Павельева Е.Б., Томашпольский В.Я. Линейная алгебра (2010), страница 4

Из столбцов координат векторов составим⎛ 1 1 − 1⎞⎜⎟матрицу A = ⎜ 1 − 1 2 ⎟ . Поскольку det A ≠ 0 , то система векторов⎜ 0 0 − 1⎟⎝⎠f 1 , f 2 , f 3 линейно независима. Эта система образует базис в пространствеV3 , т.к. количество векторов в системе совпадает с размерностьюпространства V3 .б) Матрица A и есть матрица перехода от базиса e в базис f .

(1,−2,2) –координаты вектора x в базисе e = (i , j , k ) , ( x1 , x2 , x3 ) – координаты x в⎛ 1 ⎞⎛ x1 ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟базисе f = ( f 1 , f 2 , f 3 ) , т.е. X e = ⎜ − 2 ⎟ , X f = ⎜ x2 ⎟ . Подставив матрицы X e ,⎜ 2 ⎟⎜x ⎟⎝ ⎠⎝ 3⎠X f , A в формулу (3), получим СЛАУ, записанную в матричном виде:⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1 − 1⎞ ⎛ x1 ⎞⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ − 2 ⎟ = ⎜ 1 − 1 2 ⎟ ⋅ ⎜ x2 ⎟ . Решив эту систему методом Гаусса, получим⎜ 2 ⎟ ⎜ 0 0 − 1⎟ ⎜ x ⎟⎠ ⎝ 3⎠⎝ ⎠ ⎝x1 = 12 , x2 = − 32 , x3 = −2 . Итак, x = (12 , − 32 , − 2) в базисе f .133.

Доказать, что система многочленов f1 (t ) = t 2 + 1 , f 2 (t ) = −t 2 + 2t ,f 3 (t ) = t 2 − tобразует базис в пространствеP2 . Найти координатымногочлена g (t ) = −2t 2 + t − 1 в этом базисе.Решение. а) Найдем координаты заданных многочленов в базисе e = (1, t , t 2 )пространстваP2 :f1 (t ) = t 2 + 1 = (1,0,1) ,f 2 (t ) = −t 2 + 2t = (0,2,−1) ,Из столбцов координат многочленов составимf 3 (t ) = t 2 − t = (0,−1,1) .0⎞⎛1 0⎜⎟матрицуЛинейнаянезависимостьмногочленовA = ⎜ 0 2 − 1⎟ .⎜1 −1 1 ⎟⎝⎠эквивалентна линейной независимости столбцов матрицы A . Посколькуdet A ≠ 0 , столбцы матрицы A линейно независимы, следовательно, исистема многочленов линейно независима.

Поскольку количество линейнонезависимых многочленов совпадает с размерностью пространства P2 , этимногочлены образуют базис в пространстве P2 .б) Матрица A является матрицей перехода от базиса e к базису f .Многочлен g (t ) = −2t 2 + t − 1 имеет координаты ( −1,1,−2) в естественномбазисе e = (1, t , t 2 ) и координаты ( x1 , x2 , x3 ) в базисе f = ( f1 (t ), f 2 (t ), f 3 (t )) ,⎛ −1⎞⎛ x1 ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟т.е.

X e = ⎜ 1 ⎟ , X f = ⎜ x2 ⎟ . Пользуясь формулой (3) X e = A ⋅ X f , получим⎜ − 2⎟⎜x ⎟⎝ ⎠⎝ 3⎠0 ⎞ ⎛ x1 ⎞⎛ −1⎞ ⎛1 0⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜систему ⎜ 1 ⎟ = ⎜ 0 2 − 1⎟ ⋅ ⎜ x2 ⎟ , записанную в матричном виде. Решив⎜ − 2⎟ ⎜1 − 1 1 ⎟ ⎜ x ⎟⎠ ⎝ 3⎠⎝ ⎠ ⎝эту систему, получимx1 = −1 ,x2 = 0 ,x3 = −1 . Следовательно,g (t ) = (− 1, 0, − 1) в базисе f .Замечание. Координаты многочлена g (t ) = −2t 2 + t − 1 в базисе fможно найти вторым способом. Разложим многочлен по базисуg (t ) = λ1 ⋅ f1 (t ) + λ2 ⋅ f 2 (t ) + λ3 ⋅ f 3 (t ) ∀t ∈ (−∞,+∞) .

