Конспекты курса по функциональному анализу 2008, страница 10

Возьмём теперь произвольный элемент ∈ . Рассмотримэлемент. = 1‖‖Получаем, что ‖‖ = 1 . Поэтому найдётся последовательность { () } ⊂0 , сходящаяся к . Но тогда последовательность () = ()‖‖→ . 1При этом‖−1 () ‖ =‖−1 () ‖‖‖‖‖6 ‖ () ‖= ‖ () ‖,11то есть все () ∈ . Таким образом, пространство является всюдуплотным в .75Возьмём произвольный элемент ∈ ; пусть ‖‖ = . Найдём элемент1 ∈ такой, что‖ − 1 ‖ 6 , ‖1 ‖ 6 .2Это можно сделать в силу того, что ∈ (0, ) и множество (0, ) ∩ является всюду плотным в (0, ).

Аналогично найдём элемент 2 ∈ такой, что‖( − 1 ) − 2 ‖ 6 , ‖2 ‖ 6 .42Продолжая так далее, построим элементы ∈ такие, что‖ − (1 + 2 + · · · + )‖ 6Следовательно,∞∑︁ = lim→∞,2‖ ‖ 62−1. .=1Положим = , тогда−1‖ ‖ 6 ‖ ‖ 6.2−1∑︀Это означает, что последовательность { }, = =1 в силу полнотыпространства сходится к некоторому пределу ∈ при → ∞, таккак является фундаментальной:⃦ + ⃦⃦ ∑︁ ⃦⃦⃦‖+ − ‖ = ⃦ ⃦ < −1 .⃦⃦ 2=+1Следовательно, = lim→∞∑︁ ==1∞∑︁ .=1Тогда(︃ = lim∑︁→∞=1)︃= lim→∞∑︁=1 = lim∞∑︁→∞ = ,=1поэтому‖(−1) ‖ = ‖‖ =⃦⃦∞⃦∑︁⃦∑︁∑︁⃦⃦== lim ⃦ ⃦ 6 lim‖ ‖ 6 lim→∞ ⃦→∞⃦ →∞2−1=1=1=1= 2 = 2 ‖‖.76Это и означает, что оператор −1 является ограниченным.§9. Линейные функционалыЛинейный непрерывный оператор, значения которого принадлежат пространству R1 , называется линейным функционалом.

: → R1 .Теорема 1 (теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала). Пусть — линейное нормированное пространство, ⊂ -линейное многообразие, на котором задан линейный функционал ().Тогда () можно продолжить на всё пространство с сохранениемнормы, то есть на существует линейный функционал () такой, что:1. () = () на L;2. ‖ ‖ = ‖ ‖ .Доказательство.

А) Возьмём элемент ∈/ и рассмотрим множество 0 = (, 0 ) элементов вида = + 0 , где ∈ , а ∈ R —произвольное вещественное число. Очевидно,что 0 является линейныммногообразием. Докажем, что все его элементы однозначно представимыв виде + 0 . Допустим, имеются два представления0 = 1 + 1 0 = 2 + 2 0 ,причём 1 ̸= 2 (иначе из 1 + 1 0 = 2 + 1 0 следовало бы, что 1 = 2 ,то есть представление было бы единственным). Тогда2 − 1 = (1 − 2 )0⇒0 =2 − 1.1 − 2Но 1 , 2 ∈ , поэтому и 0 должен принадлежать , что невозможно.Мы получили противоречие; следовательно, наше предположение неверно и представления элементов 0 единственны.Возьмём два элемента 1 , 2 ∈ . Имеем (1 ) − (2 ) = (1 − 2 ) 6 ‖ ‖ ‖1 − 2 ‖ 6 ‖ ‖ [‖1 + 0 ‖ + ‖2 + 0 ‖].Отсюда (1 ) − ‖ ‖ ‖1 + 0 ‖ 6 (2 ) + ‖ ‖‖2 + 0 ‖.77Поскольку 1 и 2 — произвольные элементы , выбранные независимодруг от друга, тоsup { () − ‖ ‖‖ + 0 ‖} 6 inf { () + ‖ ‖‖ + 0 ‖} .∈∈Следовательно, существует вещественное число такое, чтоsup { () − ‖ ‖‖ + 0 ‖} 6 6 inf { () + ‖ ‖‖ + 0 ‖} .∈∈Возьмём теперь произвольный элемент ∈ 0 .

Он имеет вид = + 0 ,где ∈ и ∈ R однозначно определены. Введём новый функцинал(), определив его для элемента = + 0 равенством() = () − ,где — вещественное число, удовлетворяющее приведённому выше двойному неравенству.Очевидно, что функционал () является аддитивным ((1 + 2 ) =(1 ) + (2 )), а на совпадает с функционалом (). Докажем, что() ограничен и его норма совпадает с нормой ().Рассмотрим два случая:1.

