Павельева Е.Б., Томашпольский В.Я. Линейная алгебра (2010), страница 8

Если A и B – линейные операторы, тоλA, A + B, AB также линейные операторы (при условии, что A + B, ABсуществуют).Утверждение 2. В конечномерных линейных пространствахпроизведению линейного оператора на число, сумме линейных операторов ипроизведению линейных операторов соответствуют такие же действия с ихматрицами.Задачи.1.

В линейном пространстве R 2 заданы два линейных оператораA : R 2 → R 2 и B : R 2 → R 2 . Найти матрицу и явный вид линейного оператораC = AB . Ax = ( − x1 + x2 , x1 + 2 x2 ) , Bx = (3 x1 + x2 , 2 x1 − x2 ) .I способ. Оператор B переводит любой вектор x ∈ R 2 в векторy = Bx = (3 x1 + x2 , 2 x1 − x2 ) . Оператор C = AB действует по правилу:Cx = ( AB ) x = A( Bx ) = Ay =∀x ∈ R 2= ( − y1 + y 2 , y1 + 2 y 2 ) = (− (3 x1 + x2 ) + (2 x1 − x2 ), (3 x1 + x2 ) + 2(2 x1 − x2 )) == (− x1 − 2 x 2 ,7 x1 − x2 ) , т.е. Cx = (− x1 − 2 x 2 ,7 x1 − x2 ) . Для построения матрицылинейного оператора C найдем образы базисных векторов e 1 = (1,0) иe 2 = (0,1) пространства R 2 :Ce 1 = (−1,7) , Ce 2 = ( −2,−1) .

Из полученныхвекторов составим матрицу линейного оператора C в базисе e :⎛ − 1 − 2⎞⎟⎟ .C = ⎜⎜71−⎝⎠II способ. Для построения матрицы линейного оператора A найдем образыбазисных векторов e 1 = (1,0) , e 2 = (0,1) пространства R 2 :Ae 1 = ( −1,1) ,Ae 2 = (1,2) . Из полученных векторов составим матрицу линейного оператора⎛−1 1⎞⎟⎟ . Для построения матрицы линейного оператораA в базисе e : A = ⎜⎜⎝ 1 2⎠B найдем образы базисных векторов: Be 1 = (3,2) , Be 2 = (1,−1) . Изполученных векторов составим матрицу линейного оператора B в базисе e :⎛3 1 ⎞⎛ − 1 − 2⎞⎟⎟ . Тогда C = A ⋅ B = ⎜⎜⎟⎟ является матрицей линейногоB = ⎜⎜2171−−⎝⎠⎝⎠33оператора C в базисе e .

По определению матрицы линейного оператора вбазисе e столбцы матрицы C являются координатами образов базисныхТакимобразом,векторов,т.е.Ce 1 = (−1,7) ,Ce 2 = ( −2,−1) .Cx = C ( x1e 1 + x2 e 2 ) = x1Ce 1 + x2 Ce 2 = (− x1 − 2 x 2 ,7 x1 − x2 ) .2. В пространстве R 3 заданы два линейных оператора A : R 3 → R 3 иB : R 3 → R 3 . Найти матрицу и явный вид линейного оператора C = AB − BA .Ax = (7 x1 + 4 x3 , 4 x2 − 9 x3 , 3 x1 + x2 ) , Bx = ( x2 − 6 x3 , 3 x1 + 7 x3 , x1 + x2 − x3 ) .Решение.

Для построения матрицы линейного оператора A найдем образыбазисных векторов пространства R 3 : e 1 = (1,0,0) , e 2 = (0,1,0) , e3 = (0,0,1) .Ae 1 = (7,0,3) , Ae 2 = (0,4,1) , Ae 3 = ( 4,−9,0) . Из полученных векторов составим⎛7 0 4 ⎞⎜⎟A = ⎜ 0 4 − 9 ⎟ . Дляматрицу линейного оператора A в базисе e :⎜3 1 0 ⎟⎝⎠построения матрицы линейного оператора B найдем образы базисныхвекторов: Be 1 = (0,3,1) , Be 2 = (1,0,1) , Be 3 = ( −6,7,−1) . Из полученныхвекторов составим матрицу линейного оператора B в базисе e :⎛0 1 − 6⎞⎛ 4 11 − 46 ⎞⎛ − 18 − 2 − 9 ⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟7 12 ⎟ ,B = ⎜3 0 7 ⎟.A ⋅ B = ⎜ 3 − 9 37 ⎟ ,B ⋅ A = ⎜ 42⎜1 1 −1⎟⎜ 3 3 − 11 ⎟⎜ 43 − 5 ⎟⎠⎝⎠⎝⎠⎝13 − 37 ⎞⎛ 22⎜⎟C = A ⋅ B − B ⋅ A = ⎜ − 39 − 16 25 ⎟ . Матрица C являетсяматрицей⎜ −10− 6 ⎟⎠⎝линейного оператора C в базисе e .

