Конспекты курса по функциональному анализу 2008, страница 12

. , .Но тогда для произвольного > 0 существует такой номер (), что длялюбого номера > () справедливо неравенство| − | <одновременно для всех номеров , 1 6 6 (достаточно взять максимальный из таких номеров по всем 1 6 6 ). Но тогда элемент∑︀= и является искомым пределом последовательности { }, таккак=1‖ − ‖ =∑︁| − |2 < ,=1причем ∈ = (1 , . . . , ).

Таким образом, (1 , . . . , ) является подпространством. 92Теорема 4. В любом сепарабельном гильбертовом пространстве существует счетный ортонормированный базис.Доказательство. Пусть — сепарабельное гильбертово пространство.Тогда существует счетное всюду плотное множество элементов 1 , 2 , . . . ∈:(1 , 2 , . . .) = .В качестве первого элемента 1 искомой системы положим1 =1.‖1 ‖Соответствующая 1 линейная оболочка(1 ) = { 1 | ∈ }является подпространством в , поэтому по теореме 2ℎ2 = ℎ2 + 2 , ℎ2 ∈ (1 ), 2 ⊥ (1 ),где ℎ2 линейно независим с (1 ) (такой элемент существует в силу бесконечномерности пространства). Выберем в качестве второго элемента2 =2, (1 , 2 ) = {1 + 2 }.‖2 ‖Аналогично, для выбора третьего элемента находим элемент ℎ3 , линейнонезависимый с (1 , 2 ):ℎ3 = ℎ3 + 3 , ℎ3 ∈ (1 , 2 ), 3 ⊥ (1 , 2 ).В качестве 3 выбираем элемент3 =3,‖3 ‖и так далее.По построению 1 , 2 , . .

. — ортонормированная система. Она являетсябазисом, поскольку, опять же, по построению(1 , 2 , . . .) = (1 , 2 , . . .) = . Определение 4. Ортонормированная система в гильбертовом простран-стве называется полной, если не существует никакого элемента, кроме 0,93ортогонального всем элементам системы. Система называется замкнутой, если замыкание ее линейной оболочки совпадает со всем пространством.Таким образом, замкнутость равносильна полноте (в силу леммы 2).Теорема 5. Любые два сепарабельные гильбертовы пространства изометричны и изоморфны между собой.Доказательство.

Пусть , — произвольные гильбертовы простран12ства. Достаточно доказать, что 1 и 2 изометричны и изоморфны 2 ,тогда они будут изоморфны и изометричны друг другу. Следовательно,достаточно доказать, что любое гильбертово пространство H изоморфнои изометрично 2 .Возьмем произвольный элемент ∈ . По теореме 4 в существуетбазис и верно соотношение2‖‖ =∞∑︁2 ,=1где — коэффициенты Фурье разложения по этому базису. Тогда в 2существует элемент˜ = (1 , 2 , . . .

).Очевидно, что ‖˜‖ = ‖‖.Обратно, покажем, что любому элементу в 2 соответствует элемент в ,причем их нормы совпадают. Рассмотрим элемент ˜ = (1 , 2 , . . . ) ∈ 2 .Рассмотрим в пространстве последовательность =∑︁ .=1Эта последовательность будет фундаментальной (так как∞∑︀| |2 →=0, → ∞). В силу полноты существует элемент ∈ , являющийсяпределом этой последовательности:lim = .→∞В силу непрерывности скалярного произведения, (, ) = для любогономера k. Тогда ‖‖ = ‖˜‖.

94Теорема 6 (теорема Рисса — Фишера). 2изометричны и изоморфны.и 2 над одним полемТеорема 7 (о слабой компактности в H). Пусть — сепарабель-ное гильбертово пространство, { } — последовательность элементов такая, что ‖ ‖ < , > 0. Тогда существует подпоследовательность{ }, сходящаяся слабо.По теореме 4 в существует базис { }. Рассмотрим последовательность {( , 1 )}. Она ограничена, следовательно, изнее можно выделить сходящуюся подпоследовательность {(1 , 1 )}. Далее, можно выделить {2 } — подпоследовательность {1 }, такую, чтопоследовательность {(2 , 2 )} будет сходящейся.

Продолжая этот процесс, получим, что для любого номера существует подпоследовательность {2 } такая, что последовательность {( , )} будет сходящейся.Доказательство.Выберем следующую (диагональную) подпоследовательность:˜ = .Для неё последовательность {(˜ , )} будет сходящейся для любого базисного элемента .В силу замкнутости базиса { } для любого элемента ∈ ∀ > 0 ∃Ψ =∑︁ , ‖ − Ψ ‖ <=1.4Кроме того, для любого номера последовательность {(˜ , )} фундаментальна, так как она является сходящейся. Тогда найдется номер ()такой, что|(˜ − ˜ , )| <2 max166 одновременно для всех , 1 6 6 . Тогда|(˜ − ˜ , )| == |( − ˜ , Ψ ) + ( − ˜ , − Ψ ) 6 |(˜ − ˜ , Ψ )| + ‖˜ − ˜ ‖‖ − Ψ ‖ 6∑︁∑︁6 |(˜ − ˜ , )| + 2 ·=| ||(˜ − ˜ , )| + <42=1=1< max ·= .1662 max 16695Таким образом, последовательность (˜ , ) является фундаментальнойдля любого ∈ .Рассмотрим функционал () = lim (˜ , ).