> 0 :(︁ (︁ )︁)︁() = − 6 ‖ ‖ ‖ + 0 ‖ = ‖ ‖ ‖ + 0 ‖ = ‖ ‖ ‖‖.2. < 0 :(︁ (︁ )︁)︁() = − 6 − ‖ ‖ ‖ + 0 ‖ = ‖ ‖ ‖‖.Таким образом, неравенство () 6 ‖ ‖ ‖‖ справедливо для всех ∈ 0 .Заменяя в нём на (−), получим неравенство −() 6 ‖ ‖ ‖‖. Следовательно, и |()| 6 ‖ ‖ ‖‖. Это значит, что ‖‖ 6 ‖ ‖. Посколькуфункционал является продолжением функционала с на 0 , вернои неравенство ‖‖ > ‖ ‖. Следовательно, ‖‖ = ‖ ‖.Пространство называется сепарабельным, если в нем существует счётноевсюду плотное множество.Завершение доказательства теоремы проведём только для случая, когдапространство является сепарабельным.78B) Так как сепарабельно, в нем существует счётное всюду плотноемножество. Возьмём все элементы этого множества, не попавшие в , иперенумеруем их: 1 , 2 , . .

. . Построим соответствующие множества следующим образом:1 = (0 ; 1 ), 2 = (1 ; 2 ), . . . .Эти множества являются линейными многообразиями, поэтому мы можем построить функционал (), являющийся продолжением функцио∞̂︀ = ⋃︀ , причём ‖‖ = ‖ ‖.нала () с на =1Продолжим функционал () на всё пространство по непрерывности.̂︀, то в силу того, что ̂︀ всюду плотно вЕсли элемент ∈ , но ∈/ ̂︀ такая, что при , найдётся последовательность {˜ } элементов ˜ ∈ → ∞ ˜ → (‖˜ − ‖ → 0). Тогда|(˜ ) − (˜ )| = |(˜ − ˜ )| 66 ‖‖ ‖˜ − ˜ ‖ = ‖ ‖ ‖˜ − ˜ ‖ → 0 при , → ∞.Таким образом, последовательность {(˜ )} является фундаментальной,а потому сходится к некоторому пределу () = lim (˜ ).→∞Кроме того,|(˜ )| 6 ‖ ‖ ‖˜ ‖⇒| ()| 6 ‖ ‖ ‖‖.Из этого следует, что ‖ ‖ 6 ‖ ‖. Но, с другой стороны, функционал ()является продолжением функционала () с на , поэтому ‖ ‖ > ‖ ‖.Следовательно, ‖ ‖ = ‖ ‖.

Искомый функционал построен. Следствие 1. Пусть — линейное нормированное пространство, ̸ 0=— произвольный элемент . Тогда существует линейный функционал (), определённый на всём пространстве и такой, что01. ‖ ‖ = 1;2. | (0 )| = ‖0 ‖.Доказательство.Рассмотрим линейное многообразие = {0 }, где пробегает всевозможные вещественные числа. Множество является79подпространством пространства , определяемым элементом 0 . Определим на функционал () следующим образом: если = 0 , то() = ‖0 ‖.Очевидно, что1. (0 ) = ‖0 ‖;2. |()| = || ‖0 ‖ = ‖‖, откуда ‖‖ = 1Продолжая функционал () по теореме Хана-Банаха на всё пространство , получим функционал (), имеющий требуемые свойства.

Следствие 2. Пусть — линейное нормированное пространство, эле-менты 1 , 2 ∈ и 1 ̸= 2 . Тогда существует линейный функционал () такой, что (1 ) ̸= (2 ).Положим 0 = 1 − 2 . Тогда существование требуемого функционала вытекает из следствия 1.Доказательство.Теорема 2. Пусть — банахово пространство, { } — последовательность элементов ∈ такая, что последовательность { ( )} ограничена для любого функционала ∈ * . Тогда последовательность { }ограничена в , то есть существует константа > 0 такая, что ‖ ‖ 6 .Теорема 3.

Пусть — банахово пространство, на котором задана после-довательность линейных функционалов { }, причём при любом ∈ последовательность { } является ограниченной. Тогда найдётся константа > 0 такая, что ‖ ‖ 6 .Рассмотрим линейные функционалы в различных нормированных пространствах.1. Пусть = R — конечномерное пространство, а { }=1 — ортонормированный базис в нём. Тогда любой элемент ∈ R однозначнопредставим в виде∑︁= ,=1где — некоторые коэфициенты.

Следовательно, любой линейныйфункционал () в пространстве R однозначно представим в виде () =∑︁ ( ) ==1∑︁=180 ,то есть () однозначно определяется числами ( ) = , = 1, .2. Пусть = , > 1, — бесконечномерное пространство, а { }∞=1— ортонормированный базис в нём. Тогда представляет собойпространство элементов таких, что=∞∑︁∞∑︁ ,=1| | < +∞.=1Следовательно, любой линейный функционал () в имеет вид () =∞∑︁ ( ) ==1∞∑︁ ,=1то есть () однозначно определяется числами ( ) = , = 1, ∞.Выясним свойства чисел . Для этого рассмотрим последовательность { } элементов{︃∞∑︁sgn · | |−1 , 6 ; 1 1()() , где = =+ = 1.

