Павельева Е.Б., Томашпольский В.Я. Линейная алгебра (2010) (1135798), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Решив⎛−α ⎞⎛ − 1⎞⎛ − 1⎞⎜ α ⎟⎜ 1 ⎟⎜ ⎟СЛАУ, получим общее решение системы X = ⎜ 2 ⎟ = α ⎜ 2 ⎟ ∀α , где ⎜ 12 ⎟ –⎜ α ⎟⎜1⎟⎜1⎟⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠212ФСР системы. Нормируя этот вектор, получим f 1 = (− 3 , 3 , 3 ) .⎧ 2 x1 + 2 x2 − 8 x3 = 0⎪Для λ2 = 9 СЛАУ имеет вид ⎨ 2 x1 − 7 x2 + 10 x3 = 0 . Ранг матрицы системы⎪− 8 x + 10 x − 4 x = 0123⎩равен 2, поэтому ФСР системы состоит из n − r = 3 − 2 = 1 решения. Решив⎛ 2⎞⎛ 2⎞⎛ 2α ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟СЛАУ, получим общее решение системы X = ⎜ 2α ⎟ = α ⎜ 2 ⎟ ∀α , где ⎜ 2 ⎟ –⎜1⎟⎜1⎟⎜α ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ФСР системы.
Нормируя этот вектор, получим f 2 = ( 23 , 23 , 13 ) .⎧ 20 x1 + 2 x2 − 8 x3 = 0⎪Для λ3 = −9 СЛАУ имеет вид⎨ 2 x1 + 11x2 + 10 x3 = 0 . Ранг матрицы⎪− 8 x + 10 x + 14 x = 0123⎩системы равен 2, поэтому ФСР системы состоит из n − r = 3 − 2 = 1 решения.⎛ α2 ⎞⎛ 12 ⎞⎜⎟⎜ ⎟Решив СЛАУ, получим общее решение системы X = ⎜ − α ⎟ = α ⎜ − 1⎟ ∀α , где⎜ α ⎟⎜1⎟⎝ ⎠⎝⎠⎛ 12 ⎞⎜ ⎟⎜ − 1⎟ – ФСР системы. Нормируя этот вектор, получим f 3 = ( 13 , − 23 , 32 ) .⎜ 1⎟⎝ ⎠Поскольку собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающиеразличным собственным значениям, ортогональны (теорема 2 п.
4.1.),найденные векторы f 1 = (− 23 , 13 , 23 ) , f 2 = ( 23 , 23 , 13 ) , f 3 = ( 13 , − 23 , 32 ) образуют48ортонормированный базис из собственных векторов. Матрица линейного⎛18 0 0 ⎞⎜⎟оператора в этом базисе имеет вид A f = ⎜ 0 9 0 ⎟ .⎜ 0 0 − 9⎟⎝⎠г) Заметим, что мы получили координаты векторов нового базиса f встаром базисе e . Таким образом, матрица перехода от базиса e к базису f⎛ − 23 32 13 ⎞⎜⎟имеет вид U = ⎜ 13 32 − 23 ⎟ . Поскольку U является матрицей перехода от⎜ 2 12 ⎟⎝ 3 3 3 ⎠ортонормированного базиса к ортонормированному базису, матрица Uявляется ортогональной и справедливо равенство A f = U −1 AU = U T AU .2 − 2⎞⎛ 2⎜⎟5 − 4⎟ .2. A = ⎜ 2⎜− 2 − 4 5 ⎟⎝⎠Решение.
а) Матрица A является симметрической: A = AT . Любуюсимметрическую матрицу можно рассматривать как матрицу некоторогосамосопряженного оператора в некотором ортонормированном базисе e .б) Найдем собственные значения матрицы A . Для этого решимхарактеристическое уравнение2−λ2−2A − λE = 25 − λ − 4 = −(λ − 1) 2 (λ − 10) = 0 . λ1 = λ2 = 1 , λ3 = 10 –−2−4 5−λкорни характеристического уравнения.в) Чтобы построить базис из собственных векторов, надо для каждогособственного значения λ найти фундаментальную систему решений СЛАУ( A − λE ) ⋅ X = O .⎧− 8 x1 + 2 x2 − 2 x3 = 0⎪Для λ3 = 10 СЛАУ имеет вид ⎨ 2 x1 − 5 x2 − 4 x3 = 0 .
