Конспекты курса по функциональному анализу 2008, страница 3

Мно15жество [ () > ()] измеримо в том случае, если () — измеримаяфункция.Доказательство.1) Достаточно рассмотреть следующие соотношения, выполняющиесядля любого вещественного :{︃[ () > ] ∪ [ () 6 −], если > 0[| ()| > ] =,если < 0[ () + > ] = [ () > − ],{︃[ () > ], если > 0[ · () > ] =[ () 6 ], если < 0Из них следует, что [| ()| > ] и [ ()+ > ] являются измеримымимножествами, множество [ · () > ] измеримо при ̸= 0, поэтому соответствующие функции измеримы на (при = 0 функция · () ≡ 0и также является измеримой).2) Занумеруем все рациональные числа действительной оси, тогда⋃︁[ () > ()] = ([ () > ] ∩ [() < ]).Поэтому в случае измеримости функции () множество [ () > ()]также будет являться измеримым.

Теорема 2. Пусть функции () и () измеримы на множестве . Тогдафункции () ± (), () · (),множестве . ()(при () ̸= 0) также измеримы на()Доказательство. Рассмотрим следующее соотношение:[ () ± () > ] = [ () > ∓() + ].В силу теоремы 1 из него следует, что функции () ± () измеримы намножестве .{︃√[| ()| > ], если > 02[ () > ] =,если < 0Из этого неравенства вытекает, что функция 2 () является измеримойна .1 () · () = [( () + ())2 − ( () − ())2 ]416Так как измеримость квадрата измеримой функции только что была доказана, функция () · () также измерима на .Если ̸= 0, то⎧1⎪⎨[() > 0] ∩ [() < ], если > 01> ] = [() > 0],[если = 0⎪()⎩1[() > 0] ∪ [() < ], если < 01⇒ функция()Из этих соотношений вытекает измеримость функции () ·1 ()=также является измеримой на .()()Теорема 3.

Пусть E — измеримое множество, на котором определенапоследовательность измеримых функций (). Тогда () = lim ()→∞и () = lim () этой последовательности — измеримые функции.Доказательство. Рассмотрим функции→∞() = inf (),() = sup ().Они являются измеримыми на множестве , так как[() < ] =∞⋃︁[ () < ],=1[() > ] =∞⋃︁[ () > ].=1Теперь представим функции () и () в виде () = sup{inf ()}, () = inf {sup ()}.>1 >>1 >В силу измеримости функций () и () функции () и () такжеявляются измеримыми на .

Теорема 4. Пусть — измеримое множество, и на нем определена по-следовательность измеримых функций { ()}. Пусть { ()} почти всюду сходится к функции (). Тогда () измерима на .Пусть { ()} сходится к () на всюду, кроме множества 0 меры 0. Получаем, что () измерима на множестве ∖ 0Доказательство.17(в силу теоремы 3, поскольку на ∖ 0 функция () = lim () =→∞lim () = lim ()) и измерима на множестве 0 , так как оно имеет→∞→∞меру 0. Следовательно, () измерима на ( ∖ 0 ) ∪ 0 = .Определение 4. Пусть — измеримое множество, () ( = 1, 2, . . . ), () — измеримые, почти всюду конечные на множестве функции.Говорят, что последовательность { ()} сходится к () по мере намножестве , если для любого > 0lim |[| () − ()| > ]| = 0,→∞то есть если для любых > 0, > 0 найдётся номер = (, ) такой,что при любом номере > справедливо неравенство|[| () − ()| > ]| < .Теорема 5 (теорема Лебега).Пусть — измеримое множество конечной меры, функции () ( = 1, 2, .

. . ) и () измеримы и почтивсюду конечны на . Тогда из сходимости последовательности { ()} к () почти всюду на вытекает сходимость { ()} к () по мере намножестве .Рассмотрим множестваДоказательство. = [| ()| = +∞], = [| ()| = +∞], = ∖ [ lim () = ()],→∞ =∪∪∞⋃︁ .=1Тогда по условию теоремы || = 0 и всюду на множестве ∖ последовательность { ()} сходится к (), а все функции () и () имеютконечные значения.Фиксируем произвольное .

Рассмотрим множества = [| () − ()| > ], =∞⋃︁ ,=∞⋂︁=1=18 .Поскольку ⊂ , справедливо неравенство | | 6 | |, и для доказательства теоремы достаточно доказать, что | | → 0 при → ∞.Сначала докажем, что | | → || при → ∞. По построению +1 ⊂ для каждого номера , поэтому для любого ∖ =∞⋃︁( ∖ +1 ).=Заметим, что суммируемые множества попарно не пересекаются. Поэтому для каждого ∞∑︁| ∖ | =| ∖ +1 |.=В силу того, что множество имеет конечную меру, | ∖ | < ∞. Поэтому ряд∞∑︁| ∖ +1 ||1 ∖ | ==1сходится, а его остаток | ∖ | → 0 при → ∞. В силу того, что = ( ∖ ) ∪ , выполняется равенство | | = | ∖ | + ||. Поскольку | ∖ | → 0 при → ∞, то | | → || при → ∞.

Теперь длядоказательства теоремы достаточно доказать, что || = 0. В силу того,что || = 0, достаточно доказать, что ⊂ .Пусть 0 — любая точка, не принадлежащая . Тогда для произвольногофискированного нами > 0 найдётся номер = (0 , ) такой, что прилюбом > верно неравенство | (0 ) − (0 )| < . Это означает, чтопри > точка 0 ∈/ ⇒ при > точка 0 ∈/ ⇒ точка 0 ∈/ .Итак, любая точка, не принадлежащая , не принадлежит и . Это означает, что { ⊂ {. Следовательно, ⊂ .