0,>=1Тогда‖ ( )‖ =∑︁| | 6 ‖ ‖‖ ‖ ==1= ‖ ‖(︃ ∑︁)︃ 1| |(−1)=1Следовательно,(︃∑︁(︃= ‖ ‖∑︁)︃ 1| |.=1)︃ 1| |6 ‖ ‖,=1поэтому ‖‖ 6 ‖ ‖. С другой стороны, в силу неравенства Гёльдера⃒∞⃒ (︃ ∞)︃ 1 (︃ ∞)︃ 1⃒∑︁⃒∑︁∑︁⃒⃒ ⃒ 6| || |= ‖‖ ‖‖ .| ()| = ⃒⃒⃒=1=1=1Отсюда следует, что ‖ ‖ 6 ‖‖ .

Следовательно, ‖ ‖ = ‖‖ , то есть* = .813. Пусть = (), > 1. Можно показать, что линейный функционал (()) в () будет иметь вид∫︁ (()) = ()(),где () ∈ () — функция, однозначно определяемая по функционалу (()), причём ‖ ‖ = ‖‖ () , а * = .Определение 1. Последовательность { } элементов линейного нормированного пространства называется слабо сходящейся к элементу ∈ , если для любого линейного функционала ∈ * последовательность { ( )} сходится к () при → ∞.Утверждение (вытекает из следствия 1 к теореме Хана-Банаха).Слабый предел у последовательности может быть только один.Следствие из теоремы 2.

Слабо сходящаяся последовательность ограничена.Из сильной сходимости вытекает слабая сходимость, в силу неравенства| ( ) − ()| 6 ‖ ‖‖ − ‖.Из слабой сходимости, вообще говоря, сильная сходимость не вытекает (правда, в конечномерном пространстве эти сходимости равносильны, но в бесконечномерном пространстве это не так). Например, рассмотрим в пространстве , > 1, последовательность элементов =(0, . . . , 0, 1, 0, . . . ), где единица стоит на позиции с номером ; ( ) =∞∑︀ .

Ряд| | сходится, поэтому ( ) = → 0 = (0) при → ∞,=1то есть последовательность { } слабо сходится к нулю. Но сильной сходимости здесь нет, так как последовательность { } не является фундаментальной:1‖ − ‖ = 2 ̸→ 0 при , → ∞.Теорема 4. Для того, чтобы слабо сходящаяся последовательность { }в банаховом пространстве являлась сильно сходящейся, необходимо идостаточно, чтобы для всех ∈ * , ‖ ‖ 6 1, последовательность { ( )}сходилась равномерно.Сначала докажем необходимость. Если { } сильносходится к некоторому , то в единичном шаре ‖ ‖ 6 1 из неравенстваДоказательство.| ( ) − ()| 6 ‖ ‖ ‖ − ‖ 6 ‖ − ‖82вытекает существование для любого числа > 0 номера = () такого, что при > справедливо неравенство| ( ) − ()| < .Но это и означает равномерную сходимость последовательности { ( )}в единичном шаре ‖ ‖ 6 1.Теперь докажем достаточность. Пусть последовательность { ( )} сходится равномерно в единичном шаре ‖ ‖ 6 1, то есть для любого числа > 0 существует номер = () такой, что при > справедливонеравенство| ( ) − ()| < .Отсюда следует, что при > sup | ( ) − ()| 6 .‖ ‖61Применим следствие 1 из теоремы Хана-Банаха к элементу 0 = −.

Всилу этого следствия существует функционал () такой, что ‖ ‖ = 1,а ( − 0 ) = ‖ − 0 ‖. Но тогда‖ − 0 ‖ = ( − 0 ) 6 sup | ( ) − ()| 6 ,‖ ‖61что и означает сильную сходимость последовательности { } к .§10. Гильбертовы пространстваОпределение 1. Множество ством,еслиназывается гильбертовым простран-1. — линейное пространство над полем действительных или комплексных чисел.2. Каждой паре элементов , ∈ поставлено в соответствие число (, ), комплексное или действительное, называемое скалярнымпроизведением этих элементов и удовлетворяющее следующим аксиомам:a) (, ) = (, )∀, ∈ ;б) (, ) = (, )∀, ∈ , ∀ ∈ R или C;83в) ( + , ) = (, ) + (, ) ∀, , ∈ ;г) ∀ ∈ (, ) > 0; (, ) = 0 ⇔ = 0.√︀Число ‖‖ = (, ) будем называть нормой элемента .3. — полное в метрике (, ) = ‖ − ‖ пространство.4.