Подставив в равенствомногочлены и приведя подобные члены, получим∀t ∈ (−∞,+∞)− 2t 2 + t − 1 = λ1 ⋅ (t 2 + 1) + λ2 ⋅ ( −t 2 + 2t ) + λ3 ⋅ (t 2 −t )⇔t 2 ⋅ ( −2 − λ1 + λ2 − λ3 ) + t ⋅ (1 − 2λ2 + λ3 ) + ( −1 − λ1 ) ≡ 0∀t ∈ (−∞,+∞) .Поскольку система многочленов 1, t , t 2 линейно независима, толькотривиальная линейная комбинация этих многочленов может быть равнанулю. Приравнивая коэффициенты при t 2 , t , 1 нулю, получим СЛАУ14⎧− 2 − λ1 + λ2 − λ3 = 0⎪. Решив эту систему, получим λ1 = −1 , λ2 = 0 , λ3 = −1 .⎨ 1 − 2λ2 + λ3 = 0⎪− 1 − λ = 01⎩Следовательно, g (t ) = (− 1, 0, − 1) в базисе f .4.

Два базиса f = ( f 1 , f 2 , f 3 ) и g = ( g 1 , g 2 , g 3 ) в R 3 заданы своимикоординатами в некотором третьем базисе e в R 3 . f 1 = (1,1,0) , f 2 = (1,0,1) ,f 3 = (0,1,1) , g 1 = (1,1,1) , g 2 = (1,2,0) , g 3 = (−1,0,0) . Вектор x заданкоординатами в базисе g : x = ( 32 ,−2,3) . Найти координаты вектора x вбазисе f .⎛1 1 0⎞⎜⎟I способ. Te→ f = ⎜ 1 0 1 ⎟ – матрица перехода от e к f . Чтобы найти⎜0 1 1⎟⎝⎠матрицу перехода от f к g , надо найти координаты векторов базиса g вбазисе f .

Найдем координаты g 1 в базисе f . Вектор g 1 имеет координаты⎛1⎞⎜ ⎟(1,1,1) в базисе e и координаты ( x1 , x2 , x3 ) в базисе f , т.е. G1 e = ⎜1⎟ ,⎜1⎟⎝ ⎠⎛ x1 ⎞⎜ ⎟G1 f = ⎜ x2 ⎟ . Воспользовавшись формулой (3) G1e = Te→ f ⋅ G1 f , получим⎜x ⎟⎝ 3⎠⎛1⎞ ⎛ 1 1 0 ⎞ ⎛ x1 ⎞⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜СЛАУ, записанную в матричной форме: ⎜1⎟ = ⎜ 1 0 1 ⎟ ⋅ ⎜ x2 ⎟ . Решив эту⎜1⎟ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎜ x ⎟⎠ ⎝ 3⎠⎝ ⎠ ⎝⎛ x1 ⎞ ⎛ 12 ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟систему, получим ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 12 ⎟ – координаты g 1 в базисе f . Аналогично⎜x ⎟ ⎜1⎟⎝ 3⎠ ⎝2⎠⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1 0 ⎞ ⎛ x1 ⎞⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜найдем координаты g 2 в базисе f , решив систему ⎜ 2 ⎟ = ⎜ 1 0 1 ⎟ ⋅ ⎜ x2 ⎟ .⎜ 0⎟ ⎜0 1 1⎟ ⎜ x ⎟⎠ ⎝ 3⎠⎝ ⎠ ⎝3⎛ x1 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟Получим ⎜ x2 ⎟ = ⎜ − 12 ⎟ – координаты g 2 в базисе f .

