Павельева Е.Б., Томашпольский В.Я. Линейная алгебра (2010) (1135798), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Для этого приведем квадратичную форму кканоническому виду. Существует ортонормированный базис, состоящий изсобственных векторов матрицы A , в котором квадратичная форма имеетканонический вид f ( x ) = λ1 y12 + ... + λn y n2 , где λi , i = 1,2,..., n , собственныезначения матрицы A , повторяющиеся столько раз, какова их кратность.Матрица перехода от старого ортонормированного базиса к новомуортонормированному базису U является ортогональной.Сделаем замену переменных X = UY . Тогда уравнение (2) примет вид:()⇔ Y T ⋅ U T AU ⋅ Y + (BU ) ⋅ Y + c = 0 ⇔⎛ λ1 0 ... 0 ⎞⎜⎟λ0...0⎜⎟2, D = B ⋅ U . ПоследнееY T ΛY + DY + c = 0 , гдеΛ=⎜... ...
... ... ⎟⎜⎜⎟⎟⎝ 0 0 ... λn ⎠уравнение можно записать в следующем виде:(UY )T ⋅ A ⋅ (UY ) + B ⋅ (UY ) + c = 0nni =1i =1∑ λi yi2 + ∑ d i yi + c = 0 .(3)Уравнение (3) проще уравнения (1), т.к. оно не содержит слагаемых видаy i y j , при i ≠ j . Дальнейший анализ уравнения (3) проводится постандартной схеме, рассмотренной в курсе аналитической геометрии.Замечание. В двумерном случае ( n = 2 ) при дополнительном условииdet U = 1 преобразование X = UY является поворотом системы координатвокруг неподвижного начала системы координат. В трехмерном случаеX = UY( n = 3 ) при дополнительном условии det U = 1 преобразованиеявляется поворотом системы координат вокруг некоторой оси, проходящейчерез начало координат.Задачи.631.Исследоватьуравнение29 x + 4 xy + 6 y − 16 x − 8 y − 2 = 0 .ипостроитькривую2⎛ 9 2⎞⎟⎟ ,Решение.
Рассмотрим матрицы квадратичной и линейной формы: A = ⎜⎜26⎝⎠B = (−16 − 8) . Уравнение кривой второго порядка можно записать в⎛ x⎞матричном виде: X T A X + B X − 2 = 0 ,где X = ⎜⎜ ⎟⎟ – матрица-столбец⎝ y⎠переменных.МетодомортогональногопреобразованияприведемTквадратичную форму X A X к каноническому виду.
Для этого найдемсобственные значения и соответствующие им собственные векторыматрицы A .а) Найдем собственные значения матрицы A . Для этого решим9−λ2= 0 . λ = 10 , λ = 5 –характеристическое уравнение A − λE =26−λ⎛10 0 ⎞⎟⎟ – матрица квадратичнойкорни характеристического уравнения. Λ = ⎜⎜05⎝⎠формы в новом базисе f (в ортонормированном базисе из собственныхвекторов матрицы A ).б) Найдем собственные векторы матрицы A . Координаты собственноговектора, отвечающего собственному значению λ = 10 , найдем из СЛАУ− 1 2 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞( A − λE ) ⋅ X = O при λ = 10 : ⎛⎜⎜⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ . СЛАУ равносильна⎝ 2 − 4 ⎠ ⎝ x2 ⎠ ⎝ 0 ⎠уравнению − x1 + 2 x2 = 0 . Вектор a 1 = ( 2 , 1) является собственным векторомматрицы A , отвечающим собственному значению λ = 10 . Координатысобственного вектора, отвечающего собственному значению λ = 5 , найдем из⎛ 4 2 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞СЛАУ ⎜⎜⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ , которая равносильна уравнению 2 x1 + x2 = 0 .21⎠ ⎝ x2 ⎠ ⎝ 0 ⎠⎝Векторa 2 = ( −1, 2) является собственным вектором матрицы A ,отвечающим собственному значению λ = 5 .
