Павельева Е.Б., Томашпольский В.Я. Линейная алгебра (2010), страница 7

Доказать, что любую ортогональную систему ненулевых векторовевклидова пространства можно дополнить до ортогонального базисаэтого пространства.11. В евклидовом пространстве C [− 1,1] ортогонализоватьсистемуэлементов 1, x, x 2 , x 3 .12. Пусть (e 1 ,..., e n ) – ортонормированный базис евклидова пространства,{ f 1 ,..., f k } – некоторая ортонормированная система векторов этогопространства, α ij – угол между векторами e i и f j . Доказать, что{n}k∑∑ cos 2 α ij = k .i =1 j =1Указание.

Для любого(cosα1 j ,..., cosα nj )j = 1,..., kвекторfjв данном базисе, следовательно,имеет координатыn∑ cos 2 α ij = 1 .i =1Глава III. Линейные операторы3.1. Определение и примеры линейных операторов. Матрицалинейного оператораПусть L1 и L2 – линейные пространства размерности n и m соответственно.28Определение. Отображение A : L1 → L2 из линейного пространства L1в линейное пространство L2 называется линейным оператором, если длялюбых элементов x , y ∈ L1 и для любого действительного числа λ ∈ Rвыполняются соотношения:1) A( x + y ) = Ax + Ay ;2) A(λ ⋅ x ) = λ ⋅ Ax .Из условий 1) – 2) вытекают следующие утверждения.1.

Линейный оператор сохраняет линейные комбинации, т.е. переводитлинейную комбинацию векторов в линейную комбинацию их образов с теми⎛k⎞ kже коэффициентами: A⎜⎜ ∑α i x i ⎟⎟ = ∑α i Ax i ∀x i ∈ L1 , ∀α i ∈ R , i = 1,2...., k .⎝ i =1⎠ i =12. Линейный оператор переводит нулевой элемент пространства L1 внулевой элемент пространства L2 :A(θ L1 ) = θ L2 , где θ L1 , θ L2 нулевыеэлементы пространств L1 и L2 соответственно.3.Линейныйоператорсохраняетлинейнуюзависимость(независимость), т.е. переводит линейно зависимую (независимую) системувекторов в линейно зависимую (независимую).Пусть A – линейный оператор, действующий из L1 в L2 . Зафиксируемв пространстве L1 базис e = (e 1 , e 2 , ..., e n ) , а в пространстве L2 базисf = ( f 1 , f 2 , ..., f m ) .

Рассмотрим действие линейного оператора A на векторыбазиса e = (e 1 , e 2 , ..., e n ) . Разложим векторы Ae 1 , Ae 2 ,..., Ae n ∈ L1 по базисуf = ( f 1 , f 2 , ..., f m ) :Ae 1 = α11 f 1 + α 21 f 2 + ... + α m1 f m ,Ae 2 = α12 f 1 + α 22 f 2 + ... + α m 2 f m ,LAe n = α1n f 1 + α 2 n f 2 + ... + α mn f m .Коэффициентыα ijэтихразложенийобразуютматрицу⎛ α11 α12 L α1n ⎞⎜⎟αααL⎜222n ⎟, которая называется матрицей линейногоA = ⎜ 21LL L L ⎟⎟⎟⎜⎜ααLα⎝ m1m2mn ⎠оператора A в паре базисов e и f . Отметим, что i -й столбец матрицылинейного оператора A , i = 1,2,..., n , в паре базисов e и fявляетсястолбцом координат вектора Ae i в базисе f .В дальнейшем будем рассматривать линейные операторы,действующие из линейного пространства L в то же самое линейноепространство L .

Пусть размерность L равна n . Фиксируем в L базисe 1 , e 2 ,..., e n ∈ L . Рассмотрим действие линейного оператора A на векторы29базиса e = (e 1 , e 2 , ..., e n ) . Разложим векторы Ae 1 , Ae 2 ,..., Ae n ∈ L по базисуe = (e 1 , e 2 , ..., e n ) :Ae 1 = α11 e 1 + α 21 e 2 + ... + α n1 e n ,Ae 2 = α12 e 1 + α 22 e 2 + ... + α n 2 e n ,LAe n = α1n e 1 + α 2 n e 2 + ... + α nn e n .Коэффициентыα ijэтихразложенийобразуютматрицу⎛ α11 α12 L α1n ⎞⎜⎟⎜ α 21 α 22 L α 2 n ⎟, которая называется матрицей линейногоA=⎜L L L L⎟⎜⎜⎟⎟ααLα⎝ n1n2nn ⎠оператора A в базисе e . Отметим, что i -й столбец матрицы линейногооператора A , i = 1,2,..., n , в базисе e является столбцом координат вектораAe i в базисе e .Пример. Рассмотрим линейный оператор A :V2 → V2 , осуществляющийповорот вектора на угол ϕ против часовой стрелки. Найдем матрицулинейного оператора A в базисе i , j .YРешение.Рассмотримдействиелинейного оператора A на векторы1базиса i , j .

