Павельева Е.Б., Томашпольский В.Я. Линейная алгебра (2010) (1135798), страница 3
Текст из файла (страница 3)
+ xn e n ,векторам e1 , e 2 ,..., e n . Замечание. Базис e 1 = (1,0,...,0,0) , e 2 = (0,1,...,0,0) ,…,e n = (0,0,...,0,1) называется естественным базисом пространства R n .3. В линейном пространстве M m× n всех матриц размера m × nматричные единицы E11 , E12 ,..., E1n , E 21 , ..., E 2 n ,..., E mn образуют базис, т.к.8они линейно независимы, а любую матрицу A ∈ M m×nm⎛ a11 ... a1n ⎞⎜⎟A = ⎜ ... ... ... ⎟⎜a⎟⎝ m1 ... amn ⎠nможно представить в виде A = ∑∑ aij Eij , т. е. A разложима по матричнымi =1 j =1единицам E11 , E12 ,..., Emn . Замечание.
Базис E11 , E12 ,..., Emnназываетсяестественным базисом пространства M m× n .4. В линейном пространстве Pn всех алгебраических многочленовстепени, не превышающей n , многочлены p 0 ( x ) = 1 , p1 ( x) = x , p 2 ( x ) = x 2 ,…, p n ( x ) = x n образуют базис, т.к. они линейно независимы и любоймногочлен пространства Pn имеет вид f (x) = λ1 ⋅ 1 + λ2 ⋅ x + ...
+ λn+1 ⋅ x n == λ1 ⋅ p0 ( x) + .... + λn+1 ⋅ p n ( x) , т.е. разложим по многочленам p0 ( x),..., p n ( x) .Замечание. Базисp0 ( x ),..., p n ( x ) называется естественным базисомпространства Pn .Замечание 1. Базис играет большую роль в изучении линейногопространства. С его помощью абстрактные векторы можно задавать в видесовокупности чисел (координат вектора в данном базисе), а операции надвекторами сводить к операциям над числами.Замечание 2. Линейная зависимость (независимость) элементовлинейногопространстваэквивалентналинейнойзависимости(независимости) столбцов координат этих элементов (в любомфиксированном базисе линейного пространства), так как выполнение какихлибо операций над векторами идентично выполнению тех же операций надих столбцами координат.Определение.
Линейное пространство L называется n-мерным, если вn +1нем существует n линейно независимых элементов, а любыеэлементов являются линейно зависимыми. При этом число n называетсяразмерностью пространства L и обозначается dim L .Справедливы следующие утверждения.Теорема 1.
Если L – линейное пространство размерности n , то любыеn линейно независимых элементов этого пространства образуют его базис.Теорема 2. Если линейное пространство L имеет базис, состоящий изn элементов, то размерность L равна n .Опираясь на теорему 2, можно утверждать, что dim R n = n , dim Pn = n + 1 ,dim M m×n = m ⋅ n .Задачи.1. Доказать, что система векторов a 1 = (1,1,0) ,a 2 = (1,−1,0) ,a 3 = ( −1,2,−1) является базисом в R 3 .Решим эту задачу двумя способами.9I способ (формальный). a) Докажем, что система векторов a 1 , a 2 , a 3 линейнонезависима. Рассмотрим равенство λ1 ⋅a 1 + λ2 ⋅ a 2 + λ3 ⋅ a 3 = θ .
Запишем его в⎧λ1 + λ2 − λ3 = 0⎪координатной форме ⎨λ1 − λ2 + 2λ3 = 0 . Полученная однородная СЛАУ с⎪−λ =0⎩ 3⎛ 1 1 − 1⎞⎜⎟матрицей коэффициентов A = ⎜ 1 − 1 2 ⎟ имеет единственное тривиальное⎜ 0 0 − 1⎟⎝⎠решение λ1 = λ 2 = λ3 = 0 , т.к. det A ≠ 0 и, следовательно, система векторовa 1 , a 2 , a 3 линейно независима.б) Докажем, что любой вектор x = ( x1 , x 2 , x3 ) ∈ R 3 может быть разложен повекторам a 1 , a 2 , a 3 , т.е. существуют такие вещественные числа λ1 , λ2 , λ3 ,что x = λ1a 1 + λ2 a 2 + λ3a 3 . Запишем последнее равенство в координатной⎧λ1 + λ2 − λ3 = x1⎪формеимеет⎨λ1 − λ2 + 2λ3 = x2 .
