Павельева Е.Б., Томашпольский В.Я. Линейная алгебра (2010), страница 2

Линейная зависимостьПусть L - вещественное линейное пространство.Определение. Линейной комбинацией элементов e 1 , e 2 ,..., e n ∈ Lназывается выражение вида λ1e 1 + λ2 e 2 + ... + λn e n , где λ1 , λ 2 ,..., λ n ∈ R –действительныекоэффициентылинейнойкомбинации.Линейнаякомбинация элементов называется тривиальной, если все ее коэффициентыравны нулю и нетривиальной, если среди коэффициентов линейнойкомбинации хотя бы один отличен от нуля.Определение. Система элементов e 1 , e 2 ,..., e n ∈ L называется линейнозависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этихэлементов, равная нулевому элементу, т.е.

если существуют числа4λ1 , λ 2 ,..., λ n ∈ R , одновременно не равные нулю и такие, чтоλ1e 1 + λ2 e 2 + ... + λn e n = θ .Замечание 1. Пусть система из двух элементов e 1 , e 2 ∈ L линейноλзависима и пусть λ 1≠ 0 . Тогда e1 = − 2 ⋅ e 2 , т.е. элемент e 1 можно получитьλ1из элемента e 2 .Замечание 2.Пусть система элементов e 1 , e 2 ,..., e n ∈ L линейноλλλe1 = − 2 ⋅ e 2 − 3 ⋅ e 3 − ... − n ⋅ e n , т.е.зависима и пусть λ 1≠ 0 . Тогдаλ1λ1λ1элемент e 1 является линейной комбинацией остальных элементов.

Такимобразом, элемент e 1 может быть получен из остальных элементов, т.е. он неявляется “уникальным”.Справедлива следующая теорема.Теорема. Для того, чтобы система элементов e 1 , e 2 ,..., e n ∈ L былалинейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы один из элементовэтой системы являлся линейной комбинацией остальных элементов.Определение. Система элементов e 1 , e 2 ,..., e n ∈ L называется линейнонезависимой, если только тривиальная линейная комбинация этих элементовравнанулевомуэлементу,т.е.еслиλ1e1 + λ2 e 2 + ...

+ λn e n = θ ⇔ λ1 = λ2 = ... = λn = 0 .Замечание 1. Если система элементов e 1 , e 2 ,..., e n ∈ L линейнонезависима, то все элементы являются “уникальными”, т.к. никакой элементнельзя получить из остальных.Замечание 2. Опуская слово “система”, часто говорят: элементы(векторы) e 1 , e 2 ,..., e n ∈ L линейно зависимы или линейно независимы.Примеры.1. В линейных пространствах V2 и V3 всех свободных векторов наплоскости и в пространстве два вектора линейно зависимы тогда и толькотогда, когда они коллинеарны; три вектора линейно зависимы тогда и толькотогда, когда они компланарны; любые четыре вектора линейно зависимы.Эти утверждения были доказаны в курсе аналитической геометрии.2.В арифметическом линейном пространстве R n векторыe1 = (1,0,...,0,0) , e 2 = (0,1,...,0,0) ,…, e n = (0,0,...,0,1) линейно независимы.Действительно, линейная комбинация векторов e1 , e 2 ,..., e n ∈ R n являетсявектором λ1e1 + λ2 e 2 + ... + λn e n = (λ 1, λ2 ,..., λn ) , который равен нулевомувектору θ = (0,0,...,0) тогда и только тогда, когда λ1 = λ 2 = ...

= λ n = 0 .3. В линейном пространстве M m× n всех матриц размера m × nлинейно независимы.матричные единицы Eij , i = 1,..., m , j = 1,..., n ,Матричной единицей Eij размера m × n называется матрица, у которой5элемент, стоящий в i -й строке и j -м столбце, равен 1 , а все остальныеэлементы равны нулю. Матричные единицы Eij , i = 1,..., m , j = 1,..., n ,линейно независимы, т.к.