Нормируя собственные векторы,получим ортонормированный базис, состоящий из собственных векторовматрицы A : f 1 = 25 , 15 , f 2 = − 15 , 25 . В базисе f квадратичная форма()()⎛ 2 − 1 ⎞5⎟имеет канонический вид. Матрица U = ⎜ 15является ортогональной2 ⎟⎜5 ⎠⎝ 5матрицей перехода от старого ортонормированного базиса e к новомуортонормированному базису f , состоящему из собственных векторовматрицы A . det U = 1 .64в) Изменение базиса привело к линейной замене переменных X = U ⋅ X ′ :⎧⎪ x = 25 x′ − 15 y ′T.
В результате получим уравнение ( X ′) Λ X ′ + D X ′ − 2 = 0 ,⎨12⎪⎩ y = 5 x′ + 5 y ′⎛10 0 ⎞⎛ x′ ⎞⎟⎟ , BU = D = ( − 405 0) , X ′ = ⎜⎜ ⎟⎟ .где Λ = U T AU = ⎜⎜Последнее⎝ 0 5⎠⎝ y′ ⎠уравнение можно записать в следующем виде: 10( x′)2 + 5( y ′)2 −Выделяя в уравнении полный квадратпридем к уравнению(10 x′ −)2 2510( x′)2 −405(405x′ − 2 = 0 .x′ = 10 x′ −)2 25− 8,+ 5( y ′)2 − 10 = 0 .
Выполнив замену⎧ x′′ = x′ − 2Y5,получим⎨′′Y⎩ y ′′ = y ′Y′10( x′′)2 + 5( y ′′)2 = 10 ,уравнениекоторое легко преобразуется кX ′ ( X ′′)каноническому уравнению эллипсаa2a122(x′′) + ( y′′) = 1 .Q2122XЧтобыпостроитьэллипс,заданныйуравнением9 x 2 + 4 xy + 6 y 2 − 16 x − 8 y − 2 = 0 , надоРис. 2изобразитьисходнуюсистемукоординат XOY ; в этой системекоординат отложить от точки O собственные векторы a1 и a 2 и вдоль нихнаправить координатные оси новой системы координат X ′OY ′ .
В системекоординат X ′OY ′ надо отметить точку Q ( 25 ,0) , являющуюся началом ещепеременных( )одной системы координат X ′′ Q Y ′′ с осями, параллельными осям OX ′ и OY ′ .В системе координат X ′′QY ′′ строим эллипс с полуосями a = 1 , b = 2 (см.рис. 2).⎛ 25 − 15 ⎞ ⎛ cos ϕ − sin ϕ ⎞⎟=⎜Замечание 1.Матрицагде⎟⎟ ,U =⎜ 12 ⎟ ⎜⎜sinϕcosϕ⎝⎠5 ⎠⎝ 5ϕ = arccos( 25 ) , является матрицей линейного оператора поворота вектора,лежащего на плоскости, на угол ϕ против часовой стрелки. Таким образом,ортонормированный базис f , состоящий из собственных векторов матрицыA , получается путем поворота базиса i , j на угол ϕ вокруг точки O - началакоординат.65⎧ x′′ = x′ − 25 определяют параллельныйЗамечание 2.
Соотношения ⎨⎩ y ′′ = y ′перенос системы координат на вектор OQ = ( 25 , 0) . Зная координаты точкиQ в системе координат X ′OY ′ : x′ =25, y ′ = 0 , можно найти координатыточки Q в исходной системе координат: x = 54 , y = 52 .⎧⎪ x = 25 x′ − 15 y ′, получим⎨1 x′ + 2 y ′y=⎪⎩55⎧⎪ x = 25 x′′ − 15 y ′′ + 54связь между новыми и старыми координатами ⎨.122⎪⎩ y = 5 x′′ + 5 y ′′ + 52.
