Павельева Е.Б., Томашпольский В.Я. Линейная алгебра (2010), страница 6

В полной аналогии с векторной алгеброй, назовем угломϕ между элементами x и y произвольного евклидова пространства угол,косинускоторогоопределяетсясоотношением( x, y ) =( x, y ), ϕ ∈ [0, π ]. Данное нами определение углаcos ϕ =x ⋅ y( x , x ) ⋅ ( y, y )( x, y )корректно, т.к. в силу неравенства Коши-Буняковского (2) дробьx ⋅ yпо модулю не превосходит единицы.Решение. x = 12 + 2 2 + 32 + 4 2 = 30 , x0 = x ⋅13Задача.

Найти угол между f ( x) = x 4 и g ( x) = x 4 в C [0,1].2311( f ( x), g ( x) ) = ∫ x x dx = 1 ,20Решение.213g ( x) = ∫ ⎛⎜ x 4 ⎞⎟ dx =⎠0⎝2514, cos ϕ =34( x, y )x ⋅ y=1f ( x) = ∫ ( x 4 ) 2 dx =0154, ϕ = arccos15423,.Определение. Два ненулевых элемента евклидова пространстваx , y ∈ E называются ортогональными, если их скалярное произведениеравно нулю.По аналогии с векторной алгеброй, назовем сумму x + y двухортогональных элементов x и yгипотенузойпрямоугольноготреугольника, построенного на катетах x и y .Теорема Пифагора. В произвольном евклидовом пространстве квадратгипотенузы равен сумме квадратов катетов.Действительно, учитывая, что ( x , y ) = 0 , x = ( x, x ) , y = ( y, y ) , получимx+ y2= ( x + y , x + y ) = ( x , x ) + 2( x , y ) + ( y , y ) = x2.3.Ортогональныеиконечномерногоевклидоваортогонализации Грама-Шмидта22+ y .ортонормированныепространства.базисыПроцессОпределение.

Система ненулевых элементов x 1 ,..., x n евклидовапространства называется ортогональной системой, если любые дваэлемента этой системы ортогональны, т.е. (x i , x j ) = 0 при i ≠ j , i = 1,2,..., n ,j = 1,2,..., n .Определение. Система ненулевых элементов x 1 ,..., x n евклидовапространстваназывается ортонормированной системой, если этиэлементы попарно ортогональны и норма каждого из этих элементов равна⎧1, i = jединице, т.е. x i , x j = ⎨, i = 1,2,..., n , j = 1,2,..., n .0,ij≠⎩Теорема. Любая ортогональная(ортонормированная) системаненулевых элементов линейно независима.Следствие.

Вn -мерном евклидовом пространстве любаяортогональная (ортонормированная) система изn элементов образуетбазис.Определение. Базис евклидова пространстваe 1 ,..., e n называетсяортогональным базисом, если его элементы образуют ортогональнуюсистему, т.е. если (e i , e j ) = 0 при i ≠ j , i = 1, 2, ..., n , j = 1, 2, ..., n .Определение.

Базис евклидова пространстваe 1 ,..., e n называетсяортонормированнымбазисом,еслиегоэлементыобразуют()24ортонормированную систему, т.е. если(ei , e j ) = ⎧⎨10,, ii =≠ jj ,⎩i = 1, 2,..., n ,j = 1, 2,..., n .Примеры.1. В пространстве V2 векторы i , j образуют ортонормированныйбазис; в V3 векторы i , j , k образуют ортонормированный базис.2. В арифметическом линейном пространстве R n векторыобразуютe 1 = (1,0,...,0,0) ,e 2 = (0,1,...,0,0) ,…,e n = (0,0,...,0,1)ортонормированный базис.Теорема.

В любом конечномерном евклидовом пространствесуществует ортонормированный базис.Процесс получения из произвольного базиса f 1 , f 2 ,..., f k линейнойоболочки L( f 1 , f 2 ,..., f k ) ортонормированного базиса e 1 , e 2 ,..., e k той желинейной оболочки L( f 1 , f 2 ,..., f k ) называется процессом ортогонализацииГрама-Шмидта:1) g 1 = f 1 , e1 = g 1 / g 1 ;2) g 2 = f 2 − ( f 2 , e 1 ) ⋅ e 1 , e 2 = g 2 / g 2 ;e3 = g3 / g3 ;3) g 3 = f 3 − ( f 3 , e 1 ) ⋅ e 1 − ( f 3 , e 2 ) ⋅ e 2 ,…k) g k = f k − ( f k , e 1 ) ⋅ e 1 − ( f k , e 2 ) ⋅ e 2 − ... − ( f k , e k −1 ) ⋅ e k −1 , e k = g k / g k .Замечание.