Аналогично найдем⎜x ⎟ ⎜ 1 ⎟⎝ 3⎠ ⎝ 2 ⎠15координатыg 3 в базисе⎛ − 1⎞ ⎛ 1 1 0 ⎞ ⎛ x1 ⎞⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ 0 ⎟ = ⎜ 1 0 1 ⎟ ⋅ ⎜ x2 ⎟ .⎜ 0 ⎟ ⎜0 1 1⎟ ⎜ x ⎟⎠ ⎝ 3⎠⎝ ⎠ ⎝f , решив систему⎛ x1 ⎞ ⎛ − 12 ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟Получим ⎜ x2 ⎟ = ⎜ − 12 ⎟ – координаты g 3 в базисе f . Матрица перехода от f⎜x ⎟ ⎜ 1 ⎟⎝ 3⎠ ⎝ 2 ⎠к g имеет вид: T f → gбазисеX f = T f →gIIf,⎛ 12 32⎜= ⎜ 12 − 12⎜1 1⎝2 2опять⎛ 12⎜⋅ X g = ⎜ 12⎜1⎝2способ.Te→ f32− 1212− 12 ⎞⎟− 12 ⎟ . Чтобы найти координаты вектора x в1 ⎟2 ⎠воспользуемсяформулой(3):− 12 ⎞ ⎛ 32 ⎞ ⎛ − 154 ⎞⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜− 12 ⎟ ⋅ ⎜ − 2 ⎟ = ⎜ 14 ⎟ .1 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 5 ⎟2 ⎠ ⎝⎠ ⎝ 4 ⎠⎛1 1 0⎞⎜⎟= ⎜1 0 1⎟⎜0 1 1⎟⎝⎠–матрицапереходаотeкf,⎛ 1 1 − 1⎞⎜⎟Te→ g = ⎜1 2 0 ⎟ – матрица перехода от e к g .

Чтобы найти матрицу⎜1 0 0 ⎟⎝⎠перехода от f к g , воспользуемся формулой Te→ g = Te→ f ⋅ T f → g . Из этойформулыTe−→1 f⎛ 12⎜= ⎜ 12⎜− 1⎝ 2получим:12− 1212− 12 ⎞⎟1.2 ⎟1 ⎟2 ⎠⎛ 12⎜= ⎜ 12⎜− 1⎝ 2T f → g = Te−→1 f ⋅Te→ g .− 12 ⎞ ⎛1⎟ ⎜T f → g = Te−→1 f ⋅Te→ g− 12 12 ⎟ ⋅ ⎜111 ⎟ ⎜122 ⎠ ⎝Чтобы найти координаты вектора x в(3): X f = T f → g⎛ 12⎜⋅ X g = ⎜ 12⎜1⎝21232− 1212НайдемматрицуTe−→1 f :1 − 1⎞ ⎛ 12 32 − 12 ⎞⎟⎟ ⎜2 0 ⎟ = ⎜ 12 − 12 − 12 ⎟ .1 ⎟0 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 12 122 ⎠базисе f , воспользуемся формулой− 12 ⎞ ⎛ 32 ⎞ ⎛ − 154 ⎞⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜− 12 ⎟ ⋅ ⎜ − 2 ⎟ = ⎜ 14 ⎟ .1 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 5 ⎟2 ⎠ ⎝⎠ ⎝ 4 ⎠161.5.

Линейное подпространствоОпределение. Непустое подмножество L1 линейного пространства Lназывается линейным подпространством пространства L , есливыполнены следующие два требования.1. Сумма x + y любых двух элементов x и y подмножества L1принадлежит подмножеству L1 , т.е. ∀x , y ∈ L1 ⇒ x + y ∈ L1 .2. Произведение λx любого элемента x подмножества L1 на любоедействительное число λ принадлежит подмножеству L1 , т.е. ∀x ∈ L1 и∀λ ∈ R ⇒ λx ∈ L1 .Утверждение. Подмножество L1 , удовлетворяющее перечисленнымдвум требованиям, само является линейным пространством относительноопераций сложения элементов и умножения на действительное число,действующих в L .Примеры.1. В любом линейном пространстве L всегда имеются два линейныхLподпространства:самолинейноепространствоинулевоеподпространство, состоящее из одного нулевого элемента θ .

Этиподпространства называются несобственными. Все остальные линейныеподпространства называются собственными.2. Множество всех свободных векторов, параллельных даннойплоскости, образуют линейное подпространство пространства V 3 всехсвободных векторов трехмерного пространства.3.

Множество Pn всех алгебраических многочленов переменной x истепени, не превышающей n , образуют линейное подпространствопространства C [a, b ] всех функций, непрерывных на отрезке [a, b ] .Определение. Пусть e 1 , e 2 ,..., e k – совокупность элементов линейногопространства L . Линейной оболочкой элементов e 1 , e 2 ,..., e k называетсясовокупность всех линейных комбинаций этих элементов, т.е. множествовида{x1e1 + x2e 2 + ... + x k ek xi ∈ R, i = 1,2,..., k}. При этом говорят, чтолинейная оболочка натянута на векторыe 1 , e 2 ,..., e k .