По теореме Рисса-Фреше→∞(теорема 3) существует единственный элемент 0 ∈ такой, что () = (0 , ) ∀ ∈ .Тогда () = (0 , ) = lim (˜ , ), то есть 0 является слабым пределом→∞последовательности {˜ }.§11. Сопряженный оператор.Определение 1. Пусть задан линейный оператор : → , и — линейные нормированные пространства. Тогда для любого линейногофункционала () ∈ * определен функционал () = (), ∈ * .Таким образом, можно определить отображение* : * → * , обозначается = * ,называемое сопряженным оператором.Если сопряженный оператор существует, то он является линейным:( + )* = * + * .Теорема 1. Пусть , — линейные нормированные пространства изадан линейный ограниченный оператор : → .

Тогда существуетсопряженный оператор * : * → * , который также является линейным и ограниченным и ‖* ‖ = ‖‖.Существование и линейность следуют непосредственно из определения. Поэтому остается доказать, что сопряженный оператор ограничен и его норма совпадает с нормой оператора .Доказательство.С одной стороны,| ()| = |()| 6 ‖‖‖‖ 6 ‖‖‖‖‖‖.96Cледовательно, для любого ̸= 0 верно неравенство| ()|6 ‖‖‖‖;‖‖но тогда‖ ‖ = sup̸=0| ()|6 ‖‖‖‖‖‖и ‖ ‖ 6 ‖‖‖‖. Таким образом, сопряженный оператор ограничен и‖* ‖ 6 ‖‖.*С другой стороны, по следствию из теоремы Хана-Банаха о продолжении линейного функционала для любого элемента 0 ∈ существуетлинейный функционал 0 такой, что‖0 ‖ = 1 и 0 (0 ) = ‖0 ‖.Но тогда получаем, что‖0 ‖ = 0 (0 ) = 0 (0 ) 66 ‖0 ‖‖0 ‖ = ‖* 0 ‖‖0 ‖ 66 ‖* ‖‖0 ‖‖0 ‖ = ‖* ‖‖0 ‖.Отсюда вытекает, что ‖‖ 6 ‖* ‖. Следовательно, ‖* ‖ = ‖‖.Следствие.

Если операторы и являются сопряженными в гильбертовом пространстве , то для любых двух элементов , ∈ верно(, ) = (, * ).следует из теоремы Рисса — Фреше.*ДоказательствоОпределение 2. Образом оператора : → называется множествоIm = { ∈ | = }.Ядромоператора : → называется множествоker = { ∈ | = 0 }.Теорема 2. Пусть — гильбертово пространство, — оператор, действующий в , * — сопряженный к оператор. Тогда = Im ⊕ ker * .97Замечание. Очевидно, ker = ker , однако образ оператора, вообщеговоря, замкнутым не является.

В доказательстве же существенно используется тот факт, что Im является подпространством. Поэтому вформулировке фигурирует именно замыкание образа.Достаточно доказать, чтоДоказательство.⊥ker * = Im ,так как Im — подпространство и для любого подпространства L = ⊕ ⊥ .Рассмотрим произвольный элемент ∈ ker * . Для него верно * = 0.По следствию из теоремы 1 для любого элемента ∈ справедливо⊥(, ) = (, * ). Значит, ∈ Im ⊥ , откуда следует, что ∈ Im (доказательство проводится аналогично доказательству леммы 2 пара⊥графа 10).

Следовательно, ker * ⊆ Im .⊥Рассмотрим теперь произвольный элемент ∈ Im . Очевидно, ∈Im ⊥ . Для любого элемента ∈ справедливо (, ) = (, * ). Сдругой стороны, (, ) = 0, поэтому∀ ∈ , (, * ) = 0 ⇒ (* , * ) = 0 ⇒ ‖* ‖2 = 0 ⇒ * = 0.⊥Получаем, что ∈ ker * . Следовательно, Im ⊆ ker * . Таким обра⊥зом, Im = ker * . §12. Компактные и вполне непрерывные операторы.Определение 1.

Множество линейного нормированного простран-ства называется компактным, если любая последовательность элементов множества содержит подпоследовательность, сходящуюся кэлементу из пространства .Множество называется предкомпактным или относительно компактным, если любая последовательность элементов содержит фундаментальную подпоследовательность.98Определение 2.

Линейный оператор, действующий из линейного нор-мированного пространства в линейное нормированное пространство , называется компактным, если он любое ограниченное множество переводит в компактное.Линейный оператор, действующий из линейного нормированного пространства в линейное нормированное пространство , называется вполненепрерывным, если он любое ограниченное множество переводит в предкомпактное.В банаховом пространстве компактный оператор является вполне непрерывным, и наоборот (то есть, в банаховом пространстве компактностьравносильна предкомпактности).Всякое компактное множество ограниченно, но не всякое ограниченноемножество компактно.Ограниченный оператор компактное множество переводит в компактное.Если , — ограниченный и компактный операторы соответственно, то и являются компактными операторами.Критерий компактности в пространствах () и (), > 1 ( —замкнутое ограниченное множество):Множество ⊂ ()( ⊂ (), > 1) является компактным⇕1.