Конспекты курса по функциональному анализу 2008, страница 4

Поэтому существует inf = , который мы назовём верхним интегралом Лебега, и существует sup = ,который мы назовём нижним интегралом Лебега.Определение 1. Если = = , то функция () называется интегрина множестве .При этом называется интеграломот функции () по множеству и обозначается∫︁ = ().руемой по ЛебегуЛебегаРазбиение * = {* }=1 будем называть измельчением разбиения ={ }=1 , если для любого номера , 1 6 6 , найдётся номер () та*кой, что 1 6⋃︀ ()* 6 и ⊂ () . При этом, очевидно, выполняетсяравенство = .()=Точная верхняя грань подмножества * ⊂ всегда не превосходит точную верхнюю грань всего множества , поэтому для всех номеров ,для которых () = , справедливо неравенство * 6 .

Применим этонеравенство: * =∑︁* |* | ==1∑︁∑︁* |* | 6=1 ()=6∑︁∑︁=1 ()= |* |=∑︁=1∑︁()=|* |=∑︁ | | = .=1Таким образом, выполняются неравенства * 6 , * > (доказательство второго неравенства проводится аналогично).Разбиение будем называть произведением множеств 1 и 2 , если оносостоит из множеств, являющихся пересечениями всевозможных пар элементов 1 и 2 .Очевидно, что является измельчением 1 и 2 . Таким образом, длядвух произвольных разбиений 1 , 2 и их произведения справедливынеравенства 1 6 , 6 2 . Кроме того, 6 .

Из этих неравенствследует, что 1 6 6 6 2 , то есть 1 6 2 для любых двухпроизвольных разбиений 1 , 2 .23Фиксируем произвольное разбиение 2 . Так как для любого разбиения1 выполняется неравенство 1 6 2 , то 2 является одной из верхних граней множества {1 }, поэтому sup 1 = 6 2 . Но так как 6 2 для произвольного фиксированного нами разбиения 2 , то является одной из нижних граней множества {2 }, а это означает, чтоinf 2 = > .Итак, верхний и нижний интегралы Лебега связаны соотношением 6 .Теорема 1. Если функция () интегрируема по Риману на сегменте[; ], то она интегрируема по Лебегу на этом сегменте, причем интегралы Лебега и Римана от () совпадают.Римановское разбиение — частный случай разбиенияЛебега; точная верхняя грань подмножества не превосходит точной верхней грани всего множества, точная нижняя грань множества не превосходит точной нижней грани подмножества, поэтомуДоказательство.

6 6 6 .Интегрируемость функции () по Риману означает, что = = .Из этого следует, что = = = = = . Пример. Рассмотрим следующую функцию:{︃0, если ∈ Q ∩ [0; 1] () =1, если ∈ [0; 1] ∖ QОна не интегрируема по Риману на сегменте [0; 1], так как = 0, = 1.Разобьем сегмент [0; 1] на два множества:1 = Q ∩ [0; 1],2 = [0; 1] ∖ 1Тогда 1 = 1 = 0, 2 = 2 = 1. Поэтому⃒∑︀ = 2=1 | | = 1⃒⃒∑︀=> = 1. = 2=1 | | = 1 ⃒Таким образом, функция () не интегрируема по Риману на сегменте[0; 1], но является интегрируемой по Лебегу на этом же сегменте.24Теорема 2. Любая ограниченная и измеримая на измеримом множестве конечной меры функция () интегрируема по Лебегу на этом множестве.Положим = inf (), = sup (). С помощью то-Доказательство.чек = 0 < 1 < · · · < = разобьём сегмент [, ] на частичныесегменты [−1 , ] ( = 1, 2, .

. . , ) и введём обозначение = max ( − −1 ).166Разобьём множество на сегменты1 = [0 6 () 6 1 ], = [−1 6 () 6 ], = 2, .Такое разбиение = { }=1 множества называется лебеговским разбиением . Верхняя и нижняя суммы и , соответствующие лебеговскому разбиению , называются лебеговскими верхней и нижнейсуммой.Заметим, что для любого номера , 1 6 6 , справедливы неравенства−1 6 6 6 .Получаем, что∑︁∑︁( − −1 )| | 6 ||.( − )| | 60 6 − ==1=1Для любого разбиения справедливы неравенства 6 6 6 ,поэтому0 6 − 6 − 6 ||.В силу произвольности > 0 из этого следует, что = = .Свойства интеграла Лебега:1.∫︁1 = ||.Для доказательства достаточно заметить, что при () ≡ 1 = = || для любого разбиения множества .252.

Если функция () ограничена и интегрируема на множестве конечной меры и — произвольное вещественное число, то и функция () интегрируема на множестве , причём∫︁∫︁ () = ().Доказательство. Для произвольного разбиения = { } множества обозначим верхнюю и нижнюю суммы функции () символами и , а верхнюю и нижнюю суммы функции () —()()символами и . Тогда{︃{︃ при > 0 при > 0()() =, =. при < 0 при < 0Обозначим через и верхний и нижний интегралы функции (),()а через и () верхний и нижний интегралы функции ().Тогда{︃{︃ при > 0 при > 0() =, () =. при < 0 при < 0Так как () интегрируема на , справедливо равенство∫︁ = = ().А это значит, что()=()∫︁= (). 3. Если функции 1 () и 2 () ограничены и интегрируемы по Лебегуна множестве конечной меры , то функция 1 () + 2 () интегрируема по Лебегу на множестве , причём∫︁∫︁∫︁[1 () + 2 ()] = 1 () + 2 ().Доказательство.