Ранг матрицы системы⎪− 2 x − 4 x − 5 x = 0123⎩равен 2, поэтому ФСР системы состоит из n − r = 3 − 2 = 1 решения. Решив⎛ − α2 ⎞⎛ − 12 ⎞⎛ − 12 ⎞⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟СЛАУ, получим общее решение системы X = ⎜ − α ⎟ = α ⎜ − 1 ⎟ ∀α , где ⎜ − 1 ⎟ –⎜ α ⎟⎜ 1 ⎟⎜ 1 ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝⎠ФСР системы. Нормируя этот вектор, получим f 3 = (− 13 ,− 32 , 32 ) .49⎧ x1 + 2 x2 − 2 x3 = 0⎪Для λ1 = λ2 = 1 СЛАУ имеет вид ⎨ 2 x1 + 4 x2 − 4 x3 = 0 . Ранг матрицы⎪− 2 x − 4 x + 4 x = 0123⎩системы равен 1, поэтому ФСР системы состоит из n − r = 3 − 1 = 2 решений.Вычеркнув из системы второе и третье уравнения, придем к уравнениюОбщеерешениеСЛАУимеетвидx1 = −2 x2 + 2 x3 .⎛ 2⎞⎛ − 2⎞ ⎛ 2⎞⎛ − 2α + 2 β ⎞⎛ − 2⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟10X =⎜ααβ∀α,β,где=+⎜ ⎟⎜ 1 ⎟ и ⎜ 0 ⎟ – ФСР системы.⎟⎜ ⎟⎜1⎟⎜ 0 ⎟ ⎜1⎟⎜⎟⎜ 0 ⎟β⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝⎠⎝ ⎠Найденные собственные векторы a 1 = (−2,1,0)иa 2 = ( 2,0,1) ,соответствующие собственному значению λ1 = λ2 = 1 , линейно независимы,но ортогональными не являются.г)Построимортонормированнуюпарусобственныхвекторов,соответствующую собственному значению λ1 = λ2 = 1 , при помощи методаортогонализации Грама-Шмидта:1) g1 = a 1 = (−2,1,0) , f 1 = g1 / g1 = (− 25 , 15 , 0) ;2) (a 2 , f 1 ) = −45()(), g 2 = a 2 − (a 2 , f 1 ) ⋅ f 1 = 52 , 54 , 1 , f 2 = g 2 / g 2 = 2 , 4 , 35 .3 5 3 5Найденные векторыf 1 = (−2 , 1 ,550) ,f2 =(2 , 4 , 53 5 3 5 3),f 3 = (− 13 , − 23 , 32 )образуют ортонормированный базис из собственных векторов.
Матрица⎛1 0 0 ⎞⎜⎟линейного оператора в этом базисе имеет вид A f = ⎜ 0 1 0 ⎟ .⎜ 0 0 10 ⎟⎝⎠д) Заметим, что мы получили координаты векторов нового базиса f встаром базисе e . Таким образом, матрица перехода от базиса e к базису f21⎞⎛− 2⎜ 5 3 5 − 3⎟4имеет вид U = ⎜ 15− 32 ⎟ . Поскольку U является матрицей перехода35⎜⎟52 ⎟⎜ 033 ⎠⎝от ортонормированного базиса к ортонормированному базису, то матрицаU является ортогональной, и справедливо равенство A f = U −1 AU = U T AU .Задачи для самостоятельного решения.1. Для данного оператора Α в евклидовом пространстве L найтисопряженный оператор Α∗ .1) L = V2 , Α – оператор поворота на угол ϕ .502) L = C [a, b], Α( f ( x )) = f ( x ) p ( x ) , где p ( x ) – фиксированная функция изL.3) L = f ( x ) ∈ C 2 [a; b] : f (a ) = f (b ) = 0 , где C 2 [a; b] – пространство дваждынепрерывно дифференцируемых функций на отрезке [a; b] , Α – операторвторой производной.2. Пусть Α – кососимметрический оператор в евклидовомпространстве, т.е.