линейная комбинация этих матрицm n∑ ∑ λij Eiji =1 j =1⎛ λ11 ... λ1n ⎞⎜⎟представляет собой матрицу A ∈ M m×n : A = ⎜ ... ... ... ⎟ , которая равна⎜λ⎟⎝ m1 ... λmn ⎠нулевой матрице тогда и только тогда, когда λij = 0 для всех i = 1,..., m иj = 1,..., n .4. В линейном пространстве Pn всех алгебраических многочленовстепени, не превышающей n ,многочлены p 0 ( x ) = 1 , p1 ( x) = x ,p 2 ( x ) = x 2 ,…, p n ( x ) = x n линейно независимы.

Чтобы это доказать,рассмотримлинейнуюкомбинациюэтихмногочленовnλ1 ⋅ 1 + λ 2 ⋅ x + ... + λ n +1 ⋅ x . Если не все коэффициенты λi , i = 1, 2, ..., n + 1 ,равны нулю, то линейная комбинация является многочленом степени, непревышающей n . Этот многочлен может иметь не более, чем n корней и,следовательно, не может тождественно равняться нулю ∀x ∈ (− ∞,+∞ ) . Такимобразом, λ1 ⋅ 1 + λ 2 ⋅ x + ...

+ λ n +1 ⋅ x n ≡ 0 ∀x ∈ (− ∞,+∞ ) ⇔λ1 = λ2 = ... = λn+1 = 0 , т.е. p 0 ( x) , p1 ( x ) ,…, p n (x) линейно независимы.Задачи.1. В линейном пространстве C (R ) ( C (R ) – множество всех функций,непрерывных на R ) исследовать систему функцийf1 ( x ) = cos 2 x ,f 2 ( x ) = cos 2 x , f 3 ( x ) = 1 на линейную зависимость.Решение. Из тригонометрического тождества cos 2 x = 2 cos 2 x − 1 следует, чтофункция f 2 ( x ) является линейной комбинацией двух других функций f1 ( x ) иf 3 ( x ) : f 2 ( x ) = 2 f1 ( x ) − f 3 ( x ) .

Следовательно, система функций линейнозависима.2. В линейном пространстве C (R ) исследовать систему функцийf1 ( x ) = sin x , f 2 ( x ) = sin 2 x , f 3 ( x ) = sin 3 x на линейную зависимость.Решение. Рассмотрим равенство: α sin x + β sin 2 x + γ sin 3x ≡ 0 ∀x ∈ R .Равенство имеет место при всех значениях x , следовательно, оно верно и приx = π 4 , x = π 3 , x = π 2 . Подставив в равенство x = π 4 , x = π 3 , x = π 2 ,⎧ 2α + β + 2γ = 02⎪ 233получим СЛАУ. Эта система имеет единственное⎨ 2 α + 2 β =0⎪α − γ = 0⎩решение α = β = γ = 0 , следовательно,только тривиальная линейная6комбинация функций f1 ( x ) , f 2 ( x ) , f 3 ( x ) тождественно равна нулю и,следовательно, система функций линейно независима.3.Доказать,чтосистемафункцийf1 ( x ) = sin x , f 2 ( x ) = sin 2 x ,… f n ( x ) = sin nx линейно независима для любогонатурального n .Решение.

Применим метод математической индукции. При n = 1 система,состоящая из одной функции f1 ( x ) = sin x , линейно независима, так как этафункция ненулевая. Далее предположим, что система функций f1 ( x ),..., f n ( x )линейно независимая при n = k , т.е. система функцийf1 ( x ) = sin x ,f 2 ( x) = sin 2 x ,…, f k ( x ) = sin kx линейно независима. Докажем линейнуюнезависимость системы функций при n = k + 1 , т.е. линейную независимостьсистемы функций f1 ( x ) = sin x,..., f k +1 ( x ) = sin( k + 1) x . Рассмотрим тождество:(1)α1 sin x + ... + α k sin kx + α k +1 sin (k + 1)x ≡ 0 ∀x ∈ R .Дважды продифференцируем тождество (1):− α1 sin x − 4α 2 sin 2 x − ...