Полученная неоднородная СЛАУ⎪− λ = x3⎩ 3⎛ x1 ⎞⎛ λ1 ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟единственное решение ⎜ λ2 ⎟ = A −1 ⋅ ⎜ x2 ⎟ , т.к. det A ≠ 0 .⎜x ⎟⎜λ ⎟⎝ 3⎠⎝ 3⎠II способ. а) Докажем, что система векторов a 1 , a 2 , a 3 линейно независима.Из столбцов координат векторовсоставим матрицуa1 , a 2 , a 3⎛ 1 1 − 1⎞⎜⎟A = ⎜ 1 − 1 2 ⎟ . Поскольку det A ≠ 0 , столбцы матрицы A линейно⎜ 0 0 − 1⎟⎝⎠независимы, поэтому и система векторов a 1 , a 2 , a 3 линейно независима.б) Поскольку количество линейно независимых векторовсовпадает с3размерностью пространства R , эти векторы образуют базис в пространствеR3 .2.Доказать,чтосистемамногочленов322f1 (t ) = t + t + t + 1 , f 2 (t ) = t + t + 1 , f 3 (t ) = t + 1 , f 4 (t ) = 1 в пространстве P3линейно независима.I способ (формальный).
Рассмотрим линейную комбинацию многочленов∀t ∈ (−∞,+∞) .Подставивλ1 ⋅ f1 (t ) + λ2 ⋅ f 2 (t ) + λ3 ⋅ f 3 (t ) + λ4 ⋅ f 4 (t ) ≡ 0многочлены в тождество и приведя подобные члены, получимλ1 ⋅ (t 3 + t 2 + t + 1) + λ2 ⋅ (t 2 + t + 1) + λ3 ⋅ (t + 1) + λ4 ⋅ 1 ≡ 0∀t ∈ (−∞,+∞)⇔t 3 ⋅ λ1 + t 2 ⋅ (λ1 + λ2 ) + t ⋅ (λ1 + λ2 + λ3 ) + (λ1 + λ2 + λ3 + λ4 ) ≡ 0∀t ∈ (−∞,+∞) .10Поскольку система многочленов 1, t , t 2 , t 3 линейно независима, толькотривиальная линейная комбинация этих многочленов может быть равнанулю. Приравнивая коэффициенты при t 3 , t 2 , t , 1 к нулю, получим систему⎧λ1 = 0⎪λ + λ = 0⎪ 12.
Полученная СЛАУ имеет только тривиальное решение⎨λλλ++=023⎪ 1⎪⎩λ1 + λ2 + λ3 + λ4 = 0λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = 0 , т.е. система многочленов f1 (t ), f 2 (t ), f 3 (t ), f 4 (t ) линейнонезависима.II способ. Найдем координаты многочленов в базисе 1, t , t 2 , t 3 пространстваP3 : f1 (t ) = t 3 + t 2 + t + 1 = (1,1,1,1) , f 2 (t ) = t 2 + t + 1 = (1,1,1,0) ,f 3 (t ) = t + 1 = (1,1,0,0) , f 4 (t ) = 1 = (1,0,0,0) . Из столбцов координат многочленов⎛1 1 1 1 ⎞⎜⎟1110⎜⎟составим матрицу A = ⎜.
Поскольку det A ≠ 0 , столбцы матрицы1 1 0 0⎟⎜⎜⎟⎟1000⎝⎠A линейно независимы, поэтому и система многочленов линейнонезависима.3. Доказать, что для любой матрицы A размера n × n существуетненулевой многочлен p( x ) такой, что p( A) = O , где O – нулевая матрицаразмера n × n .Решение. Поскольку размерность пространства квадратных матриц M n× nравна n 2 , любая система из n 2 + 1 матриц линейно зависима.
В частности,{2}линейно зависима система матриц E , A , A2 ,..., An . Следовательно,существует нетривиальная линейная комбинация этих матриц, равнаянулевойматрице:2λ0 E + λ1 A + λ2 A 2 + ... + λn2 A n = O .Такимобразом,искомый многочлен имеет вид: p ( x ) = λ0 + λ1 x + λ2 x 2 + ... + λn2 x n .21.4. Матрица перехода от старого базиса к новому базису.Преобразование координат вектора при переходе к новомубазисуДалее будем пользоваться матричными обозначениями.