При повороте против часовойsin ϕjстрелки векторы i , j перейдут в векторыi′cos ϕi ′ , j ′ соответственно. Разложим векторыφ φj′iXi ′ , j ′ по базису i , j :i ′ = (cos ϕ , sin ϕ ) ,−sinϕcosϕ01j ′ = ( − sin ϕ , cos ϕ ) (см. рис. 1).A вМатрица линейного оператораРис. 1базисеi, jимеетвид⎛ cosϕ − sin ϕ ⎞⎟⎟ .A = ⎜⎜⎝ sin ϕ cosϕ ⎠Теорема 1.

Пусть A : L → L линейный оператор, действующий из L вL . Пусть e = (e 1 , e 2 , ..., e n ) базис в L . Тогда вектор Ax в базисе e имееткоординаты A ⋅ X , где A – матрица линейного оператора A в базисе e , X –матрица-столбец координат вектора x в базисе e .Теорема 2. Пусть e = (e 1 , e 2 , ..., e n ) базис в L , A – квадратная матрицаразмера n × n . Тогда существует единственныйлинейный операторA : L → L , матрицей которого в базисе e является матрица A .Задачи.1.

Убедившись в линейности оператора A :V3 → V3 , найти его матрицу вбазисе i , j , k . Ax = ( x , e ) ⋅ e , где e – заданный единичный вектор.30Решение. Линейность данного оператора вытекает из свойств скалярногопроизведения:1) A( x + y ) = ( x + y, e ) ⋅ e = ( x , e ) ⋅ e + ( y, e ) ⋅ e = Ax + Ay ∀x , y ∈V3 ;2) A(λx ) = (λx , e ) ⋅ e = λ ⋅ ( x , e ) ⋅ e = λ ⋅ Ax ∀x ∈ V3 , ∀λ ∈ R .Для построения матрицы линейного оператора A найдем образыбазисных векторов. Зададим координаты единичного вектора e с помощьюнаправляющих косинусов e = (cosα , cos β , cos γ ) , где α , β , γ – углы между e ибазисными векторами i , j , k соответственно.

ТогдаAi = ( i , e ) ⋅ e = cos α ⋅ e = (cos 2 α , cos α cos β , cos α cos γ ) ;Aj = ( j , e ) ⋅ e = cos β ⋅ e = (cos β cos α , cos 2 β , cos β cos γ ) ;Ak = ( k , e ) ⋅ e = cos γ ⋅ e = (cos γ cos α , cos γ cos β , cos 2 γ ) .Из полученных векторов составим матрицу линейного оператора:⎛ cos 2 αcos β cos α cos γ cos α ⎞⎜⎟2cos βcos γ cos β ⎟ .A = ⎜ cos α cos β⎜⎜⎟⎟2cosαcosγcosβcosγcosγ⎝⎠2. Убедившись в линейности оператора A : R 3 → R 3 , найти его матрицув естественном базисе.

Ax = ( x2 + x3 , 2 x1 + x3 , 3 x1 − x2 + x3 ) .Решение. Докажем линейность данного оператора:1) A( x + y ) == (( x2 + y 2 ) + ( x3 + y3 ), 2( x1 + y1 ) + ( x3 + y3 ), 3( x1 + y1 ) − ( x2 + y 2 ) + ( x3 + y3 )) == Ax + Ay ∀x , y ∈ R 3 ;2) A(λx ) = (λx2 + λx3 , 2λx1 + λx 3 , 3λx1 −λx2 + λx3 ) = λ ⋅ Ax ∀x ∈ R 3 , ∀λ ∈ R .Естественный базис в пространстве R 3 имеет вид: e 1 = (1,0,0) , e 2 = (0,1,0) ,e 3 = (0,0,1) . Для построения матрицы линейного оператора A найдем образыбазисных векторов: Ae 1 = (0,2,3) , Ae 2 = (1,0,−1) , Ae 3 = (1,1,1) . Из полученных⎛ 0 1 1⎞⎜⎟векторов составим матрицу линейного оператора A = ⎜ 2 0 1⎟ .⎜ 3 − 1 1⎟⎝⎠3. Найти матрицу линейного оператора Α , действующего в линейнойоболочке данных функций, в базисе, состоящем из этих функций.L a x , xa x , x 2 a x – линейная оболочка функций a x , xa x , x 2 a x , Α – оператордифференцирования.Решение.