− k 2α k sin kx − (k + 1)2 α k +1 sin (k + 1)x ≡ 0 ∀x ∈ R . (2)Для того чтобы получить тождество, не содержащее функции sin( k + 1) x ,умножим тождество (1) на (k + 1)2 и сложим его с тождеством (2):((k + 1) − 1)α sin x + ... + ((k + 1)22)− k 2 α k sin kx ≡ 0∀x ∈ R . Поскольку понашему предположению система функций f1 ( x ) = sin x , …, f k ( x ) = sin kxлинейно независима, то из последнего тождества получим α1 = ...

= α k = 0 .Подставляя α1 = ... = α k = 0 в (1), получим α k +1 = 0 . Следовательно, толькотривиальная линейная комбинация функций f1 ( x ),..., f k +1 ( x ) тождественноравна нулю, т.е. система функций f1 ( x ),..., f k +1 ( x ) линейно независима.4. Доказать, что если какой-либо вектор y линейного пространства Lединственным образом представим в виде линейной комбинации векторовx 1 ,..., x k , то эта система векторов линейно независима.Решение.

Рассмотрим линейную комбинацию векторовx 1 , ..., x k :α1 x 1 + ... + α k x k = θ . Представим вектор y в виде линейной комбинациивекторов x 1 ,..., x k : y = β1 x1 + ... + β k x k . Сложив два равенства, получим:y = (α1 + β1 ) x 1 + ... + (α k + β k ) x k . Так как вектор y может быть разложен повекторам x 1 ,..., x k единственным образом, то β1 = α1 + β1 ,…, β k = α k + β k и,следовательно, α1 = ...

= α k = 0 , т. е. только тривиальная линейнаякомбинация векторов x 1 ,..., x k равна нулевому вектору. Следовательно,векторы x 1 ,..., x k линейно независимы.171.3. Базис и размерность линейного пространстваОпределение. Упорядоченная линейно независимая системаэлементов e 1 , e 2 ,..., e n ∈ L называется базисом линейного пространства L ,если любой элемент пространства L может быть представлен в виделинейной комбинации элементов этой системы, т.е.

для любого элементаx∈ L существуюттакие действительные числа x1 , x 2 ,..., x n , чтоx = x1e 1 + x2 e 2 + ... + x n e n . Последнее равенство называется разложениемэлемента x по базису e1 , e 2 ,..., e n , а числа x1 , x 2 ,..., x n называютсякоординатами элемента x в базисе e1 , e 2 ,..., e n . Элемент x в данномбазисе можно записать с помощью координат следующим образом:x = ( x1 , x2 ,..., xn ) .Теорема 1. Система элементов e1 , e 2 ,..., e n линейного пространстваявляется его базисом тогда и только тогда, когда она образует максимальнуюлинейно независимую систему элементов этого пространства.Теорема 2.

Каждый элемент линейного пространства может бытьразложен по базису единственным способом.Теорема 3. При сложении любых двух элементов линейногопространства их координаты в одном базисе складываются; при умноженииэлемента линейного пространства на произвольное действительное число λвсе координаты этого элемента умножаются на λ , т.е. если в некоторомбазисетовэтомбазисеx = ( x1 ,..., xn ) ,y = ( y1,..., y n ) ,x + y = ( x1 + y1 ,..., xn + y n ) , λ ⋅ x = (λx1 ,..., λxn ) .Чтобы доказать, что система элементов e1 , e 2 ,..., e n образует базис влинейном пространстве, надо доказать, что а) эти элементы линейнонезависимые, б) любой элемент этого пространства может быть разложен поэлементам e1 , e 2 ,..., e n .Примеры.1.

В курсе аналитической геометрии было доказано, что в линейномпространстве V2 любая пара неколлинеарных векторов образует базис, впространстве V3 любая тройка некомпланарных векторов образует базис.2. В арифметическом линейном пространстве R n векторыe 1 = (1,0,...,0,0) , e 2 = (0,1,...,0,0) ,…, e n = (0,0,...,0,1) образуют базис, т.к. онилинейно независимы и любой вектор x = ( x1 ,..., xn ) можно представить в видет.е. любой вектор разложим поx = ( x1 ,..., xn ) = x1e 1 + x2 e 2 + ...