Договоримсяобозначать линейную оболочку элементовсимволомe 1 , e 2 ,..., e kL(e 1 , e 2 ,..., e k ) .Справедливы следующие утверждения.Утверждение 1. Если e 1 , e 2 ,..., e k – элементы линейного пространстваL,толинейнаяоболочкаявляетсялинейнымL(e 1 , e 2 ,..., e k )подпространством пространства L .Утверждение 2. Линейная оболочка элементов e 1 , e 2 ,..., e k являетсянаименьшим подпространством, содержащим эти элементы.Утверждение 3.

Любое линейное пространство является линейнойоболочкой любого из своих базисов.17Теорема. Размерность линейной оболочкиL(e 1 , e 2 ,..., e k ) равнамаксимальному числу линейно независимых элементов в системе элементовe 1 , e 2 ,..., e k . Если элементы e 1 , e 2 ,..., e k линейно независимы, то размерностьлинейной оболочки L(e 1 , e 2 ,..., e k ) равна k , а сами элементы e 1 , e 2 ,..., e kобразуют базис линейной оболочки.Задачи. Проверить, является ли подмножество L1 линейногопространства L подпространством.1. L = R ∞ – линейноепространство последовательностей,∞L1 = {a n }∈ R : a n ≥ 0 ∀n ∈ N .Решение.

Данное подмножество не является подпространством, так как приумножении его элемента на отрицательное число мы получимпоследовательность {bn }: bn ≤ 0 для ∀n ∈ N , т. е. последовательность,которая не принадлежит L1 .{}b⎧⎫2. L = C [a, b], L1 = ⎨ f ( x ) ∈ C [a, b] : ∫ f ( x )dx = 0⎬ .a⎩⎭Решение. Данное подмножество является подпространством. Действительно,рассмотрим произвольные два элемента f ( x ) и g ( x ) подмножества L1 .Суммапринадлежитподмножествутаккакf (x ) + g (x )L1 ,bbb∫ ( f (x ) + g (x ))dx = ∫ f (x )dx + ∫ g (x )dx = 0 .aaПроизведениеαf ( x )∀α ∈ Raпринадлежит L1 , так какbbaa∫ (αf (x ))dx = α ∫ f (x )dx = 0 .Задачи для самостоятельного решения.1. В линейном пространстве L исследовать систему векторов налинейную зависимость.1) L = R 3 , a 1 = (1,5,2 ) , a 2 = (3,4,4 ) , a 3 = (1,2,1) .2) L = R 4 , a 1 = (− 1,5,2,4 ) , a 2 = (3,3,3,5) , a 3 = (8,−4,2,2 ) .3) L = R 5 , a 1 = (2,−3,1,5,0 ) , a 2 = (3,1,−4,−9,4 ) , a 3 = (7,−5,−2,1,6 ) .4) L = P2 ( x ) , f1 ( x ) = 5 x 2 − 14 x + 1 ,5) L = P3 ( x ) ,f 2 (x ) = 3x 2 − 4 x + 5 , f 3 (x ) = 2 x 2 + x + 7 .f1 ( x ) = x 3 + 3 x 2 + 2 x + 5 ,f 3 (x ) = 3x 3 + 8 x 2 + 4 x + 1.f 2 (x ) = 2 x 3 + 5 x 2 + x + 3 ,6) L = C (R ) , f1 ( x ) = e x , f 2 ( x ) = sh x , f 3 ( x ) = ch x .7) L = C (R ) , f1 ( x ) = cos x , f 2 ( x ) = cos 3 x , f 3 ( x ) = cos 3 x .8) L = C (0;+∞ ) , f1 ( x ) = ln x , f 2 ( x ) = ln ( x + 1) , f 3 ( x ) = ln (1 x + 1) .9) L = C (R ) , f1 ( x ) = e x , f 2 ( x ) = e 2 x , f 3 ( x ) = e 3 x .10) L = C (R ) , f1 ( x ) = cos x , f 2 ( x ) = cos 2 x , f 3 ( x ) = cos 3 x182.