Теорема доказана. Замечание 1.Ключевым в теореме Лебега является ограничение конечности меры множества . На множестве бесконечной меры из сходимостипочти всюду сходимость по мере, вообще говоря, не следует. Пример:{︃1, если ∈ [, + 1] () =0 иначеПолучаем, что1 () → () = 0 на R, но при этом |[| () − 0| > ]| = 1.219Замечание 2. Из сходимости по мере, вообще говоря, не следует сходимость почти всюду. Например, рассмотрим такую систему сегментов:1 = [0; 1][︂]︂[︂]︂112 = 0;, 3 = ; 122]︂[︂]︂[︂]︂[︂]︂[︂1 11 331, 5 = ;, 6 = ;, 7 = ; 1 и так далее.4 = 0;44 22 44Определим на сегменте [0; 1] последовательность функций { ()}, где{︃1, если ∈ () =0 если ∈ [0; 1] ∖ Получаем, что последовательность { ()} расходится в каждой точкесегмента [0; 1], но при этом сходится к функции () ≡ 0 по мере на этомже сегменте.Теорема 6 (теорема Рисса).

Пусть E — измеримое множество конеч-ной меры, функции () ( = 1, 2, . . . ) и () измеримы и почти всюдуконечны на . Тогда, если последовательность { ()} сходится к ()по мере на множестве , то из неё можно выделить подпоследовательность { ()}, сходящуюся к () почти всюду на множестве .Не ограничивая общности, можем считать, что функции () и () принимают конечные значения всюду на множестве (если это не так, то мы можем, как в доказательстве теоремы 5, исключить из рассмотрения множество меры 0, где эти функции не конечны).Доказательство.Последовательность { ()} сходится к () по мере на множестве ,поэтому для любого номера ∈ N найдётся номер такой, что для меры11множества = [| − ()| > ] справедливо неравенство | | < .2∞∞ 1∞∞⋃︀⋂︀∑︀∑︀1Положим = , = .

Тогда | | 6| | << −1 .2=1=== 2Таким образом, | | → 0 при → ∞. Как и в теореме 5, доказываем,что | | → || при → ∞. Тем самым мы получаем, что || = 0.Докажем, что подпоследовательность { ()} сходится к () всюду намножестве ∖ . Пусть — произвольная точка ∖ . Тогда не принадлежит при некотором = (). Но это означает, что не принадлежит множеству при всех > (). Таким образом, для всех1 > () | () − ()| < , то есть подпоследовательность { ()}20сходится к ().Теорема 7. Пусть E — измеримое множество конечной меры, функции () ( = 1, 2, . . . ), () и () измеримы и почти всюду конечны на ,последовательность { ()} сходится к () и к () по мере на .

Тогда () и () эквивалентны.В силу того, что { ()} сходится к () и к () помере на множестве , для любого > 0 справедливы неравенства⃒ [︁⃒ [︁ ]︁⃒⃒ ]︁⃒⃒⃒⃒⃒ | () − ()| > ⃒ = 0, ⃒ | () − ()| > ⃒ = 0.22Доказательство.Тогда в силу соотношения∀ > 0 [| () − ()| > ] ⊂(︂ [︁)︂[︁ ]︁ ]︁⊂ | () − ()| >∪ | () − ()| >,22для любого > 0 справедливо неравенство|[| () − ()| > ]| 6⃒ [︁ ]︁⃒⃒ ]︁⃒⃒ ⃒⃒ [︁⃒6 ⃒ | () − ()| > ⃒ + ⃒ | () − ()| > ⃒ = 0.22Следовательно,∀ > 0|[| () − ()| > ]| = 0.Далее, из соотношения∞⋃︁[︂]︂1 | () − ()| >[ () ̸= ()] ==1следует, что]︂⃒∞ ⃒ [︂∑︁⃒⃒1⃒.⃒ | () − ()| >|[ () ̸= ()]| 6⃒⃒=1Все суммируемые нормы в правой части равенства равны 0, поэтому|[ () ̸= ()]| = 0, а это означает, что функции () и () эквивалентны. Теорема 8 (теорема Егорова).Пусть — измеримое множество конечной меры, функции () ( = 1, 2, .

. . ) и () измеримы и почти21всюду конечны на , последовательность { ()} сходится к () почтивсюду на . Тогда для любого > 0 существует такое измеримое множество ⊂ , что | | > || − и на множестве последовательность{ ()} сходится к () равномерно.Теорема 9 (теорема Лузина).Пусть — измеримое множество конечной меры, функция () измерима на множестве . Тогда для любого > 0 существует множество ⊂ такое, что | | > || − , а функция() такая, что () = () на ("сужение" функции () на множество ), является непрерывной на .§4.

Интеграл Лебега4.1. Интеграл Лебега от ограниченной функции на измеримом множестве конечной меры| ()| 6 ,|| < +∞.Назовем разбиением множества конечный набор его подмножеств,попарно не пересекающихся и составляющих его в объединении: ∩ = ∅, ̸= ;⋃︁ = { }=1 . = ;=1Рассмотрим на измеримом множестве конечной меры произвольнуюограниченную функцию (). Для произвольного разбиения = { }=1множества обозначим символами и соответственно точнуюверхнюю и точную нижнюю грани функции () на множестве : = sup (), = inf ().∈∈Кроме того, определим верхнюю интегральную сумму и нижнююинтегральную сумму разбиения следующим образом: =∑︁ | |,=1 =∑︁ | |.=1Очевидно, что 6 при любом разбиении .Для любой ограниченной на множестве конечной меры функции ()как множество всех верхних интегральных сумм { }, так и множество22всех нижних интегральных сумм { } (отвечающих всевозможным разбиениям множества ) ограничено.