Если из произвольного базиса f 1 ,..., f k линейной оболочкиL( f 1 , f 2 ,..., f k ) нужно получить ортогональный базис e 1 ,..., e k той желинейной оболочки L( f 1 , f 2 ,..., f k ) , то процесс ортогонализации можнопровести следующим образом:1) e1 = f 1 ;( f ,e )2) e 2 = f 2 − 2 1 ⋅ e1 ;(e1 , e1 )( f ,e )( f ,e )3) e 3 = f 3 − 3 1 ⋅ e1 − 3 2 ⋅ e 2 ;(e1 , e1 )(e 2 , e 2 )…( f ,e )( f ,e )( f ,e )k) e k = f k − k 1 ⋅ e1 − k 2 ⋅ e 2 − ... − k k −1 ⋅ e k −1 .(e1 , e1 )(e 2 , e 2 )(ek −1 , ek −1 )Задачи.1. Применить процесс ортогонализации к f 1 = (1,1,1,1) , f 2 = (3,3,−1,−1) ,f 3 = ( −2,0,6,8) . f 1 , f 2 , f 3 ∈ R 4 .Решение.

Убедимся, что векторастолбцовкоординатвекторовf 1 , f 2 , f 3 линейно независимы. Изсоставимматрицуf1 , f2 , f325⎛1 3 − 2 ⎞⎜⎟0 ⎟⎜1 3A=⎜. Поскольку ранг r ( A) = 3 , и матрица имеет ровно три1 −1 6 ⎟⎜⎜⎟⎟1−18⎝⎠столбца, столбцы матрицы A линейно независимы, поэтому и системавекторовf 1 , f 2 , f 3 линейно независима. Далее проведем процессортогонализации в три шага:1) e 1 = f 1 = (1,1,1,1) ;( f 2 , e1 ) = 1 ,2) ( f 2 , e 1 ) = 3 + 3 − 1 − 1 = 4, (e 1 , e 1 ) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 ,(e1 , e1 )( f ,e )e 2 = f 2 − 2 1 ⋅ e1 = (2,2,−2,−2) ;(e1 , e1 )( f 3 , e1 ) = 3 ,( f 3 , e1 ) = −2 + 0 + 6 + 8 = 12,(e1 , e1 ) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 ,3)(e1 , e1 )( f 3 , e2 )( f 3 , e 2 ) = −4 − 12 − 16 = −32, (e 2 , e 2 ) = 4 + 4 + 4 + 4 = 16 ,= −2 ,(e 2 , e 2 )( f ,e )( f ,e )e 3 = f 3 − 3 1 ⋅ e1 − 3 2 ⋅ e 2 = (−1,1,−1,1) .(e1 , e1 )(e 2 , e 2 )Итак, e 1 = (1,1,1,1) , e 2 = ( 2,2,−2,−2) , e 3 = ( −1,1,−1,1) .2.

Проверить ортогональность векторов e 1 = (1,−2,1,3) и e 2 = ( 2,1,−3,1) вевклидовом пространстве R 4 и дополнить их до ортогонального базиса.Решение. а) Поскольку(e1 , e 2 ) = 2 − 2 − 3 + 3 = 0 , векторы e1 , e 2ортогональны в R 4 . Найдем вектор e 3 ортогональный векторам e 1 , e 2 .⎧ (e , e ) = 0Вектор e 3 = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) удовлетворяет условиям ⎨ 1 3, т.е.

его⎩(e 2 , e 3 ) = 0⎧ x − 2 x 2 + x3 + 3 x 4 = 0координаты являются решением системы ⎨ 1. Решивxxxx2+−3+=0⎩ 1234⎛ x1 ⎞⎛1⎞⎛ − 1⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ x2 ⎟⎜1⎟⎜1⎟систему, получим ⎜ ⎟ = c1 ⎜ ⎟ + c2 ⎜ ⎟ ∀c1 , c2 . Для определения вектораx10⎜⎜ 3 ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟⎝1⎠⎝ 0⎠⎝ x4 ⎠e 3 = ( x1 , x2 , x3 , x 4 ) достаточно найти любое нетривиальное решение системы,например e 3 = (1,1,1,0) ( c1 = 1, c2 = 0 ).26б)Найдемвекторвекторам e 1 , e 2 , e 3 .

