Павельева Е.Б., Томашпольский В.Я. Линейная алгебра (2010) (1135798), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Доказать, что ненулевое число λ является собственным значениемневырожденной квадратной матрицы A тогда и только тогда, когда λ−1является собственным значением матрицы A−1 . Как при этом связанысобственные векторы матриц A и A−1 ?7. Пусть x – собственный вектор оператора A , λ – соответствующеесобственное значение.
Доказать, что x будет также собственным векторомдля оператора A k . Каково будет соответствующее собственное значение?8. Пусть p (λ ) – характеристический многочлен матрицы A2× 2 .Доказать, что p( A) = O , где O – нулевая матрица.⎛a b ⎞⎟⎟ . Тогда p (λ ) = λ2 − (a + d )λ + ad − bc . ДалееУказание. Пусть A = ⎜⎜⎝c d⎠нужно непосредственно найти p ( A) .{{{}}}{}{}9. В линейном пространстве C ∞ (R ) бесконечно дифференцируемых наR функций найти все собственные векторы оператора второй производной.10.
Сумма элементов каждой строки невырожденной матрицы A равнаλ . Доказать, что сумма элементов каждой строки матрицы A−1 равна λ−1 .Указание. Заметим, что вектор x = (1,...,1) является собственным векторомматрицы A , отвечающим собственному значению λ . Далее нужно доказать,что вектор x также является собственным вектором матрицы A−1 ,отвечающим собственному значению λ−1 .11.
Привести матрицу линейного оператора к диагональному виду.⎛ 2 1 − 3⎞⎜⎟Указать матрицу перехода. A = ⎜ 3 − 2 − 3 ⎟ .⎜1 1 − 2⎟⎝⎠43Глава IV. Линейные операторы в евклидовых пространствах4.1. Сопряженные и самосопряженные операторы и ихматрицы в ортонормированном базисе. Свойства собственныхзначений и собственных векторов самосопряженного оператораПусть E – конечномерное евклидово пространство.Определение. Оператор A* : E → E называется сопряженным клинейному оператору A : E → E , если для любых векторов x , y ∈ E()выполняется равенство (Ax , y ) = x , A* y .Утверждение. Оператор A* , сопряженный к линейному оператору A ,является линейным.Теорема. Любому линейному оператору A : E → E соответствуетединственный сопряженныйоператорA* : E → E , причем матрицейсопряженного оператора A* в любом ортонормированном базисе eявляется транспонированная матрица исходного оператора A в том жеортонормированном базисе e : A* = AT .Задачи.1.
Для данного оператора Α в евклидовом пространстве V3 найтисопряженный оператор Α∗ . Ax = [a, x ] , где a – фиксированный вектор.(( Ax, y ) = ([a, x ], y ) =)a, x, y = x, y, a = ( x,[ y, a ]) = x, A∗ y∀ x , y ∈ V3 . (Через a, x, y обозначено смешанное произведение векторов).Решение.Следовательно, A∗ x = [ x , a ] = −[a , x ] = − Ax , т.е. A* = − A .2. Для данного оператора Α в евклидовом пространстве L найтисопряженный оператор Α∗ . L = f ( x ) ∈ C 1 [a, b ] : f (a ) = f (b ) = 0 , где C 1 [a, b] –пространство непрерывно дифференцируемых функций на отрезке [a, b ], Α –оператор дифференцирования.{}bРешение.( Af , g ) = ∫ f ′(x )g ( x )dx .Применим формулу интегрирования поaчастям.bbaabbaa∫ f ′(x )g (x )dx = ∫ g (x )df (x ) = f (x )g (x ) − ∫ f (x )dg (x ) = −∫ f (x )g ′(x )dx .baМы воспользовались тем, что f (a ) = f (b ) = g (a ) = g (b ) = 0 .
Таким образом,()поскольку ( Af , g ) = f , A∗ g , A∗ g = − g ′( x ) , т. е. A* = − A .Определение.ЛинейныйоператорA :E → Eсамосопряженным, если A* = A , т.е. ∀x , y ∈ E выполняется( Ax , y ) = ( x, Ay ) .называетсяравенство44Пример. Самосопряженными являются нулевой оператор Oиединичный оператор E . Действительно, ∀x , y ∈ E выполняется(Ox , y ) = (θ , y ) = ( x, θ ) = ( x, Oy ) ; (Ex , y ) = ( x, y ) = ( x, Ey ) .Теорема. Матрица самосопряженного оператора в любомортонормированном базисе является симметрической, т.е. A = AT .Теорема. Если матрица A линейного оператора A : E → E в некоторомортонормированном базисе является симметрической ( A = AT ), то операторA является самосопряженным.Перечислим свойства собственных значений и собственныхвекторов самосопряженного оператора.Теорема1.Всекорнихарактеристическогоуравнениясамосопряженного оператора действительны (т.е. все собственные значениясамосопряженного оператора действительные).Следствие.
Самосопряженный оператор, действующий в n -мерномевклидовом пространстве, имеет равно n собственный значений, если каждоеиз них считать столько раз, какова его кратность.Теорема 2. Собственные векторы самосопряженного оператора,отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.Теорема 3. Если все собственные значенияλ1 , λ2 , ..., λnсамосопряженного оператора A , действующего в n -мерном евклидовомпространстве E , попарно различны, то в E существует ортонормированныйбазис, состоящий из собственных векторов оператора A , в котором матрица⎛ λ1 0 ...
