Конспекты курса по функциональному анализу 2008, страница 8

. . ,причём шар ( , ) не содержит точек ни одного из множеств 1 ,2 , . . . , . По теореме 1 существует точка ∈ , принадлежащая всемэтим шарам. Но тогда эта точка не принадлежит ни одному из множеств , объединением которых является ∋ . Мы получили противоречие⇒ наше предположение неверно. Теорема доказана. 58Рассмотрим оператор : → . Оператор называется сжимающим , если существует число < 1 такое, что для всех , ∈ справедливо неравенствоотображением (сжимающим оператором) на(, ) 6 (, ).Неподвижной точкойусловию = .оператора называется точка, удовлетворяющаяТеорема 3 (Принцип сжимающих отображений).

Пусть — пол-ное метрическое пространство, — сжимающее отображение на . Тогда имеет единственную неподвижную точку в .Фиксируем произвольный элемент ∈ и построимдля него итерационную последовательность { } следующим образом:Доказательство.1 = ,∀ > 1 = −1 .Заметим, что(2 , 1 ) = (1 , ) 6 (1 , ) = (, );...(+1 , ) 6 ( , −1 ) 6 (, ).Тогда(+ , ) 6 (+1 , ) + (+2 , +1 ) + · · · + (+ , +−1 ) 66 (, ) + +1 (, ) + · · · + +−1 (, ) = (1 − )(, ) 6(, ).=1−1−Так как < 1, то (+ , ) → 0 при → ∞. Это означает, что последовательность { } является фундаментальной. По условию — полноеметрическое пространство; следовательно, существует точка 0 ∈ , являющаяся пределом { } при → ∞.

Докажем неподвижность 0 :(0 , 0 ) 6 (0 , ) + ( , 0 ) == (0 , −1 ) + ( , 0 ) 66 (0 , −1 ) + ( , 0 ) → 0 при → ∞.Устремив к бесконечности, получим, что (0 , 0 ) = 0; следовательно,точка 0 действительно является неподвижной.Утверждение о том, что неподвижная точка единственна, докажем от59противного. Пусть существуют две неподвижных точки: = , = .Тогда(, ) = (, ) 6 (, ) ⇒ (, ) = 0,то есть = .

Теорема полностью доказана.Пример. Одним из применений принципа сжимающих отображений яв-ляется доказательство существования и единственности решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода. Пусть (, ) — действительная функция, (, ) ∈ 2 (Π), где Π — квадрат ( 6 , 6 ) (это усло∫︀ ∫︀вие, вообще говоря, можно заменить условием 2 (, ) < +∞),и пусть, кроме того, функция () ∈ 2 (, ).

Докажем, что тогда интегральное уравнение∫︁() = (, )() + ()имеет при достаточно малых значениях параметра единственное решение () ∈ 2 (, ).Рассмотрим соответствующий оператор∫︁ = (, )() + () = 1 + (),где 1 =∫︁(, )().Докажем, что оператор переводит каждую функцию () ∈ 2 (, )в функцию, также принадлежащую 2 (, ).

Так как () ∈ 2 (, ), тодостаточно доказать, что оператор 1 обладает тем же свойством.Так как (, ) ∈ 2 (Π), то при каждом фиксированном ∈ [, ] функция (, ), являясь функцией (), принадлежит пространству 2 ([, ]).Функция () также принадлежит 2 ([, ]). Но тогда и функции ((, )+()), ((, ) − ()) ∈ 2 ([, ]) ⇒ функции ((, ) + ())2 , ((, ) −())2 интегрируемы по на [, ] ⇒ функция (, )() = 41 (( + )2 − ( − )2 )также является интегрируемой по на [, ]. Следовательно, для всех60 ∈ [, ] существует интеграл∫︁() =(, )().Применяем к 2 () неравенство Коши-Буняковского:⎛ 2 () = ⎝⎞2∫︁(, )()⎠ 6Интеграл∫︀∫︁ 2 (, )∫︁2 ().2 () представляет собой некоторую постоянную.

