0 ∃ = { — замкнутое, ⊂ , |∖ |* = |{ ∖{|* = |∖{|* < ,a это выполняется по условию следствия.Теорема 5. Пересечение конечного или счётного числа измеримых множеств измеримо.Доказательство.⋂︀Пусть даны измеримые множества ⋃︀, , . .

. , их пе∞ресечение — = . Тогда верно равенство { ==1вательно, и равенство = {(∞⋃︀1∞2{ , а, следо-=1{ ). Для любого номера множества=1 измеримы ⇒ измеримы { ⇒ измеримо .Теорема 6. Если множества и измеримы, то множество ∖ такжеизмеримо.Доказательство.

Вытекает из предыдущих теорем и тождества ∖ ≡ ∩ { .Теорема 7 (-аддитивность меры). Пусть измеримое множество представимо в виде конечного или счётного объединения попарно не пересекающихся измеримых множеств. Тогда его мера равна сумме мерэтих множеств.Доказательство.а) Сначала рассмотрим случай, когда все ограничены.По следствию из теоремы 4 для любого > 0 и для каждого номера найдётся замкнутое множество ⊂ такое, что | ∖ | < (все2фигурирующие в доказательстве множества измеримы, поэтому вместовнешней меры будем писать просто меру).

Все множества ограничены, замкнуты и попарно не пересекаются, поэтому в силу свойства 3внешней меры для любого конечного выполняется равенство⃒⃒⃒ ⋃︁⃒ ∑︁⃒⃒| |.⃒ ⃒ =⃒⃒=1=1С другой стороны, = ( ∖ ) ∪ , поэтому | | 6 | ∖ | + | | <| | + . Получаем, что2⃒⃒⃒ ⋃︁⃒∑︁∑︁⃒⃒| | 6| | + = ⃒ ⃒ + .⃒⃒=1=1=111Так как сумма всех множеств содержится в , то для любого номера⃒⃒⃒ ⋃︁⃒⃒⃒⃒ ⃒ 6 ||.⃒⃒=1Но тогда∑︁| | 6 || + .=1Перейдём в этом неравенстве к пределу при → ∞, → 0.

Получаем,что∞∑︁| | 6 ||.=1∞⋃︀С другой стороны, = , поэтому в силу свойства 2 внешней меры=1∞∑︁| | > ||.=1Из двух последних неравенств следует, что∞∑︀| | = ||, а это и требо-=1валось доказать.б) Пусть теперь множества не обязательно являются ограниченными. Тогда введём в рассмотрение множества = ∩ ( − 1 6 || < ),которые будут являться ограниченными.Так как =∞ ∑︀∞∑︀ , то=1 =1|| =∞ ∑︁∞∑︁| | ==1 =1∞∑︁| |.=1Таким образом, теорема полностью доказана.Определение 3. Множество называется множеством типа , еслионо представимо в виде пересечения счётного числа открытых множеств∞⋂︀ ( = ), и множеством типа , если представимо в виде=1суммы счётного числа замкнутых множеств ( =∞⋃︀=112 ).Теорема 8. Для любого измеримого множества существует множество1 типа и множество 2 типа такие, что 1 ⊃ ⊃ 2 и |1 | =|| = |2 |.В силу измеримости и следствия из теоремы 4 длялюбого номера ∈ N ∃ ⊃ , ∃ ⊂ такие, чтоДоказательство.| ∖ | <Положим 1 =∞⋂︀ , 2 ==1∞⋃︀1,| ∖ | <1.

. Так как для любого номера =11 ∖ ⊂ ∖ , ∖ 2 ⊂ ∖ ,то верны неравенства|1 ∖ | <1,| ∖ 2 | <1.В силу произвольности это означает, что |1 ∖ | = 0 и | ∖ 2 | = 0, а,значит, |1 | = || = |2 |. §3. Измеримые функцииОбозначим символом [ () > ] множество[ () > ] = { ∈ : () > }.В дальнейшем мы рассматриваем только функции, определённые на измеримых множествах, и допускаем, что они могут принимать значения−∞, +∞.Определение 1. Функция (), определенная на измеримом множестве , называетсямножество.измеримой на , если ∀ ∈ R [ () > ] — измеримоеСвойства измеримых функций:1.

