Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Павельева Е.Б., Томашпольский В.Я. Линейная алгебра (2010)

Павельева Е.Б., Томашпольский В.Я. Линейная алгебра (2010), страница 9

PDF-файл Павельева Е.Б., Томашпольский В.Я. Линейная алгебра (2010), страница 9 Линейная алгебра и аналитическая геометрия (39886): Книга - 2 семестрПавельева Е.Б., Томашпольский В.Я. Линейная алгебра (2010): Линейная алгебра и аналитическая геометрия - PDF, страница 9 (39886) - СтудИзба2019-05-16СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Павельева Е.Б., Томашпольский В.Я. Линейная алгебра (2010)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 9 страницы из PDF

λ = 2 –37корень характеристического уравнения кратности 3. Координатысобственного вектора, отвечающего собственному значению λ = 2 , найдем⎧ − 2 x1 + x2 + 0 x3 = 0⎪из однородной СЛАУ ( A − λE ) ⋅ X = O при λ = 2 : ⎨− 4 x1 + 2 x2 + 0 x3 = 0 .⎪ − 2x + x + 0x = 0123⎩Вычеркнув из системы второе и третье уравнения, придем к уравнению∀α , β .− 2 x1 + x2 = 0 . Решение СЛАУ имеет вид: x1 = α , x2 = 2α , x3 = βТаким образом,x = (α ,2α , β ) для любых действительных α и β ,одновременно не равных нулю, является собственным вектором оператораA , отвечающим собственному значению λ = 2 .Замечание.

Собственный вектор x = (α ,2α , β ) можно представить ввиде линейной комбинации двух линейно независимых векторовx = α (1,1,0 ) + β (0,0,1) . Векторы e 1 = (1,1,0) и e 2 = (0,0,1) порождаютсобственное подпространство линейного оператора A , отвечающеесобственному значению λ = 2 .3. В линейном пространствеC ∞ (R )( C ∞ (R ) – пространствобесконечно дифференцируемых на R функций) найти все собственныевекторы оператора дифференцирования.Решение. Пусть f ( x ) – собственный вектор оператора дифференцирования,отвечающий собственному значению λ , тогдаAf ( x) = f ′( x ) = λf ( x ) .Функцияf ( x) является решением дифференциального уравнения сразделяющимися переменными f ′( x ) = λf ( x ) .

f ( x) = 0 является частнымрешением этого уравнения. Разделив переменные, решим дифференциальноеdf= λdx ; ln f = λx + ln c ∀c ≠ 0 ; f ( x ) = ce λx ∀c ≠ 0 . Добавивуравнение:fрешениеf ( x) = 0 ,получимf ( x ) = ce λx ∀c ∈ R–общеерешениедифференциального уравнения.

Таким образом, f ( x ) = ce ∀c ≠ 0 являетсясобственным вектором оператора дифференцирования, отвечающимсобственному значению λ ∀λ ∈ R .4. Доказать, что характеристический многочлен кососимметрическойматрицы четного порядка n является четной функцией.Решение. Матрица является кососимметрической, если AT = − A . Запишемхарактеристический многочлен и преобразуем его, используя свойстваопределителей:λxp(λ ) = A − λE = ( A − λE )T = AT − λE T = − A − λE = (− 1)n A + λE .

Посколькуn четно, (− 1)n = 1 и, следовательно, p(λ ) = A + λE = p(− λ ) для ∀λ ∈ R , т.е.p (λ ) – четная функция.383.5. Приведение матрицы линейного оператора к диагональномувидуПусть L – произвольное линейное пространство.Теорема. Матрица линейного оператора A : L → L в некоторомбазисе является диагональной тогда и только тогда, когда все векторыэтого базиса являются собственными векторами оператора A .Докажем эту теорему.1. Пусть матрица линейного оператора в базисе e = (e1 , e 2 , ..., e n ) имеет⎛ a11 0 ... 0 ⎞⎜⎟⎜ 0 a22 ...

0 ⎟вид: A = ⎜. Учитывая, что i -й столбец матрицы линейного... ... ... ... ⎟⎜⎜⎟⎟00...a⎝nn ⎠оператора A в базисе e является столбцом координат вектора Ae i ,вбазисеi = 1, 2, ..., ne,получим:Ae 1 = ( a11 ,0,...,0) = a11 ⋅e 1 ,Ae 2 = (0, a 22 ,...,0) = a 22 ⋅e 2 , …, Ae n = (0,0,..., a nn ) = a nn ⋅e n . Таким образом,вектор e 1 является собственным вектором оператора A , отвечающимсобственному значению a11 , вектор e 2 – собственным вектором,отвечающим собственному значению a 22 , …, вектор e n – собственнымвектором, отвечающим собственному значению a nn .2.