Привести к каноническому виду уравнение поверхности2x + y 2 + z 2 + 4 xy + 4 yz + 4 xz + 2 x − 2 z − 3 = 0 .Решение. Рассмотрим матрицы квадратичной и линейной формы:⎛1 2 2⎞⎜⎟A = ⎜ 2 1 2 ⎟ , B = ( 2 0 − 2 ) . Уравнение поверхности второго⎜2 2 1⎟⎝⎠порядка можно записать в матричном виде: X T A X + B X − 3 = 0 ,где⎛ x⎞⎜ ⎟матрица-столбец переменных. Методом ортогональногоX = ⎜ y⎟ –⎜z⎟⎝ ⎠⎧ x′ = x′′ + 25 вЗамечание 3. Подставляя ⎨′′′=yy⎩преобразования приведем квадратичную форму X T A X к каноническомувиду.
Для этого найдем собственные значения и соответствующие имсобственные векторы матрицы A .а) Найдем собственные значения матрицы A . Для этого решим1− λ22характеристическое уравнение A − λE =21− λ2221− λ= 0 . λ1 = λ2 = −1 ,⎛ − 1 0 0⎞⎜⎟λ3 = 5 – корни характеристического уравнения. Λ = ⎜ 0 − 1 0 ⎟ – матрица⎜ 00 5 ⎟⎠⎝квадратичной формы в новом базисе f (в ортонормированном базисе изсобственных векторов матрицы A ).б) Найдем собственные векторы матрицы A .
Координаты собственноговектора, отвечающего собственному значению λ = −1, найдем из СЛАУ66⎛ 2 2 2 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟( A − λE ) ⋅ X = O при λ = −1: ⎜ 2 2 2 ⎟ ⋅ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ . Ранг матрицы системы⎜ 2 2 2⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 0⎟⎝⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠равен 1, поэтому ФСР системы состоит из n − r = 3 − 1 = 2 решений. СЛАУВекторыравносильна уравнению x1 + x2 + x3 = 0 .a 1 = (−1,0 , 1) иa 2 = (−1,1, 0) являются линейно независимыми собственными векторамиматрицы A , отвечающими собственному значению λ = −1.Аналогично найдем координаты собственного вектора матрицы A ,отвечающего собственному значению λ = 5 .
Получим a 3 = (1,1,1) .в) Найденные собственные векторы a 1 = (−1,0,1) и a 2 = (−1,1,0) линейнонезависимы,ноортогональныминеявляются.Построимортонормированную пару собственных векторов, соответствующуюсобственному значению λ1 = λ2 = −1 , при помощи метода ортогонализацииГрама-Шмидта:1) g1 = a 1 = ( −1,0,1) ,f 1 = g1 / g1 = − 12 , 0, 12 ;(2) (a 2 , f 1 ) =12(, g 2 = a 2 − (a 2 , f 1 ) ⋅ f 1 = − 12 , 1, − 12(f 2 = g2 / g2 = −Найденные)1 , 266векторы,−16).(f1 = −12, 0,12))(f2 = −и1 , 266,−16)являютсяортонормированными.г) Нормируя вектор a 3 = (1,1,1) , получим ортонормированный базис изсобственных векторов матрицы A : f 1 = − 12 , 0, 12 , f 2 = − 16 , 26 ,− 16 ,f3 =(1 , 1 , 1333).
В базисе()()f квадратичная форма имеет канонический вид.1 ⎞⎛− 1 − 1⎜ 263⎟21 ⎟ является ортогональной матрицей переходаМатрица U = ⎜ 063⎟⎜ 111⎜⎟− 63⎠⎝ 2от старого ортонормированного базиса e к новому ортонормированномубазису f , состоящему из собственных векторов матрицы A , причемΛ = U −1 AU = U T AU . Однако det U = −1. Поменяем местами первый ивторой столбцы матрицы U (т.е. поменяем местами два собственныхвектора, отвечающих λ = −1). Получим матрицу перехода с det U = 1:1 ⎞⎛− 1 − 1⎜ 623⎟21⎜⎟ . Ортонормированный базис из собственных векторовU=063⎜ 1⎟11 ⎟⎜−23⎠⎝ 6матрицы A образуют векторы f 1 = − 16 , 26 ,− 16 ,f 2 = − 12 , 0, 12 ,f3 =(1 , 1 , 1333).()()67д) Изменение базиса привело к линейной замене переменных X = U ⋅ X ′ :⎧ x = − 1 x′ − 1 y ′ + 1 z ′623⎪⎪21′′.Врезультатеполучимуравнение⎨y = 6 x + 3 z⎪ z = − 1 x′ + 1 y ′ + 1 z ′⎪⎩623⎛ − 1 0 0⎞⎜⎟( X ′)T Λ X ′ + D X ′ − 3 = 0 , где Λ = U T AU = ⎜ 0 − 1 0 ⎟ , BU = D = (0 − 2 0) ,⎜00 5 ⎟⎠⎝⎛ x′ ⎞⎜ ⎟X ′ = ⎜ y ′ ⎟ .