0 ⎞⎜⎟⎜ 0 λ2 ... 0 ⎟A линейного оператора A имеет диагональный вид: A = ⎜.... ... ... ... ⎟⎜⎜⎟⎟00...λ⎝n⎠Замечание. Если среди корней характеристического уравнениясамосопряженного оператора встречаются кратные корни, то справедливатеорема 4.Теорема 4. Для любого самосопряженного оператора A существуетортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператораA .
Матрица A линейного оператора A в этом базисе имеет диагональныйA,вид, на диагонали расположены собственные значения оператораповторяющиеся столько раз, какова их кратность.4.2. Ортогональные операторы и ортогональные матрицыПусть E – конечномерное евклидово пространство.Определение. Линейный операторA :E → Eназываетсяортогональным оператором, если он сохраняет скалярное произведение вE , т.е.
∀x , y ∈ E выполняется равенство ( Ax , Ay ) = ( x , y ) .45Замечание 1. Ортогональный оператор сохраняет норму элементовевклидова пространства.22Действительно, Ax = ( Ax , Ax ) = ( x , x ) = x для ∀x ∈ E .Замечание 2. Ортогональный оператор сохраняетугол междуэлементами евклидова пространства.( Ax , Ay ) = ( x, y ) = cos ∠( x, y ) . ЗдесьДействительно,cos ∠( Ax , Ay ) =Ax ⋅ Ayx ⋅ y∠( Ax , Ay ) – угол между элементами Ax и Ay , ∠( x , y ) – угол междуэлементами x и y .Теорема.
Если линейный оператор A : E → E сохраняет норму в E , т.е.∀x ∈ E Ax = x , то этот оператор ортогональный.Пример. В пространствах V2 ,V3 линейный оператор поворота векторана фиксированный угол является ортогональным, т.к. при повороте длинывекторов не изменяются.Теорема 1. Оператор A : E → E является ортогональным тогда и толькотогда, когда он переводит произвольный ортонормированный базис в E вортонормированный базис в E .Определение. Квадратная матрица U называется ортогональной,если она удовлетворяет условию U −1 = U T .Примеры.1. Единичная матрица E является ортогональной.⎛ cosϕ − sin ϕ ⎞⎟⎟ ортогональная.
Напомним, что2. Матрица U = ⎜⎜⎝ sin ϕ cosϕ ⎠матрица U является матрицей линейного оператора поворота вектора,лежащего на плоскости, на фиксированный угол ϕ против часовой стрелкив базисе i , j .Замечание 1.Пусть U– ортогональная матрица, тогдаU T U = UU T = E .Замечание 2. Определитель ортогональной матрицы может иметьодно из двух возможных значений: det U = 1 или det U = −1.Теорема 2.Матрицаортогональногооператоравлюбомортонормированном базисе ортогональна; и наоборот, если матрицалинейного оператора в некотором ортонормированном базисе ортогональна,то этот оператор является ортогональным.Теорема 3. Матрица U является матрицей перехода от одногоортонормированного базиса конечномерного евклидового пространства кдругому ортонормированному базису того же пространства тогда и толькотогда, когда матрица U является ортогональной.464.3. Приведение симметрической матрицы ортогональнымпреобразованием к диагональному видуПусть L – произвольное линейное пространство, E – произвольноеевклидово пространство.Матрицы Ae и A f линейного оператора A : L → L в различныхбазисах e и f связаны соотношениемA f = Te−→1 f ⋅ Ae ⋅T e→ f ,(1)где Te→ f матрица перехода от базиса e к базису f .
Если A действует из Eявляютсяв E и оба базиса e и f в евклидовом пространстве Eортонормированными, то матрица перехода от базиса e к базису fявляется ортогональной, т.е. Te−→1 f = TeT→ f . Поэтому, если базисы e и fявляются ортонормированными, то соотношение (1) можно записатьследующим образом(2)A f = TeT→ f ⋅ Ae ⋅T e→ f .Теорема. Любая симметрическая матрица ортогональнымпреобразованием приводится к диагональному виду, т.е. для любойсимметрической матрицы A ( A = AT ) существует ортогональная матрицаU ( U −1 = U T ) такая, чтоU T AU = Λ , где Λ – диагональная матрица,диагональными элементами которой являются собственные значенияматрицы A , повторяющиеся столько раз, какова их кратность.Замечание. Из доказательства теоремы следует, что U являетсяматрицей перехода из старого ортонормированного базиса к новомуортонормированному базису, состоящему из собственных векторов матрицыA.Задачи.
Привести матрицу A к диагональному виду ортогональнымпреобразованием. Указать матрицу перехода.⎛ 11 2 − 8 ⎞⎜⎟1. A = ⎜ 2 2 10 ⎟⎜ − 8 10 5 ⎟⎝⎠Решение. а) Матрица A является симметрической: A = AT . Любуюсимметрическую матрицу можно рассматривать как матрицу некоторогосамосопряженного оператора в некотором ортонормированном базисе e .б) Найдем собственные значения матрицы A .
Для этого решимхарактеристическое уравнение11 − λ2−8A − λE =10 = −(λ − 18)(λ − 9)(λ + 9) = 0 . λ1 = 18 ,−8105−λλ3 = −9 – корни характеристического уравнения.22−λλ2 = 9 ,47в) Чтобы построить базис из собственных векторов, надо для каждогособственного значения λ найти фундаментальную систему решений СЛАУ( A − λE ) ⋅ X = O .⎧ − 7 x1 + 2 x2 − 8 x3 = 0⎪Для λ1 = 18 СЛАУ имеет вид ⎨ 2 x1 − 16 x2 + 10 x3 = 0 . Ранг матрицы системы⎪− 8 x + 10 x − 13x = 0123⎩равен 2, поэтому ФСР системы состоит из n − r = 3 − 2 = 1 решения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