Вектор⎧ (e 1 , e 4 ) = 0⎪e 4 = ( x1 , x2 , x3 , x 4 ) удовлетворяет условиям ⎨(e 2 , e 4 ) = 0 , т.е. его координаты⎪(e , e ) = 0⎩ 3 4⎧ x1 − 2 x2 + x3 + 3x4 = 0⎪являются решением системы ⎨2 x1 + x2 − 3x3 + x4 = 0 . Решение системы имеет⎪x + x + x = 023⎩ 1e4ортогональный⎛ x1 ⎞⎛ − 1⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ x2 ⎟⎜1⎟видДляопределениявектора∀c1 .c=1⎜x ⎟⎜ 0⎟⎜⎜ 3 ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟x⎝1⎠⎝ 4⎠e 4 = ( x1 , x2 , x3 , x 4 ) достаточно найти любое нетривиальное решение системы,например e 4 = (−1,1,0,1) ( c1 = 1 ).Векторы e 1 = (1,−2,1,3) , e 2 = ( 2,1,−3,1) ,e 3 = (1,1,1,0) , e 4 = ( −1,1,0,1) образуют искомый ортогональный базис в R 4 .Перечислим свойства ортонормированного базиса.Пусть e 1 ,..., e n – ортонормированный базис в произвольном n -мерномевклидовом пространстве E ;x = ( x1 ,..., x n ) , y = ( y1 ,..., y n ) – двапроизвольных элемента этого пространства с заданными координатами вбазисе e 1 ,..., e n , тогда справедливы следующие утверждения.1.n( x, y ) = x1 y1 + ...

+ xn yn = ∑ xi yi ,т.е. в ортонормированном базисеi =1скалярное произведение любых двух элементов равно сумме произведенийсоответствующихкоординатэтихэлементов.Действительно,nnnn⎛⎞⎧1, i = j( x. y ) = ⎜⎜ ∑ xi ei , ∑ y j e j ⎟⎟ = ∑ xi y j (e i , e j ) = ∑ xi yi , т.к. ei , e j = ⎨.0,i≠j=1=1,=1=1ijiji⎩⎝⎠2. xi = ( x, e i ) , ∀i = 1,2,..., n , т.е.

координаты произвольного элемента вортонормированном базисе равны скалярным произведениям этого элементана соответствующие элементы базиса.Замечание. В произвольном базисе f 1 , f 2 ,..., f n n -мерного евклидовапространства E скалярное произведение двух элементов определяется(равенством( x, y ) = ∑ xi y j ( f i , f j )ni , j =1и)n( x, y ) ≠ ∑ xi yi .i =1Задачи для самостоятельного решения.1.

Проверить, задает ли формула ( x, y ) = x ⋅ y ⋅ sin ∠( x, y ) скалярноепроизведение в пространстве V3 , где ∠( x, y ) – угол между векторамиx и y.272. Доказать, что векторы x и y удовлетворяют соотношению( x, z ) = ( y, z ) для любого вектора z тогда и только тогда, когда x = y .3. В евклидовом пространстве R 5 найти угол между векторамиa = (3,−5,1,5,−2 ) и b = (4,0,−4,4,1) .4.

ВевклидовомпространствеC [0,1]найтиуголмежду4функциями f ( x ) = 3 x и g ( x ) = x .5. В евклидовом пространстве найти косинус угла между векторами a и22b , если a = 3 , b = 1 и a − 3b + 2a + 2b = 60 .6. В евклидовом пространстве найти 4a + b , если a = 2 , b = 1 иa − 3b = 4 .7. В евклидовом пространстве C [− l , l ] f ( x ) - четная функция, g ( x ) нечетная. Доказать, что функция f ( x ) ортогональна функции g ( x ) .8. В евклидовом пространстве C [0, ln 2] найти a ∈ R , при которомфункция f ( x ) = e 2 x ортогональна функции g ( x ) = e x + a .9. В евклидовом пространстве C [0, π ] найти a ∈ R , при котором функцияf ( x ) = 3 sin x + 2 cos x ортогональна функции g ( x ) = sin x + a cos x .10.