Положим () = () + (). Пусть = { }12— произвольное разбиение множества . Для функции () обозначим через и точные грани на множестве , через и 26— верхнюю и нижнюю суммы разбиения , через и — верхнийи нижний интеграл Лебега. Аналогичные величины для функций1 () и 2 () обозначим теми же символами, но с верхними индексами (1) и (2) соответственно.Заметим, что точная верхняя грань суммы не больше суммы точных верхних граней слагаемых, а точная нижняя грань суммы неменьше суммы точных нижних граней слагаемых. Поэтому для любого номера (1)(2)(1)(2) + 6 6 6 + .Значит, для любого разбиения (1)(2)(1)(2) + 6 6 6 + .В свою очередь, это означает, что (1) + (2) 6 6 6 (1)+(2).В силу интегрируемости функций 1 () и 2 () на множестве ∫︁∫︁(1)(2)(1)(2) = = 1 (), = = 2 ().Из этого следует, что∫︁∫︁==1 () +2 ().Это и означает справедливость доказываемого свойства.4.

Если множество представимо в виде = 1 ∪ 2 , где 1 и 2— измеримые непересекающиеся множества конечной меры, функция () интегрируема по Лебегу на множествах 1 и 2 , то ()интегрируема по Лебегу и на множестве , причём∫︁∫︁∫︁ () = () + ().12Доказательство.

Заметим, что объединение произвольного раз-биения 1 множества 1 и произвольного разбиения 2 множества272 образует разбиение множества = 1 ∪ 2 . Обозначим верхние суммы (), отвечающие разбиениям 1 , 2 и , соответственночерез 1 , 2 и , а нижние суммы (), отвечающие разбиениям1 , 2 и , соответственно через 1 , 2 и .

Тогда = 1 + 2 , = 1 + 2 .Обозначим верхний и нижний интегралы функции () на множе(1)(2)стве 1 через и (1) , на множестве 2 — через и (2) , намножестве — через и . Тогда (1) + (2) 6 6 6 (1)+(2).В силу интегрируемости функции () на множествах 1 и 2∫︁∫︁(1)(2)(1)(2) = = (), = = ().12Из этого следует, что∫︁==∫︁ () +1 ().2Это и означает справедливость доказываемого свойства.5. Если функции 1 () и 2 () ограничены и интегрируемы на множестве конечной меры , и почти всюду на 1 () > 2 (), то∫︁∫︁1 () > 2 ().Доказательство. При любом разбиении множества нижняяинтегральная сумма функции () = 1 () − 2 () будет неотрицательна, поэтому > 0. В силу свойств 2 и 3 функция () интегрируема на , причём∫︁∫︁∫︁ () = 1 () − 2 ().Получаем, что∫︁∫︁1 () −2 () > 0,что и означает справедливость доказываемого свойства.284.2.

Интеграл Лебега от неотрицательной измеримойфункции на измеримом множестве конечной меры|| 6 +∞, () > 0Для любого > 0 положим{︃ (), если () 6 () = {, ()} =.,если () > Функция () называется срезкой функции (). Заметим, что для любой измеримой на множестве функции () её срезка также будет измеримой, поскольку для любого вещественного является измеримыммножество{︃[ () > ] при < [ () > ] =.∅при > Поэтому для любой измеримой на множестве функции () существует интеграл∫︁ = ().Определение 2.

Если существует конечный предел = lim , то →∞функция () называется интегрируемой по Лебегу на множестве конечной меры , а указанный предел называется интегралом от функции () по множеству и обозначается∫︁ = lim = (). →+∞Убедимся в том, что неотрицательная интегрируемая на множестве функция () может обращатся в +∞ только на подмножестве 0 ⊂ ,имеющем меру 0. Положим 0 = [ () = +∞]. В силу свойств 4 и 5предыдущего пункта выполняются неравенства∫︁∫︁∫︁ = () > () = > |0 |.00Поскольку () интегрируема на множестве , существует конечныйпредел = lim , поэтому из записанных неравенств следует, что →∞29|0 | = 0.Отметим, что для неотрицательных интегрируемых функций справедливы свойства 2–5, установленные в пункте 4.1 для ограниченных неотрицательных интегрируемых функций (доказательства проводятся аналогично, с использованием функций срезки, которые являются ограниченными).Теорема 3 (о полной аддитивности).

Пусть || < +∞, () > 0 и∞⋃︀измерима на , представимо в виде = , ∩ = ∅ при ̸= .=1Тогда справедливы следующие два утверждения:1. Если () интегрируема на , то () интегрируема на и справедливо равенство∫︁ () =∞ ∫︁∑︁ ().(*)=1 2. Если () интегрируема на и ряд в правой части (*) сходится,то () интегрируема на и (*) выполняется.Доказательство.а) Сначала докажем утверждения 1 и 2 для ограниченной неотрицательной интегрируемой функции (). Пусть существует константа такая,что | ()| 6 всюду на .

Положим =∞⋃︁ ,тогда | | ==+1Ряд∞⋃︁∞⋃︁| |.=+1| | = || — сходится,=1поэтому его остаток | | → 0 при → ∞.Тогда на основании свойств 1, 4 и 5∫︁ ()− ∫︁∑︁=1 ∫︁ () =∫︁ () 6 30 6 | | → 0 при → ∞.Это и означает правильность утверждений 1 и 2 в случае ограниченной ().б) Пусть теперь () — произвольная неотрицательная интегрируемаяфункция. Суммируемость () на каждом из множеств напрямуюследует из неравенства∫︁∫︁ () 6 ()и неубывания по интеграла в левой части этого неравенства.