Функция 2 (, ) интегрируема на Π, поэтому в силу теоремы Фубини функция∫︀ 2 (, ) интегрируема по на [, ]. Значит, и функция 2 () являетсяинтегрируемой по на [, ], причём справедливо неравенство⎛⎞∫︁∫︁ ∫︁∫︁⎝ 2 (, ) 2 ()⎠ . 2 () 661Оценим теперь (, ):(, ) =⎛∫︁⎡∫︁(, )() − ⎣⎜=⎝⎤2∫︁⎞ 21⎟(, )()⎦ ⎠ =⎛ ⎡⎤2 ⎞ 12∫︁ ∫︁⎜⎟= || ⎝ ⎣ (, )[() − ()]⎦ ⎠ 6⎡⎤⎡ ⎤ ⎞ 12∫︁∫︁ ∫︁6 || ⎝ ⎣ 2 (, )⎦ ⎣ [() − ()]2 ⎦ ⎠ =⎛⎛∫︁= || ⎝∫︁⎞ 21 ⎛ 2 (, )⎠ ⎝∫︁⎞ 12[() − ()]2 ⎠ =⎛∫︁= || ⎝∫︁⎞ 12 2 (, )⎠ (, ).Таким образом, при|| < (︂∫︀1∫︀)︂ 212 (, )мы находимся в условиях применимости принципа сжимающих отображений, то есть у оператора существует единственная неподвижнаяточка.

А это и означает существование и единственность решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода. Задача. Рассмотрим в произвольном метрическом пространстве оператор : : → ,(, ) < (, ).Можно ли обобщить теорему о неподвижной точке (другими словами, влюбых ли метрических пространствах оператор имеет неподвижнуюточку)?[Правильный ответ — нет]62Перейдём к рассмотрению нормированных пространств. в линейном пространстве называется непустое подмножество пространства , обладающее тем свойством, что длялюбых элементов , ∈ их линейная комбинация + также принадлежит .Линейным многообразиемОпределение 4.

Линейное многообразие в нормированном простран-стве называется подпространством, если оно замкнуто относительносходимости по норме.Теорема 4 (теорема Рисса). Пусть — подпространство в нормиро-ванном пространстве , не совпадающее с . Тогда для любого ∈ (0, 1)найдётся элемент ∈ ∖ , ‖‖ = 1 и такой, что ∀ ∈ ‖ − ‖ > 1 − .Выберем произвольный элемент 0 ∈ ∖ ( ∖ ̸=∅, так как — подпространство , не совпадающее с ). Рассмотримвеличину = inf ‖ − 0 ‖.Доказательство.∈От противного доказывается, что > 0 (если бы равнялось нулю, тосуществовала бы последовательность { }, ∈ , сходящаяся к 0 ∈/ ;тем самым нарушалась бы замкнутость относительно сходимости по норме).Таким образом, для любого > 0 найдётся элемент 0 ∈ такой, что0 − 0.0 < 6 ‖0 − 0 ‖ < + . Тогда выберем элемент =‖0 − 0 ‖Очевидно, что ‖‖ = 1.

То, что ∈/ , доказывается от противного (еслибы принадлежал , то и элемент ‖0 − 0 ‖ + 0 = 0 принадлежал бы , а этого быть не может). Проверим, что он удовлетворяет требуемомунеравенству:⃦⃦⃦0 − 0 ⃦⃦=⃦‖ − ‖ = ⃦ −‖0 − 0 ‖ ⃦⃦⃦⃦ 0 − (0 − ‖0 − 0 ‖) ⃦⃦> ==⃦⃦⃦ + ‖0 − 0 ‖1> 1 − . =1+63§7. Линейные операторыОпределение 1. Оператор , действующий из линейного нормированного пространства в линейное нормированное пространство над одним и тем же полем чисел (R или C), называется линейным оператором,если1. ∀1 , 2 ∈ (1 + 2 ) = 1 + 2 ;2. ∀ ∈ , ∀ ∈ R( ∈ C) = 1 .Определение 2.