По определению матрицы линейногооператора в базисе e столбцы матрицы C являются координатами образовбазисныхвекторов,т.е.Ce 1 = ( 22,−39,−1) ,Ce 2 = (13,−16,0) ,Такимобразом,Ce 3 = ( −37,25,−6) .Cx = C ( x1e 1 + x2 e 2 + x3e 3 ) == x1Ce 1 + x2 Ce 2 + x3Ce 3 = ( 22 x1 +13 x2 − 37 x3 , − 39 x1 −16 x 2 + 25 x3 ,− x1 −6 x3 ) .3.3. Преобразование матрицы линейного оператора при переходек новому базисуПусть A : L → L – линейный оператор, действующий из L в L . Пустьe = (e1 e 2 ... e n ) и f = ( f1 f 2 ... f n ) – два базиса n -мерного пространства L ;Ae и A f – матрицы линейного оператора A в базисе e и f соответственно.Теорема.

Матрицы Ae и A f линейного оператора A : L → L вразличных базисах e и f связаны соотношением(1)A f = Te−→1 f ⋅ Ae ⋅T e→ f ,34где Te→ f матрица перехода от базиса e к базису f .Следствие. Справедливо соотношение Ae = Te→ f ⋅ A f ⋅ Te−→1 f .A⎛3f 1 =e 1 +2e 2 , f 2 = 2e 1 + 3e 2 имеет матрицу A f = ⎜⎜⎝4Задача. В пространстве L2 операторв базисеf = ( f1 , f 2 ) :5⎞⎟ . Оператор B в базисе3 ⎟⎠⎛ 4 6⎞⎟⎟ .

Найтиg = ( g 1 , g 2 ) : g 1 = 3e 1 + e 2 , g 2 = 4e 1 + 2e 2 имеет матрицу Bg = ⎜⎜69⎝⎠матрицу оператора A + B в базисе g .Решение. Поскольку матрица перехода состоит из координат векторовнового базиса в старом, записанных по столбцам, матрицы перехода от e к⎛ 1 2⎞⎛3 4⎞⎟⎟ , Te→ g = ⎜⎜⎟⎟ . Для нахожденияf и от e к g имеют вид: Te→ f = ⎜⎜2312⎝⎠⎝⎠матрицы оператора A в базисе g воспользуемся формулой (1):Ag = T−1f → gвоспользуемся⋅ Af⋅Tf → gформулой. Для нахождения матрицы перехода от f к gTe→ g = Te→ f ⋅ T f → g .Такимобразом,T f → g = Te−→1 f ⋅ Te→ g .

Итак,⎛ − 3 − 4⎞⎛− 3 2 ⎞⎛ − 3 2 ⎞ ⎛ 3 4⎞ ⎛ − 7 − 8⎞1⎜⎜ 5⎟,⎟⎟ , T f → g = ⎜⎜⎟⎟ , T f−→⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎟⎟ = ⎜⎜Te−→1 f = ⎜⎜=g7 ⎟21211256−−⎝⎠⎠⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎝ 22 ⎠38 ⎞44 ⎞⎛ 40⎛ 441⎜⎟,Ag + A f–Ag = T f−→AB+=g ⋅ A f ⋅T f → g = ⎜gg⎜ − 71 − 34 ⎟⎜ − 59 − 25 ⎟⎟ .⎝ 2⎠⎝ 2⎠искомая матрица оператора A + B в базисе g .3.4. Собственные векторы и собственные значения линейногооператораПусть A – линейный оператор, действующий излинейногопространства L в линейное пространство L .Определение. Ненулевой вектор x ∈ L называется собственнымвектором линейного оператора A : L → L , если существует такоедействительное число λ , что выполняется равенство Ax = λ ⋅ x .

Число λназывается собственным значением оператора A , соответствующимсобственному вектору x .Замечание. РавенствоAx = λ ⋅ x можно записать в виде( A − λE ) x = θ , где E : L → L единичный оператор, действующий по правилуEx = x ∀x ∈ L .Утверждение 1. Если x собственный вектор оператора A ,отвечающий собственному значению λ , то для любого числа k ≠ 0 вектор35kx также является собственным вектором оператора A , отвечающимсобственному значению λ .Действительно, A(kx ) = k ⋅ Ax = k ⋅ (λx ) = λ ⋅ (kx ) .Утверждение 2.