Применим оператор дифференцирования к трем базисным′′векторам:Α a x = a x = a x ln a ,Α xa x = xa x = a x + xa x ln a ,′Α x 2 a x = x 2 a x = 2 xa x + x 2 a x ln a . Образы базисных векторов в исходном((базисе)) ()имеют( ) ( )координаты:( ) ( )( )Α a x = (ln a,0,0 ) ,( )Α xa x = (1, ln a,0 ) ,31()Α x 2 a x = (0,2, ln a ) . Составим матрицу линейного оператора Α , записав0 ⎞⎛ ln a 1⎜⎟координаты образов базисных векторов по столбцам: A = ⎜ 0 ln a 2 ⎟ .⎜ 00 ln a ⎟⎠⎝Замечание. С помощью матрицы A можно найти производную от любойфункции вида f ( x ) = a x αx 2 + β x + γ , не выполняя непосредственнодифференцирование.Дляэтогоумножимматрицуоператорадифференцированиянастолбецкоординатфункции0 ⎞⎛ γ ⎞ ⎛ γ ln a + β ⎞⎛ ln a 1⎟⎜⎟⎜ ⎟ ⎜0ln2ββln2α=иполучим+aa⎟⎜⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ 00 ln a ⎟⎠⎜⎝ α ⎟⎠ ⎜⎝ α ln a ⎟⎠⎝f ′( x ) = a x α ln a x 2 + (β ln a + 2α )x + γ ln a + β .4. Найти матрицу линейного оператора Α , действующего в линейнойоболочке данных функций, в базисе, состоящем из этих функций.L eαx cos β x, eαx sin β x – линейная оболочка функций eαx cos β x, eαx sin β x ,Α – оператор параллельного переноса вдоль оси OX на c .Решение.

Применим оператор параллельного переноса вдоль оси OX кбазисным векторам.Α eαx cos β x = eα ( x − c ) cos β ( x − c ) = e −αc eαx (cos βx cos β c + sin βx sin β c ) ,()()()()αΑ(e sin β x ) = eα ( ) sin β ( x − c ) = e α eα (sin β x cos β c − cos β x sin β c ) .

Образыбазисныхвектороввисходномбазисеимеюткоординаты:Α(eα cos β x ) = (e α cos βc, e α sin βc ), Α(eα sin β x ) = (− e α sin β c, e α cos β c ).xxx−c− c− c− cxx− c− cСоставим матрицу оператора Α , записав координаты образов базисных⎛ e −αc cos βc − e −αc sin β c ⎞⎟.векторов по столбцам: A = ⎜⎜ −αc−αc⎟esinβcecosβc⎝⎠3.2. Действия над линейными операторамиПусть L1 и L2 – произвольные линейные пространства.Определение. Операторы A : L1 → L2 иB : L1 → L2 называютсяравными, если Ax = Bx ∀x ∈ L1 .Определение. Суммой операторов A : L1 → L2 и B : L1 → L2 называетсяоператор ( A + B ) : L1 → L2 , действующий по правилу ( A + B ) x = Ax + Bx∀x ∈ L1 .Определение.

Произведением оператора A : L1 → L2 на действительноечисло λ называется оператор (λA) : L1 → L2 , действующий по правилу(λA) x = λ ⋅ Ax ∀x ∈ L1 .32Определение. Произведением операторов A : L2 → L3 и B : L1 → L2называетсяоператордействующийпоправилу( AB ) : L1 → L3 ,( AB ) x = A( Bx ) ∀x ∈ L1 .Определение. Пусть A : L → L . Определим степень оператора Aследующим образом: A0 = E , A1 = A , A 2 = A A , A 3 = A A 2 ,…, A n = A A n−1 ,где E : L → L единичный оператор, действующий по правилу Ex = x∀x ∈ L .Легко доказать следующее утверждения.Утверждение 1.