Оператор: → называется непрерывным, еслииз сходимости последовательности { } к в пространстве следуетсходимость последовательности { } к в пространстве .Теорема 1. Для того, чтобы линейный оператор был непрерывным,необходимо и достаточно, чтобы он был непрерывен хотя бы в однойточке.Необходимость очевидна; докажем достаточность. Пустьв некоторой точке 0 ∈ оператор непрерывен: → 0 ⇒ →0 . Пусть теперь — произвольная точка пространства и → .Тогда − + 0 → 0 , поэтому в силу непрерывности оператора вточке 0( − + 0 ) = − + 0 → 0 .Доказательство.Из этого следует, что → .Пример.

Рассмотрим линейное пространство непрерывных на сегменте[0; 1] функций и оператор () = (0) на нём.1. Сначала введем метрику [0; 1] : ‖ ()‖ = max | ()|. В этой мет∈[0,1]рике оператор будет являться непрерывным, так как он непрерывен в нуле: если ‖ () − 0‖ → 0, то ‖ () − 0‖ = ‖ (0)‖ → 0.2. Теперь введём метрику 1 ([0, 1]) : ‖ ()‖ =∫︀10| ()|. Здесь непре-рывности уже не будет. Например, возьмём последовательностьфункций следующего вида:⎧⎪если = 0⎨,3 () = − 2 + если ∈ (0; 22 )⎪⎩0,если ∈ [ 22 , 1])64Тогда в нуле получаем ‖ () − 0‖ = ‖ ()‖ → 0, но при этом‖ () − 0‖ = ‖ (0) − 0‖ = ̸→ 0.Определение 3.

Оператор : → называется ограниченным, если найдётся константа такая, что для всех ∈ будет справедливонеравенство ‖‖ 6 ‖‖ . При этом минимальная из таких константназывается нормой оператора : ‖‖ ≡ = sup ‖‖.‖‖̸=0Теорема 2. Для того, чтобы линейный оператор был непрерывным,необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен.Доказательство. Сначала докажем необходимость. Пусть оператор непрерывен. Предположим, что он не ограничен (то есть "универсальной"константы не существует). Тогда найдётся последовательностьэлементов { } такая, что ‖ ‖ > ‖ ‖.

Введём в рассмотрение элементы. =‖ ‖Тогда‖ ‖ =1‖ ‖= → 0 при → ∞.‖ ‖С другой стороны,‖ ‖ =‖ ‖‖ ‖>= 1 ̸→ 0 = 0.‖ ‖‖ ‖Мы получили противоречие; следовательно, наше предположение неверно и оператор является ограниченным.Теперь докажем достаточность. Пусть линейный оператор ограничен,то есть существует константа такая, что для всех справедливо‖‖ 6 ‖‖. Пусть → при → ∞, то есть ‖ − ‖ → 0 при → ∞. Но тогда‖ − ‖ = ‖( − )‖ 6 ‖ − ‖ → 0 при → ∞,то есть оператор является непрерывным.В дальнейшем будем рассмаривать ограниченные операторы.

Покажем,‖‖что ‖‖ = sup ‖‖ (или, другими словами, ‖‖ = sup).‖‖61‖‖̸=0 ‖‖Действительно, если ‖‖ 6 1, то‖‖ 6 ‖‖‖‖ 6 ‖‖,65поэтому иsup ‖‖ 6 ‖‖.‖‖61С другой стороны, для любого > 0 существует элемент такой, что‖ ‖ > (‖‖ − )‖ ‖.(рассматриваем случай ‖‖ ≠ 0, ‖ ‖ ≠ 0).