Если x и y собственные векторы оператора A ,отвечающие собственному значению λ , то вектор x + y также являетсясобственным вектором, отвечающий собственному значению λ .Действительно, A( x + y ) = Ax + Ay = λ ⋅ x + λ ⋅ y = λ ⋅ ( x + y ) .Замечание. Множество всех собственных векторов, отвечающихданному собственному значению линейного оператора A , не являетсялинейным подпространством пространства L , т.к. это множество несодержит нулевого элемента.

Добавив к этому множеству нулевой элемент,получим линейное подпространство пространства L , которое называетсясобственным подпространством линейного оператора.Утверждение 3. Собственный вектор линейного оператора A можетотвечать только одному собственному значению λ .Теорема. Собственные векторы, отвечающие различным собственнымзначениям, линейно независимы.Следствие.

Линейный оператор, действующий в n -мерномпространстве, не может иметь более чемn различных собственныхзначений.Определение. Пусть A – матрица линейного оператора A : L → L внекотором базисе. Характеристическим многочленом оператора AλназываетсямногочленвидаотносительночислаP(λ ) = det ( A − λE ) = A − λE .Утверждение.

Характеристический многочлен оператора A не зависитот выбора базиса.Действительно, Матрицы Aeи A f линейного оператора A : L → L вразличных базисах e и f связаны соотношением A f = Te−→1 f ⋅ Ae ⋅T e→ f .ПоэтомуA f − λE = Te−→1 f ⋅ Ae ⋅T e→ f −Te−→1 f ⋅ λ ⋅ E ⋅T e→ f = Te−→1 f ⋅ ( Ae − λE ) ⋅T e→ f == Te−→1 f ⋅ Ae − λE ⋅ T e→ f = Ae − λE .Определение.УравнениеA − λE = 0называетсяхарактеристическим уравнением оператора A .Теорема. Для того чтобы число λ являлось собственным значениемоператора A , необходимо и достаточно, чтобы оно было действительнымкорнем характеристического уравнения оператора A .Замечание.

Чтобы найти собственный вектор x , отвечающийсобственному значению λ , надо решить СЛАУ ( A − λE ) ⋅ X = O , где X –матрица-столбец координат вектора x , O – нулевая матрица-столбец.36Задачи.1. Найти собственные значения и собственные векторы оператораA :V3 → V3 . Ax = [i , x ].I способ (формальный). Найдем матрицу линейного оператора в базисеe = (i , j , k ) .Ai = [i , i ] = 0 = (0,0,0) ,Aj = [i , j ] = k = (0,0,1) ,⎛0 0 0 ⎞⎜⎟Ak = [i , k ] = − j = (0,−1,0) . A = ⎜ 0 0 − 1⎟ .

Запишем характеристическое⎜0 1 0 ⎟⎝⎠−λуравнение A − λE = 000−λ10− 1 = 0 . Разложив определитель по первой−λλ =0–кореньстроке,получимуравнение− λ (λ2 + 1) = 0 .характеристического уравнения. Координаты собственного вектора,отвечающего собственному значению λ = 0 , найдем из однородной СЛАУ⎧0 x1 + 0 x2 + 0 x3 = 0( A − λE ) ⋅ X = O при λ = 0 : ⎪⎨ 0 x1 + 0 x2 − x3 = 0 . Решение системы имеет вид:⎪ 0x + x + 0x = 023⎩ 1x2 = x3 = 0, x1 = α , где α – любое действительное число. Таким образом,x = (α ,0,0)∀α ≠ 0 является собственным вектором, отвечающимсобственному значению λ = 0 .II способ.

Пусть x – собственный вектор оператора A , отвечающийсобственному значению λ , тогда Ax = [i , x ] = λx . Учитывая, что векторb = [i , x ] перпендикулярен вектору x , а вектор c = λx при λ ≠ 0 коллинеаренλ ≠ 0 уравнение [i , x ] = λx не имеетвектору x , получим, что принетривиального решения. При λ = 0 последнее уравнение принимает вид[i , x ] = 0 . Нетривиальным решением данного уравнения являются всененулевые векторы x коллинеарные вектору i , т.е. x = (α ,0,0) ∀α ≠ 0 .Таким образом,x = (α ,0,0) ∀α ≠ 0 является собственным векторомоператора A , отвечающим собственному значению λ = 0 .2.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного⎛ 0 1 0⎞⎜⎟оператора, заданного в некотором базисе матрицей A = ⎜ − 4 4 0 ⎟ .⎜ − 2 1 2⎟⎝⎠Решение.Запишемхарактеристическоеуравнение10−λA − λE = − 4 4 − λ−210= 0.Разложивопределительпотретьему2−λстолбцу, приведем характеристическое уравнение к виду (λ − 2) 3 = 0 .