Α∗ = − A . Доказать, что для любого вектора x имеет месторавенство ( Ax, x ) = 0 .3. Найти все симметрические ортогональные матрицы размера 2 × 2 .⎛a b⎞⎟⎟ .Указание. Общий вид симметрической матрицы размера 2 × 2 : A = ⎜⎜⎝b c⎠{}Из ортогональности получаем A2 = E . Далее нужно составить и исследоватьсистему уравнений с переменными a , b и c .4. Доказать, что если λ является собственным значениемортогонального оператора, то λ = 1 .Глава V.
Квадратичные формы5.1. Определение квадратичной формы, матрица квадратичнойформы, преобразование матрицы квадратичной формы припереходе к новому базисуОпределение. Квадратичной формой называется однородныймногочлен второй степени от n переменных с действительнымикоэффициентами f ( x1 , x 2 ,..., xn ) =n∑ aij xi x j , гдеi , j =1aij = a ji ∀i, j = 1,2,..., n .( x1 , x2 ) = 8 x12Пример. f− 3 x1 x2 + 6 x22 – квадратичная форма ( n = 2).Замечание.
Учитывая, что aij = a ji ∀i, j = 1,2,..., n , квадратичнуюnформу можно записать в виде f ( x1 , x 2 ,..., xn ) = ∑ aii xi2 + 2i =1Определение.Симметрическаясоставленнаяиз коэффициентовматрицей квадратичной формы.матрицаквадратичной∑aij x i x j1≤i < j ≤ n.⎛ a11 ... a1n ⎞⎜⎟A = ⎜ ... ... ... ⎟ ,⎜a⎟⎝ n1 ... ann ⎠формы, называется51Утверждение. Квадратичную форму можно записать в матричном⎛ x1 ⎞⎜ ⎟⎜x ⎟виде: f ( x1 , x 2 ,..., xn ) = X T A X , где X = ⎜ 2 ⎟ – столбец переменных, A –...⎜⎜ ⎟⎟⎝ xn ⎠матрица квадратичной формы.Замечание. Квадратичную форму можно трактовать какотображение f : R n → R , сопоставляющее каждому элементу x ∈ R n скоординатами ( x1 , x2 ,..., xn ) в некотором базисе e действительное числоn∑ aij xi x j :f ( x) =i , j =1n∑ aij xi x j .Тогда матрица коэффициентов квадратичнойi , j =1формы называется матрицей квадратичной формы в базисе e и обозначаетсяAe .Задачи.1.Записатьквадратичнуюформувматричномвиде:f ( x1 , x 2 , x3 ) = x12 − 2 x22 + 4 x32 + 6 x1 x2 − 8 x2 x3 .Решение.
Учитывая, что aii – это коэффициенты при xi2 , i = 1,2,..., n ,aij + a ji = 2aij = 2a ji – коэффициенты при xi x j , i ≠ j , i, j = 1,2,..., n , получимматрицуквадратичнойформы0 ⎞⎛1 3⎜⎟A = ⎜ 3 − 2 − 4⎟ .⎜0 − 4 4 ⎟⎝⎠0 ⎞ ⎛ x1 ⎞⎛1 3⎜⎟ ⎜ ⎟f ( x1 , x 2 , x3 ) = X A X = ( x1 x2 x3 ) ⋅ ⎜ 3 − 2 − 4 ⎟ ⋅ ⎜ x2 ⎟ .⎜0 − 4 4 ⎟ ⎜ x ⎟⎝⎠ ⎝ 3⎠2⎞⎛3 1⎜⎟2. Зная матрицу квадратичной формы A = ⎜ 1 4 − 1⎟ , записать⎜2 −1 5 ⎟⎝⎠квадратичную форму в виде многочлена.Решение. f ( x1 , x 2 , x3 ) = 3 x12 + 4 x22 + 5 x32 + 2 x1 x2 + 4 x1 x3 − 2 x2 x3 .TУтверждение.