Пусть векторы базиса e = (e1 , e 2 , ..., e n ) являются собственнымивекторами оператора A , отвечающими собственным значениям λ1 , λ2 ,..., λ nсоответственно. Тогда Ae 1 = λ1 ⋅e 1 = (λ1 ,0,...,0) , Ae 2 = λ2 ⋅e 2 = (0, λ2 ,...,0) , …,Ae n = λn ⋅e n = (0,0,..., λn ) . Матрица линейного оператора в базисе⎛ λ1 0 ... 0 ⎞⎜⎟⎜ 0 λ2 ... 0 ⎟.e = (e1 e 2 ... e n ) имеет вид: A = ⎜... ... ... ... ⎟⎜⎜⎟⎟00...λ⎝n⎠Замечание. Если матрица линейного оператора A : L → L в базисеe = (e1 , e 2 , ..., e n ) является диагональной, то на ее диагонали расположенысобственные значения оператора A , повторяющиеся столько раз, какова ихкратность.Следствие 1.

Если характеристическое уравнение линейногооператора, действующего в n -мерном линейном пространстве, имеет nпопарно различных действительных корней, то существует базис, в которомматрица линейного оператора является диагональной.Замечание. Если характеристическое уравнение линейного оператораимеет кратные действительные корни, то может не существовать базиса, вкотором матрица линейного оператора будет диагональной.39Действительно, пусть матрица линейного оператора в некотором базисе⎛2 1⎞⎟⎟ . РешимA = ⎜⎜имеет видхарактеристическое уравнение⎝ 0 2⎠2−λ1A − λE == (2 − λ ) 2 = 0 . λ = 2 – корень характеристического02−λуравнения кратности 2.

Координаты собственного вектора, отвечающегособственному значению λ = 2 , найдем из СЛАУ ( A − λE ) ⋅ X = O при λ = 2 :⎛ 0 1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ . Решение системы имеет вид: x1 = α , x2 = 0 ∀α . Таким⎜⎜00⎠ ⎝ x2 ⎠ ⎝ 0 ⎠⎝образом, x = (α ,0) = α (1,0 ) для любого действительного α ≠ 0 , являетсясобственным вектором оператора A , отвечающим собственному значениюλ = 2 . Собственное подпространство линейного оператора A , отвечающеесобственному значению λ = 2 одномерно, а оператор A действует вдвумерном пространстве. Поэтому в данном линейном пространстве несуществует базиса, состоящего из собственных векторов оператора A , и,следовательно, не существует базиса, в котором матрица линейногооператора является диагональной.Следствие 2.

Существует базис, в котором матрица линейногооператора A : L → L является диагональной тогда и только тогда, когдасумма размерностей всех собственных подпространств линейного оператораA равна размерности линейного пространства L .Задача. Привести матрицу линейного оператора к диагональному⎛1 1 1⎞⎜⎟виду. A = ⎜1 1 1⎟ – матрица линейного оператора в некотором базисе e .⎜1 1 1⎟⎝⎠Указать базис f , в котором матрица линейного оператора имеетдиагональный вид.Решение. Найдем собственные значения и собственные векторы линейногоA.оператораЗапишемхарактеристическоеуравнение1− λ11A − λE =11− λ1111− λ= 0 . Разложив определитель по первой строке,приведем характеристическое уравнение к виду λ2 (λ − 3) = 0 . λ1 = λ2 = 0 ,λ3 = 3 – корни характеристического уравнения.

Чтобы построить базис изсобственных векторов, надо для каждого собственного значения λ найтифундаментальную систему решений СЛАУ ( A − λE ) ⋅ X = O . Для λ1 = λ2 = 0⎧ x1 + x2 + x3 = 0⎪СЛАУ имеет вид ⎨ x1 + x2 + x3 = 0 . Ранг матрицы системы равен 1, поэтому⎪x + x + x = 023⎩ 140ФСР системы состоит из n − r = 3 − 1 = 2 решений.

Вычеркнув из системывторое и третье уравнение, придем к уравнению x1 = − x2 − x3 . Общее⎛ − 1⎞⎛ − 1⎞⎛−α − β ⎞⎛ − 1⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟решение СЛАУ имеет вид X = ⎜ α ⎟ = α ⎜ 1 ⎟ + β ⎜ 0 ⎟ ∀α , β , где ⎜ 1 ⎟ и⎜1⎟⎜ 0⎟⎜ β ⎟⎜0⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝⎠⎝ ⎠⎛ − 1⎞⎧− 2 x1 + x2 + x3 = 0⎜ ⎟⎪⎜ 0 ⎟ – ФСР системы. Для λ3 = 3 СЛАУ имеет вид ⎨ x1 − 2 x2 + x3 = 0 . Ранг⎜1⎟⎪ x + x − 2x = 023⎝ ⎠⎩ 1матрицы системы равен 2, поэтому ФСР системы состоит из n − r = 3 − 2 = 1⎛ 1⎞⎛α ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟решения. Решив СЛАУ, получим общее решение системы X = ⎜ α ⎟ = α ⎜1⎟⎜ 1⎟⎜α ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎛1⎞⎜ ⎟∀α , где ⎜1⎟ – ФСР системы.⎜1⎟⎝ ⎠Таким образом, найденные векторыf 1 = ( −1,1,0) , f 2 = ( −1,0,1) ,f 3 = (1,1,1) образуют искомый базис, состоящий из собственных векторовоператора A .

Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид⎛0 0 0⎞⎜⎟A f = ⎜ 0 0 0 ⎟ . На диагонали матрицы A f расположены собственные⎜ 0 0 3⎟⎝⎠значения оператора A , повторяющиеся столько раз, какова их кратность.Замечание. Заметим, что мы получили координаты векторов новогобазиса f относительно старого базиса e . Таким образом, матрица перехода⎛ − 1 − 1 1⎞⎜⎟0 1⎟ , причемf имеет видTe→ f = ⎜ 1от базиса e к базису⎜01 1⎟⎠⎝A f = Te−→1 f ⋅ A ⋅T e→ f .Задачи для самостоятельного решения.1. Доказать, что всякий линейный оператор переводит линейнозависимую систему векторов снова в линейно зависимую систему.2.

Пусть e 1 ,..., e k - линейно независимые векторы линейногопространства L , f 1 ,..., f k - произвольные векторы линейного пространстваL1 . Доказать, что существует линейный оператор Α : L → L1 такой, что длявсех i = 1,2,..., k выполняется Αe i = f i .413. Проверить, будут ли данные операторы линейными.1) Α : R n → R n , ∀x = ( x1 ,..., xn ) : Ax = ( x1 ,..., xk ,0,...,0 ) при фиксированномзначении k (оператор проектирования).222) Α : R n → R n , ∀x = ( x1 ,..., xn ) : Ax = x1 ,..., xn .()3) Α : R n → R , ∀x = ( x1 ,..., xn ) : Ax = a1 x1 + ... + an xn при фиксированныхзначениях a1 ,..., an .4) Α : V3 → R , Ax = (a, x ) для фиксированного вектора a .5) Α : V3 → V3 , Ax = (a, x )x для фиксированного вектора a .6) Α : L → R , где L – пространство сходящихся последовательностей,A({an }) = lim an .n→∞7) Α : L → R , где L – пространство арифметических прогрессий,A({an }) = d , где d – разность данной прогрессии.8) Α : L → L , где L – пространство всех последовательностей,A({an }) = {bn }, где bn = an + m при фиксированном значении m (операторсмещения).9) Α : L → L , где L – пространство всех последовательностей,A({an }) = {bn }, где bn = an +1 − an (разностный оператор).10) Α : C [a, b] → R , A( f ( x )) = f (a ) .b11) Α : C [a, b] → R , A( f ( x )) = ∫ f ( x )dx .a12) Α : C (R ) → C (R ) , гдеC1 (R )– пространство непрерывнодифференцируемых функций на R , A( f ( x )) = f ′( x ) (оператордифференцирования).13) Α : C (R ) → C (R ) , A( f ( x )) = f ( x − a ) при фиксированном значении a(оператор параллельного переноса вдоль оси X на a ).14) Α : M n× n → R , A(B ) = det B .115) Α : M n× n → R n , A(B ) = (b11 ,..., bnn ) .16) Α : M n× n → M n× n , A(B ) = BC для фиксированной матрицы C размераn× n.4.

Составить матрицу линейного оператора Α , действующего впространстве L в естественном базисе.1) L = V3 , Α - оператор поворота вокруг оси Y на угол ϕ .2) L = V3 , Ax = [a, x ] , где a = (α , β , γ ) - фиксированный вектор.3) L = R n , ∀x = ( x1 ,..., xn ) Ax = ( x2 , x3 ,..., xn , x1 ) (оператор циклическойперестановки).4) L = P3 , Α – оператор дифференцирования.5) L = P2 , Α – оператор параллельного переноса вдоль оси X на a .42⎛a b ⎞⎟⎟ – фиксированная матрица.6) L = M 2× 2 , A(B ) = BC , где C = ⎜⎜⎝c d ⎠5. Составить матрицу линейного оператора Α , действующего влинейной оболочке L данных функций, в базисе, состоящем из этихфункций.1) L – линейная оболочка функций a x , sin bx, cos bx , Α – оператордифференцирования.2) L – линейная оболочка функций a x , sin bx, cos bx , Α – операторвторой производной.3) L – линейная оболочка функций a x , sin bx, cos bx , Α – операторпараллельного переноса вдоль оси X на c .4) L – линейная оболочка функций eαx cos βx, eαx sin βx , Α – оператордифференцирования.5) L – линейная оболочка функций a x , xa x , x 2 a x , Α – операторпараллельного переноса вдоль оси X на c .6.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее