Павельева Е.Б., Томашпольский В.Я. Линейная алгебра (2010) (1135798), страница 16
Текст из файла (страница 16)
λ = 25 , λ = −25 –характеристическое уравнение A − λE =247−λ0 ⎞⎛ 25⎟⎟ – матрицакорни характеристического уравнения. Λ = ⎜⎜0−25⎝⎠квадратичной формы в новом базисе f (в ортонормированном базисе изсобственных векторов матрицы A ).б) Найдем собственные векторы матрицы A . Координаты собственноговектора, отвечающего собственному значению λ = 25 , найдем из СЛАУ− 32 24 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞( A − λE ) ⋅ X = O при λ = 25 : ⎛⎜⎜⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ . Эта СЛАУ⎝ 24 − 18 ⎠ ⎝ x2 ⎠ ⎝ 0 ⎠равносильна уравнению − 4 x1 + 3 x2 = 0 .Векторa 1 = (3 , 4) являетсясобственным вектором матрицы A , отвечающим собственному значениюλ = 25 .
Координаты собственного вектора, отвечающего собственному75⎛ 18 24 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ , которая⎜⎜⎝ 24 32 ⎠ ⎝ x2 ⎠ ⎝ 0 ⎠равносильна уравнению 3 x1 + 4 x2 = 0 . Векторa 2 = (−4, 3) являетсясобственным вектором матрицы A , отвечающим собственному значениюλ = −25 . Нормируя собственные векторы, получим ортонормированныйбазис, состоящий из собственных векторов матрицы A : f 1 = (53 , 54 ) ,значениюλ = −25 , найдем из СЛАУf 2 = (− 54 , 53 ) . В базисе f квадратичная форма имеет канонический вид.⎛ 53 − 54 ⎞Матрица U = ⎜⎜ 4 3 ⎟⎟ является ортогональной матрицей перехода от старого⎝5 5 ⎠ортонормированного базиса e к новому ортонормированному базису f ,состоящему из собственных векторов матрицы A . det U = 1 .в) Изменение базиса привело к линейной замене переменных X = U ⋅ X ′ :⎧ x = 53 x′ − 54 y ′T′()XΛ X ′ = 625 , где.Врезультатеполучимуравнение⎨4 x′ + 3 y ′y=55⎩0 ⎞⎛ 25⎛ x′ ⎞⎟⎟ , X ′ = ⎜⎜ ⎟⎟ .
Последнее уравнение можно записать вΛ = U T AU = ⎜⎜⎝ 0 − 25 ⎠⎝ y′ ⎠22следующем виде: 25( x′) − 25( y ′) = 625 . Это уравнение легко преобразуется(x')2 − ( y')2= 1.5252Чтобыпостроитьгиперболу,заданнуюуравнением22− 7 x + 48 xy + 7 y = 625 , надо изобразить исходную систему координатXOY ; в этой системе координатYOотложить от точкисобственные векторы a1 и a 2 ивдольнихнаправитькоординатныеосиновойX′системы координат X ′OY ′ . ВY′этой системе координат строимгиперболу с полуосями a = 5 ,b = 5 (см. рис.
4).a1a2Замечание.МатрицаX34⎛− ⎞ ⎛ cos ϕ − sin ϕ ⎞⎟⎟ ,U = ⎜⎜ 54 3 5 ⎟⎟ = ⎜⎜sinϕcosϕ⎠⎝5 5 ⎠ ⎝к каноническому уравнению гиперболыгде3ϕ = arccos ,5являетсяматрицей линейного оператораповорота вектора, лежащего наплоскости, на угол ϕ противРис. 476часовой стрелки. Таким образом, ортонормированный базис f , состоящийиз собственных векторов матрицы A , получается путем поворота базиса i , jна угол ϕ вокруг точки O – начала координат.Список литературы1. А. Н.
Канатников, А. П. Крищенко. Линейная алгебра. Вып. IV. М.:Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. – 335 с.2. В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Линейная алгебра. М.: Наука. Физматлит,1999. –296 с.3. Сборник задач по линейной алгебре / Под ред. С.К. Соболева. – М.:Изд-во МГТУ им. Н. Э.
Баумана, 1991. – 154 с.4. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1. Линейная алгебра иосновы математического анализа: Учеб. пособие для втузов / Под ред.А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича. – М.: Наука, 1993. – 478 с.5. Г. Д. Ким, Л. В. Крицков. Алгебра и Аналитическая геометрия:Теоремы и задачи. Том 1. М.: Планета знаний, 2007. – 469 с.6. Г. Д. Ким, Л. В. Крицков. Алгебра и Аналитическая геометрия:Теоремы и задачи.
Том 2. М.: Планета знаний, 2009. – 456 с.77.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
