Павельева Е.Б., Томашпольский В.Я. Линейная алгебра (2010), страница 9
Описание файла
PDF-файл из архива "Павельева Е.Б., Томашпольский В.Я. Линейная алгебра (2010)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 9 страницы из PDF
λ = 2 –37корень характеристического уравнения кратности 3. Координатысобственного вектора, отвечающего собственному значению λ = 2 , найдем⎧ − 2 x1 + x2 + 0 x3 = 0⎪из однородной СЛАУ ( A − λE ) ⋅ X = O при λ = 2 : ⎨− 4 x1 + 2 x2 + 0 x3 = 0 .⎪ − 2x + x + 0x = 0123⎩Вычеркнув из системы второе и третье уравнения, придем к уравнению∀α , β .− 2 x1 + x2 = 0 . Решение СЛАУ имеет вид: x1 = α , x2 = 2α , x3 = βТаким образом,x = (α ,2α , β ) для любых действительных α и β ,одновременно не равных нулю, является собственным вектором оператораA , отвечающим собственному значению λ = 2 .Замечание.
Собственный вектор x = (α ,2α , β ) можно представить ввиде линейной комбинации двух линейно независимых векторовx = α (1,1,0 ) + β (0,0,1) . Векторы e 1 = (1,1,0) и e 2 = (0,0,1) порождаютсобственное подпространство линейного оператора A , отвечающеесобственному значению λ = 2 .3. В линейном пространствеC ∞ (R )( C ∞ (R ) – пространствобесконечно дифференцируемых на R функций) найти все собственныевекторы оператора дифференцирования.Решение. Пусть f ( x ) – собственный вектор оператора дифференцирования,отвечающий собственному значению λ , тогдаAf ( x) = f ′( x ) = λf ( x ) .Функцияf ( x) является решением дифференциального уравнения сразделяющимися переменными f ′( x ) = λf ( x ) .
f ( x) = 0 является частнымрешением этого уравнения. Разделив переменные, решим дифференциальноеdf= λdx ; ln f = λx + ln c ∀c ≠ 0 ; f ( x ) = ce λx ∀c ≠ 0 . Добавивуравнение:fрешениеf ( x) = 0 ,получимf ( x ) = ce λx ∀c ∈ R–общеерешениедифференциального уравнения.
Таким образом, f ( x ) = ce ∀c ≠ 0 являетсясобственным вектором оператора дифференцирования, отвечающимсобственному значению λ ∀λ ∈ R .4. Доказать, что характеристический многочлен кососимметрическойматрицы четного порядка n является четной функцией.Решение. Матрица является кососимметрической, если AT = − A . Запишемхарактеристический многочлен и преобразуем его, используя свойстваопределителей:λxp(λ ) = A − λE = ( A − λE )T = AT − λE T = − A − λE = (− 1)n A + λE .
Посколькуn четно, (− 1)n = 1 и, следовательно, p(λ ) = A + λE = p(− λ ) для ∀λ ∈ R , т.е.p (λ ) – четная функция.383.5. Приведение матрицы линейного оператора к диагональномувидуПусть L – произвольное линейное пространство.Теорема. Матрица линейного оператора A : L → L в некоторомбазисе является диагональной тогда и только тогда, когда все векторыэтого базиса являются собственными векторами оператора A .Докажем эту теорему.1. Пусть матрица линейного оператора в базисе e = (e1 , e 2 , ..., e n ) имеет⎛ a11 0 ... 0 ⎞⎜⎟⎜ 0 a22 ...
0 ⎟вид: A = ⎜. Учитывая, что i -й столбец матрицы линейного... ... ... ... ⎟⎜⎜⎟⎟00...a⎝nn ⎠оператора A в базисе e является столбцом координат вектора Ae i ,вбазисеi = 1, 2, ..., ne,получим:Ae 1 = ( a11 ,0,...,0) = a11 ⋅e 1 ,Ae 2 = (0, a 22 ,...,0) = a 22 ⋅e 2 , …, Ae n = (0,0,..., a nn ) = a nn ⋅e n . Таким образом,вектор e 1 является собственным вектором оператора A , отвечающимсобственному значению a11 , вектор e 2 – собственным вектором,отвечающим собственному значению a 22 , …, вектор e n – собственнымвектором, отвечающим собственному значению a nn .2.