Возьмём =Тогда‖ ‖ =.‖ ‖‖ ‖(‖‖ − )‖ ‖>= ‖‖ − .‖ ‖‖ ‖Так как ‖ ‖ = 1, тоsup ‖‖ > ‖ ‖ > ‖‖ − ,‖‖61поэтому sup ‖‖ > ‖‖. Но перед этим мы получили неравенство‖‖61sup ‖‖ 6 ‖‖. Эти два неравенства означают, что на самом деле‖‖61sup ‖‖ = ‖‖.‖‖61Утверждение. Пусть даны два линейных нормированных простран-ства, и . Тогда совокупность всех линейных операторов, действующих из в (будем обозначать её ( → )) образует линейноенормированное пространство.Линейность этого пространства очевидна (в качественулевого элемента выбирается нулевой оператор). Покажем, что выполняются аксиомы нормированного пространства. ‖‖ = sup ‖‖ > 0;Доказательство.‖‖61Если ‖‖ = 0, то ‖‖ = 0 для всех таких, что ‖‖ 6 1.

Но тогда = 0 и для всех , и, следовательно, = 0. Получили, что перваяаксиома выполняется.‖‖ = sup ‖‖ = || sup ‖‖ = ||‖‖,‖‖61‖‖61то есть вторая аксиома также выполняется.‖ + ‖ = sup ‖ + ‖ 6 sup ‖‖ + sup ‖‖ = ‖‖ + ‖‖.‖‖61‖‖6166‖‖61Таким образом, выполняется и третья аксиома, то есть пространство является нормированным. Теорема 3.

Пусть — линейное нормированное пространство, — банахово пространство. Тогда ( → ) — банахово пространство.Доказательство. Пусть дана фундаментальная последовательность линейных операторов { }:‖ − ‖ → 0 при , → ∞.Тогда для любого ‖ − ‖ 6 ‖ − ‖‖‖ → 0 при , → ∞.Следовательно, при каждом фиксированном последовательность { }является фундаментальной; в силу полноты пространства это означает, что { } имеет некоторый предел ∈ . Таким образом, каждомуэлементу ∈ ставится в соответствие элемент ∈ , то есть задаётсянекоторый оператор : → .Докажем его ограниченность. По условию ‖ − ‖ → 0 при , → ∞;значит,|‖ ‖ − ‖ ‖| 6 ‖ − ‖ → 0 при , → ∞,то есть числовая последовательность {‖ ‖} фундаментальна, а поэтомуи ограничена.

Значит, существует такая константа , что ‖ ‖ 6 длявсех . Следовательно, для всех справедливо и неравенство ‖ ‖ 6‖ ‖‖‖ 6 ‖‖. Получаем, что‖‖ = lim ‖ ‖ 6 ‖‖.→∞А это как раз и означает, что оператор является ограниченным. Кроме того, оператор , очевидно, линеен.

Таким образом, принадлежитрассматриваемому пространству линейных ограниченных операторов.Далее, для любого > 0 найдётся номер такой, что∀ ∈ , ‖‖ 6 1 ‖ − ‖ 6 ‖ − ‖‖‖ < , > 0; , > .Переходя в этом неравенстве к пределу при → ∞, получаем, что∀ ∈ , ‖‖ 6 1, ∀ > 67‖ − ‖ 6 .Но тогда для > ‖ − ‖ = sup ‖ − ‖ 6 .‖‖61Следовательно, линейный ограниченный оператор = lim в смысле→∞сходимости по норме в рассматриваемом пространстве линейных ограниченных операторов, поэтому это пространство является банаховым.

Следствие. Пространство , сопряжённое с линейным нормирован*ным пространством , является банаховым пространством.Теорема 4 (теорема Банаха-Штейнгауза, принцип равномернойограниченности). Пусть и — банаховы пространства, на которыхзадана последовательность линейных ограниченных операторов: ∈( → ). Тогда, если последовательность ‖ ‖ ограничена для любого ∈ , то последовательность норм операторов также будет ограниченной, то есть найдётся константа такая, что ‖ ‖ 6 .Предположим обратное.