При переходе от базиса e к базисуквадратичной формы меняется по законуA f = TeT→ f ⋅ Ae ⋅ Te→ f ,f матрицагде Te→ f – матрица перехода от базиса e к базису f .Действительно, пустьX − столбец координат вектора x ∈ R n в базисе e ,Y − столбец координат вектора x ∈ R n в базисе f . Координаты вектора x в52базисах e и f связаны между собой соотношением X = Te→ f ⋅ Y . Запишемквадратичную форму в матричном виде:f ( x ) = X T Ae X = (Te → f ⋅ Y )T ⋅ Ae ⋅ (Te → f ⋅ Y ) = Y T ⋅ TeT→ f ⋅ Ae ⋅ Te → f ⋅ Y = Y T A f Y .ВрезультатеполучимквадратичнуюформусматрицейA f = TeT→ f ⋅ Ae ⋅ Te→ f .()Замечание.
Изменение базиса в линейном пространстве R n приводит клинейной замене переменных X = Te→ f ⋅ Y в квадратичной форме.Задачи.1.Найтиквадратичнуюформу,полученнуюизневырожденнымпреобразованиемf ( x ) = f ( x1 , x2 ) = x12 − 4 x1 x2 + 5 x22⎧ x = 2 y1 − 3 y 2переменных: ⎨ 1.⎩ x2 = y1 + y 2I способ. Сделав замену переменных в квадратичной форме, получим:f ( x ) = f ( x1 , x2 ) = (2 y1 − 3 y 2 )2 − 4(2 y1 − 3 y2 )( y1 + y2 ) + 5( y1 + y 2 )2 == y12 + 2 y1 y 2 + 26 y 22 .⎛ 1 − 2⎞⎟⎟ – матрица квадратичной формы в некоторомII способ. Ae = ⎜⎜⎝− 2 5 ⎠базисе e .
Запишем невырожденное преобразование переменных в матричной⎛ 2 − 3⎞⎛ x ⎞ ⎛ 2 − 3 ⎞ ⎛ y1 ⎞⎟⎟ мы можем трактовать,форме: ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ . Матрицу U = ⎜⎜xy1111⎝⎠⎠ ⎝ 2⎠⎝ 2⎠ ⎝как матрицу перехода от старого базиса к новому.Тогда⎛1 1 ⎞⎟⎟ . Зная матрицу квадратичной формы, запишемA f = U T Ae U = ⎜⎜⎝1 26 ⎠квадратичную форму в виде многочлена f ( x ) = f ( y1 , y 2 ) = y12 + 2 y1 y 2 + 26 y 22 .2. Написать квадратичную форму f ( x ) = f ( x1 , x2 ) = x12 + 4 x1 x2 + 2 x22 вновом базисе f 1 = (1, 3) , f 2 = (−1, 2) .⎛ 1 2⎞⎟⎟ – матрица квадратичной формы в исходном базисе e .Решение. Ae = ⎜⎜⎝ 2 2⎠⎛ 1 − 1⎞⎟⎟ – матрица перехода от базиса e к базису f . При переходеTe→ f = ⎜⎜⎝3 2 ⎠от базиса e к базису f матрица квадратичной формы меняется по закону⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 1 − 1⎞ ⎛ 31 9 ⎞⎟⎟ = ⎜⎜⎟⎟ .⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎟⎟ ⋅ ⎜⎜A f = TeT→ f ⋅ Ae ⋅ Te→ f = ⎜⎜Квадратичная12223291−⎠ ⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠ ⎝2форма в новом базисе имеет вид f ( x ) = f ( y1 , y 2 ) = 31 y1 + 18 y1 y 2 + y 22 .535.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