Базисудобно обозначать матрицей-строкой e = (e 1 , e 2 , ..., e n ) ;e1 , e 2 ,..., e nкоординаты вектора x в базисе e1 , e 2 ,..., e n удобно обозначать матрицей –11⎛ x1 ⎞⎜ ⎟⎜x ⎟столбцом X = ⎜ 2 ⎟ . В данных обозначениях разложение x по базисуM⎜⎜ ⎟⎟⎝ xn ⎠x = x1e 1 + x2 e 2 + ... + xn e n может быть записано в матричной форме x = e ⋅ X .Пусть e = (e 1 , e 2 , ..., e n ) и f = ( f 1 , f 2 , ..., f n ) – два базиса n -мерноголинейного пространства L . Разложим векторы второго базиса f побазису e :f1 = α11 e1 + α 21 e 2 + ...
+ α n1 e n ,f 2 = α12 e1 + α 22 e 2 + ... + α n 2 e n ,L(1)f n = α1n e1 + α 2 n e 2 + ... + α nn e n .Коэффициентыα ijэтихразложенийобразуютматрицу⎛ α11 α12 L α1n ⎞⎜⎟⎜ α 21 α 22 L α 2 n ⎟, которая называется матрицей перехода отTe → f = ⎜L L L L⎟⎜⎜⎟⎟ααLαn2nn ⎠⎝ n1базиса e к базису f . Отметим, что i -й столбец матрицы перехода,i = 1, 2, ..., n , является столбцом координат вектора f i ( i -го вектора новогобазиса) относительно старого базиса e , т.е. матрица перехода состоит изкоординат векторов нового базиса в старом, записанных по столбцам.Свойства матрицы перехода.1. Соотношения (1) можно записать компактно в матричном виде(2)f = e ⋅ Te→ f .2.
Матрица перехода квадратная и невырожденная и, следовательно,всегда имеет обратную.Действительно, det Te→ f ≠ 0 , т.к. векторы f 1 , f 2 , ..., f n линейно независимы.3. Если T - матрица перехода от базиса e к базису f , то обратнаяматрица T −1 является матрицей перехода от базисаДействительно,учитываясоотношение(2),−1e = f ⋅ T f →e = f ⋅ Te→ f .fк базису e .получим4. Te→ g = Te→ f ⋅ T f → g .Действительно, т.к. g = e ⋅ Te→ g , f = e ⋅ Te→ f , g = f ⋅ T f → g , следовательно,g = e ⋅ Te→ g = f ⋅ T f → g = e ⋅ Te→ f ⋅ T f → g . Таким образом, Te→ g = Te→ f ⋅ T f → g .XfТеорема. Пусть X e матрица-столбец координат вектора x в базисе e ,матрица-столбец координат вектора x в базисе f , Te→ f – матрица12перехода от базиса e к базису f .
Координаты вектора x в базисах e и fсвязаны между собой соотношением(3)X e = Te→ f ⋅ X f .Задачи.1. Найти матрицу перехода отбазисаe = (i , j , k ) к базисуf = ( f1 , f 2 , f 3 ) в пространстве V3 . f 1 = j , f 2 = k , f 3 = i .Решение. Найдем координаты векторов f 1 , f 2 , f 3 в базисе e : f 1 = (0,1,0) ,f 2 = (0,0,1) , f 3 = (1,0,0) . Из столбцов координат векторов составим матрицу⎛0 0 1⎞⎜⎟A = ⎜ 1 0 0 ⎟ . Данная матрица A и есть матрица перехода от базиса e в⎜ 0 1 0⎟⎝⎠базис f .2. В пространстве V3 заданы векторы f 1 = i + j , f 2 = i − j ,f 3 = − i + 2 j − k . Доказать, что система векторов f = ( f 1 , f 2 , f 3 ) образуетбазис в V3 и написать матрицу перехода от базиса e = (i , j , k ) к базису f .Найти координаты вектора x = i − 2 j + 2k в базисе f .Решение. а) Найдем координаты векторов f 1 , f 2 , f 3 в базисе e : f 1 = (1,1,0) ,f 2 = (1,−1,0) , f 3 = ( −1,2,−1) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