Последнее уравнение можно записать в следующем виде:⎜ z′ ⎟⎝ ⎠− ( x′)2 − ( y ′)2 + 5( z ′)2 − 2 y ′ − 3 = 0 . Выделяя в уравнении полный квадрат− ( y ′)2 − 2 y′ = −( y′ + 1) 2 + 1 ,придемкуравнению⎧ x′′ = x′⎪− ( x′)2 − ( y ′ + 1)2 + 5( z ′)2 − 2 = 0 . Выполнив замену переменных ⎨ y ′′ = y ′ + 1 ,⎪ z ′′ = z ′⎩222получим уравнение − ( x′′) − ( y ′′) + 5( z ′′) = 2 , которое легко преобразуется кканоническомууравнениюдвуполостногогиперболоида222(x′′) + ( y′′) − (z ′′) = −1 .222222( ) ( ) ( 5)Чтобы построить двуполостный гиперболоид, заданный уравнениемx + y 2 + z 2 + 4 xy + 4 yz + 4 xz + 2 x − 2 z − 3 = 0 , надо изобразить исходнуюсистему координат XYZ ; в этой системе координат отложить от точки Oсобственные векторы b1 , b2 , b3 (b1 = ( −1,2,−1), b2 = ( −1,0,1), b3 = (1,1,1) ) ивдоль них направить координатные оси новой системы координат X ′Y ′Z ′ .
Всистеме координат X ′Y ′Z ′ надо отметить точку Q(0,−1,0) , являющуюсяначалом еще одной системы координат X ′′Y ′′Z ′′ с осями, параллельными осямOX ′ , OY ′ , OZ ′ . В системе координат X ′′Y ′′Z ′′ строим двуполостныйгиперболоид (см. рис. 3).268Y ′′ZZ ′′YOb2Qb3b1X ′′ХРис. 3⎧ x′′ = x′⎪Замечание 1.
Соотношения ⎨ y ′′ = y ′ + 1 определяют параллельный⎪ z ′′ = z ′⎩перенос системы координат на вектор OQ = (0,−1, 0) . Зная координаты точкиQ в системе координат X ′Y ′Z ′ : x′ = 0 , y ′ = −1 , z ′ = 0 , можно найтикоординаты точки Q в исходной системе координат: x = 12 , y = 0 , z = − 12 .⎧ x = − 1 x′ − 1 y ′ + 1 z ′⎧ x′′ = x′623⎪⎪⎪21′′′′′Замечание 2. Подставляя ⎨ y = y + 1 в ⎨ y = 6 x + 3 z,⎪ z = − 1 x′ + 1 y ′ + 1 z ′⎪ z ′′ = z ′⎩⎪⎩623получимсвязьмеждуновымиистарымикоординатами⎧ x = − 1 x′′ − 1 y ′′ + 1 z ′′ + 16232⎪⎪21.⎨ y = 6 x′′ + 3 z ′′′⎪ z = − 1 x′′ + 1 y ′′ + 1 z ′′ − 1⎪⎩6232Задачи для самостоятельного решения.Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить кривую.1) 9 x 2 + 6 xy + 17 y 2 = 72 .2) x 2 − 8 xy + 7 y 2 = 36 .69Глава VII.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