Для того, чтобы функция () была измеримой на множестве ,необходимо и достаточно, чтобы при любом ∈ R одно из множеств[ () > ],[ () 6 ],13[ () < ]было измеримо.Доказательство.Тот факт, что измеримость ∀ ∈ R множества [ () > ] являетсянеобходимым и достаточным условием измеримости функции ()на множестве , следует из следующих соотношений:[ () > ] =∞⋃︁[ () > +1],[ () > −1].=1[ () > ] =∞⋂︁=1Тот факт, что измеримость ∀ ∈ R множества [ () 6 ] являетсянеобходимым и достаточным условием измеримости функции ()на множестве , следует из соотношения[ () 6 ] = ∖ [ () > ].Тот факт, что измеримость ∀ ∈ R множества [ () < ] являетсянеобходимым и достаточным условием измеримости функции ()на множестве , следует из соотношения[ () < ] = ∖ [ () > ]. 2.

Если функция () измерима на множестве , то она измерима ина любом измеримом подмножестве 1 ⊂ .Это непосредственно следует из тождестваДоказательство.1 [ () > ] ≡ [ () > ] ∩ 1 .3. Если функция () измерима на множестве (при всех номерах∞⋃︀ ), то она измерима и на их объединении = .Доказательство. Это непосредственно следует из тождества=1[ () > ] =∞⋃︁ [ () > ].=14. Любая функция измерима на множестве меры 0 (так как любоеподмножество меры 0 имеет меру 0 и измеримо).Определение 2. Функции () и () называются эквивалентными на множестве , если |[ () ̸= ()]| = 0.145.

Если () измерима на множестве , то и любая эквивалентная ейна функция () измерима на .Рассмотрим множества 0 = [ () ̸= ()] и1 = ∖ 0 . В силу свойства 2 () измерима на 1 , () = () на1 ⇒ () измерима на 1 . С другой стороны, по свойству 4 ()измерима на 0 , так как это множество имеет меру 0 (в силу эквивалентности () и ()). Получаем, что () измерима на всём (в силу свойства 3). Доказательство.Определение 3.

Говорят, что какое-то свойство выполняется по-чти всюду на множестве , если множество точек, на которых этосвойство не выполняется, имеет меру 0.6. Если функция () непрерывна почти всюду на измеримом множестве , то она измерима на этом множестве.Обозначим через ⊂ подмножество всех точек разрыва ().

Поскольку () непрерывна на почти всюду, имеет меру 0. Поэтому в силу свойств 3 и 4 достаточно доказать измеримость () на множестве 1 = ∖ . В силу теоремы 8S2 существует множество 2 типа , содержащееся в 1 и такое,что |2 | = |1 | = ||. Опять же, в силу свойств 3 и 4 достаточнодоказать, что () измерима на множестве 2 . Но 2 является множеством типа , поэтому оно представимо в виде счётной суммызамкнутых множеств . На каждом из функция () являетсянепрерывной ⇒ при любом вещественном множество [ () > ]замкнуто, а значит, и измеримо.

Таким образом, () измерима навсех , поэтому она измерима и на 2 . Свойство доказано. Доказательство.Замечание. Эквивалентность () на множестве некоторой непрерывной функции следует отличать от непрерывности () почтивсюду на . Например, функция Дирихле{︃1, если ∈ Q() =0, если ∈/Qразрывна в каждой точке, но эквивалентна на сегменте [0; 1] непрерывной функции () ≡ 0 (поскольку на этом сегменте () ̸= ()только на множестве рациональных точек, которое счётно и потомуимеет меру 0) и, следовательно, является измеримой на [0; 1].Теорема 1. Пусть функция () измерима на множестве . Тогда функ-ции | ()|, · (), () + (где c = const) также измеримы на .