Пусть векторы базиса e = (e1 , e 2 , ..., e n ) являются собственнымивекторами оператора A , отвечающими собственным значениям λ1 , λ2 ,..., λ nсоответственно. Тогда Ae 1 = λ1 ⋅e 1 = (λ1 ,0,...,0) , Ae 2 = λ2 ⋅e 2 = (0, λ2 ,...,0) , …,Ae n = λn ⋅e n = (0,0,..., λn ) . Матрица линейного оператора в базисе⎛ λ1 0 ... 0 ⎞⎜⎟⎜ 0 λ2 ... 0 ⎟.e = (e1 e 2 ... e n ) имеет вид: A = ⎜... ... ... ... ⎟⎜⎜⎟⎟00...λ⎝n⎠Замечание. Если матрица линейного оператора A : L → L в базисеe = (e1 , e 2 , ..., e n ) является диагональной, то на ее диагонали расположенысобственные значения оператора A , повторяющиеся столько раз, какова ихкратность.Следствие 1.
Если характеристическое уравнение линейногооператора, действующего в n -мерном линейном пространстве, имеет nпопарно различных действительных корней, то существует базис, в которомматрица линейного оператора является диагональной.Замечание. Если характеристическое уравнение линейного оператораимеет кратные действительные корни, то может не существовать базиса, вкотором матрица линейного оператора будет диагональной.39Действительно, пусть матрица линейного оператора в некотором базисе⎛2 1⎞⎟⎟ . РешимA = ⎜⎜имеет видхарактеристическое уравнение⎝ 0 2⎠2−λ1A − λE == (2 − λ ) 2 = 0 . λ = 2 – корень характеристического02−λуравнения кратности 2.
Координаты собственного вектора, отвечающегособственному значению λ = 2 , найдем из СЛАУ ( A − λE ) ⋅ X = O при λ = 2 :⎛ 0 1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ . Решение системы имеет вид: x1 = α , x2 = 0 ∀α . Таким⎜⎜00⎠ ⎝ x2 ⎠ ⎝ 0 ⎠⎝образом, x = (α ,0) = α (1,0 ) для любого действительного α ≠ 0 , являетсясобственным вектором оператора A , отвечающим собственному значениюλ = 2 . Собственное подпространство линейного оператора A , отвечающеесобственному значению λ = 2 одномерно, а оператор A действует вдвумерном пространстве. Поэтому в данном линейном пространстве несуществует базиса, состоящего из собственных векторов оператора A , и,следовательно, не существует базиса, в котором матрица линейногооператора является диагональной.Следствие 2.
Существует базис, в котором матрица линейногооператора A : L → L является диагональной тогда и только тогда, когдасумма размерностей всех собственных подпространств линейного оператораA равна размерности линейного пространства L .Задача. Привести матрицу линейного оператора к диагональному⎛1 1 1⎞⎜⎟виду. A = ⎜1 1 1⎟ – матрица линейного оператора в некотором базисе e .⎜1 1 1⎟⎝⎠Указать базис f , в котором матрица линейного оператора имеетдиагональный вид.Решение. Найдем собственные значения и собственные векторы линейногоA.оператораЗапишемхарактеристическоеуравнение1− λ11A − λE =11− λ1111− λ= 0 . Разложив определитель по первой строке,приведем характеристическое уравнение к виду λ2 (λ − 3) = 0 . λ1 = λ2 = 0 ,λ3 = 3 – корни характеристического уравнения.
Чтобы построить базис изсобственных векторов, надо для каждого собственного значения λ найтифундаментальную систему решений СЛАУ ( A − λE ) ⋅ X = O . Для λ1 = λ2 = 0⎧ x1 + x2 + x3 = 0⎪СЛАУ имеет вид ⎨ x1 + x2 + x3 = 0 . Ранг матрицы системы равен 1, поэтому⎪x + x + x = 023⎩ 140ФСР системы состоит из n − r = 3 − 1 = 2 решений.
Вычеркнув из системывторое и третье уравнение, придем к уравнению x1 = − x2 − x3 . Общее⎛ − 1⎞⎛ − 1⎞⎛−α − β ⎞⎛ − 1⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟решение СЛАУ имеет вид X = ⎜ α ⎟ = α ⎜ 1 ⎟ + β ⎜ 0 ⎟ ∀α , β , где ⎜ 1 ⎟ и⎜1⎟⎜ 0⎟⎜ β ⎟⎜0⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝⎠⎝ ⎠⎛ − 1⎞⎧− 2 x1 + x2 + x3 = 0⎜ ⎟⎪⎜ 0 ⎟ – ФСР системы. Для λ3 = 3 СЛАУ имеет вид ⎨ x1 − 2 x2 + x3 = 0 . Ранг⎜1⎟⎪ x + x − 2x = 023⎝ ⎠⎩ 1матрицы системы равен 2, поэтому ФСР системы состоит из n − r = 3 − 2 = 1⎛ 1⎞⎛α ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟решения. Решив СЛАУ, получим общее решение системы X = ⎜ α ⎟ = α ⎜1⎟⎜ 1⎟⎜α ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎛1⎞⎜ ⎟∀α , где ⎜1⎟ – ФСР системы.⎜1⎟⎝ ⎠Таким образом, найденные векторыf 1 = ( −1,1,0) , f 2 = ( −1,0,1) ,f 3 = (1,1,1) образуют искомый базис, состоящий из собственных векторовоператора A .
Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид⎛0 0 0⎞⎜⎟A f = ⎜ 0 0 0 ⎟ . На диагонали матрицы A f расположены собственные⎜ 0 0 3⎟⎝⎠значения оператора A , повторяющиеся столько раз, какова их кратность.Замечание. Заметим, что мы получили координаты векторов новогобазиса f относительно старого базиса e . Таким образом, матрица перехода⎛ − 1 − 1 1⎞⎜⎟0 1⎟ , причемf имеет видTe→ f = ⎜ 1от базиса e к базису⎜01 1⎟⎠⎝A f = Te−→1 f ⋅ A ⋅T e→ f .Задачи для самостоятельного решения.1. Доказать, что всякий линейный оператор переводит линейнозависимую систему векторов снова в линейно зависимую систему.2.
Пусть e 1 ,..., e k - линейно независимые векторы линейногопространства L , f 1 ,..., f k - произвольные векторы линейного пространстваL1 . Доказать, что существует линейный оператор Α : L → L1 такой, что длявсех i = 1,2,..., k выполняется Αe i = f i .413. Проверить, будут ли данные операторы линейными.1) Α : R n → R n , ∀x = ( x1 ,..., xn ) : Ax = ( x1 ,..., xk ,0,...,0 ) при фиксированномзначении k (оператор проектирования).222) Α : R n → R n , ∀x = ( x1 ,..., xn ) : Ax = x1 ,..., xn .()3) Α : R n → R , ∀x = ( x1 ,..., xn ) : Ax = a1 x1 + ... + an xn при фиксированныхзначениях a1 ,..., an .4) Α : V3 → R , Ax = (a, x ) для фиксированного вектора a .5) Α : V3 → V3 , Ax = (a, x )x для фиксированного вектора a .6) Α : L → R , где L – пространство сходящихся последовательностей,A({an }) = lim an .n→∞7) Α : L → R , где L – пространство арифметических прогрессий,A({an }) = d , где d – разность данной прогрессии.8) Α : L → L , где L – пространство всех последовательностей,A({an }) = {bn }, где bn = an + m при фиксированном значении m (операторсмещения).9) Α : L → L , где L – пространство всех последовательностей,A({an }) = {bn }, где bn = an +1 − an (разностный оператор).10) Α : C [a, b] → R , A( f ( x )) = f (a ) .b11) Α : C [a, b] → R , A( f ( x )) = ∫ f ( x )dx .a12) Α : C (R ) → C (R ) , гдеC1 (R )– пространство непрерывнодифференцируемых функций на R , A( f ( x )) = f ′( x ) (оператордифференцирования).13) Α : C (R ) → C (R ) , A( f ( x )) = f ( x − a ) при фиксированном значении a(оператор параллельного переноса вдоль оси X на a ).14) Α : M n× n → R , A(B ) = det B .115) Α : M n× n → R n , A(B ) = (b11 ,..., bnn ) .16) Α : M n× n → M n× n , A(B ) = BC для фиксированной матрицы C размераn× n.4.
Составить матрицу линейного оператора Α , действующего впространстве L в естественном базисе.1) L = V3 , Α - оператор поворота вокруг оси Y на угол ϕ .2) L = V3 , Ax = [a, x ] , где a = (α , β , γ ) - фиксированный вектор.3) L = R n , ∀x = ( x1 ,..., xn ) Ax = ( x2 , x3 ,..., xn , x1 ) (оператор циклическойперестановки).4) L = P3 , Α – оператор дифференцирования.5) L = P2 , Α – оператор параллельного переноса вдоль оси X на a .42⎛a b ⎞⎟⎟ – фиксированная матрица.6) L = M 2× 2 , A(B ) = BC , где C = ⎜⎜⎝c d ⎠5. Составить матрицу линейного оператора Α , действующего влинейной оболочке L данных функций, в базисе, состоящем из этихфункций.1) L – линейная оболочка функций a x , sin bx, cos bx , Α – оператордифференцирования.2) L – линейная оболочка функций a x , sin bx, cos bx , Α – операторвторой производной.3) L – линейная оболочка функций a x , sin bx, cos bx , Α – операторпараллельного переноса вдоль оси X на c .4) L – линейная оболочка функций eαx cos βx, eαx sin βx , Α – оператордифференцирования.5) L – линейная оболочка функций a x , xa x , x 2 a x , Α – операторпараллельного переноса вдоль оси X на c .6.