Павельева Е.Б., Томашпольский В.Я. Линейная алгебра (2010), страница 5

В линейном пространстве L найти координаты вектора a в данномбазисе e = (e 1 , e 2 , e 3 ) .1) L = R 3 , a = (3,−2,7 ) , e1 = (2,1,1) , e 2 = (1,2,5) , e 3 = (3,4,1) .2) L = P2 , a = a( x ) = 4 x 2 − 7 x + 3 , e1 = e1 ( x ) = ( x + 2) , e 2 = e2 ( x ) = ( x + 2 ) ,e 3 = e3 ( x) = 1 .3. Доказать, что любой ненулевой вектор x конечномерного линейногопространства может быть включен в какой-нибудь базис.Указание. Рассмотрим произвольный базис линейного пространства L :e = (e 1 , e 2 , ..., e n ) .

Пусть x = x1e 1 + ... + xn e n , причем xi ≠ 0 . Тогда в базисможно включить вектор x вместо e i . Осталось доказать, что полученнаясистема векторов линейно независима.4. Проверить, является ли подмножество L1 линейного пространства Lподпространством.1)L = V3 , L1 = {a ∈ V3 : a llπ }, где π - заданная плоскость.2)L = V3 , L1 = {a ∈ V3 : a = 1}.23)L = R n , L1 = { a = (a1 ,..., a n ) ∈ Rn : a1 + ... + a n = 0 }4)L = R ∞ (пространство последовательностей),L1 = {an }∈ R ∞ : {an } − сходится .5)L = R ∞ , L1 =6)L = R ∞ , L1 = {an }∈ R ∞ : {an } − монотонно7)L = R ∞ , L18)9)10)11)12)13)14)15)16)17)18){{{a }∈ Rn{= { {a }∈ R= { {a }∈ Rn}∞n→∞∞}: lim a n = 0 .не}убывает .}: {a n } − арифметиче ские прогрессии .}∞L = R ∞ , L1: {a n } − геометричс кие прогрессии .nL = M n× n (пространство матриц размера n × n ),L1 = {A ∈ M n×n : A − верхнетреу гольные матрицы}.L = M n× n , L1 = {A ∈ M n×n : A − симметриче ские матрицы}.L = M n× n , L1 = {A ∈ M n×n : A − кососиммет рические матрицы}.L = M n× n , L1 = {A ∈ M n× n : A = 0}.L = M n× n , L1 = {A ∈ M n× n : a11 + ...

+ ann = 0}.L = Pn , L1 = Pm , где m < n .L = C [a, b], L1 = { f ( x ) ∈ C [a, b] : f (a ) = 0}.L = C [a, b], L1 = { f ( x ) ∈ C [a, b] : f (a ) = f (b )}.L = C [a, b], L1 = { f ( x ) ∈ C [a, b] : f ( x ) ≥ 0 , ∀x ∈ [a, b]}.L = C [a, b], L1 = { f ( x ) ∈ C [a, b] : f ( x ) монотонно не убывает}.19Глава II. Евклидово пространство2.1. Определение и примеры евклидовых пространствОпределение. Вещественное линейное пространство E называетсяевклидовым пространством, если выполнены следующие два требования.1.

Имеется правило, посредством которого любым двум элементамx, y ∈ E ставится в соответствие вещественное число, называемоескалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом ( x, y ) .2. Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам:1) ( x , y ) = ( y, x ) ∀ x , y ∈ E (аксиома коммутативности);2) ( x + y, z ) = ( x , z ) + ( y, z ) ∀ x, y, z ∈ E (аксиома дистрибутивности);3) (λx, y ) = λ ( x , y ) ∀ x , y ∈ E , ∀λ ∈ R ;4) ( x , x ) ≥ 0 ∀ x ∈ E ; ( x, x ) = 0 ⇔ x = θ .Из аксиом 1) – 4) можно получить простейшие свойства скалярногопроизведения:1) ( x , y + z ) = ( x , y ) + ( x , z ) ∀ x, y, z ∈ E ;2) ( x , λ y ) = λ ( x , y ) ∀ x , y ∈ E , ∀λ ∈ R ;3) ( x, θ ) = 0 ∀ x ∈ E .Приведем примеры евклидовых пространств.1. В линейных пространствах V2 и V3 всех свободных векторов наплоскости и в пространстве в курсе аналитической геометрии вводитсяскалярное произведение по следующему правилу: ( x , y ) = x ⋅ y ⋅ cosϕ , где ϕ– угол между векторами x и y , а x и y – их длины.R n скалярное2.

В арифметическом линейном пространствепроизведение можно задать по формуле: ( x , y ) = x1 y1 + ... + xn y n .3. В линейном пространстве C [a, b ] всех функций, непрерывных наотрезке [a, b ] , скалярное произведение можно задать по формуле:b(x(t ), y (t ) ) = ∫ x(t ) y (t ) dt .aЗамечание. В одном и том же линейном пространстве скалярноепроизведение можно задать различными способами.Задачи.1. Доказать, что в R 2 скалярное произведение можно определитьследующим образом: ( x , y ) = 2 x1 y1 + 5 x2 y 2 .Решение.

Проверим выполнение аксиом 1) – 4) для любых x = ( x1 , x2 ) иy = ( y1 , y 2 ) из R 2 .1) ( x , y ) = 2 x1 y1 + 5 x2 y 2 = 2 y1 x1 + 5 y 2 x2 = ( y , x ) .2) ( x + y , z ) = 2( x1 + y1 ) z1 + 5( x2 + y 2 ) z 2 = ( 2 x1 z1 + 5 x2 z 2 ) + ( 2 y1 z1 + 5 y 2 z 2 ) =20= ( x, z ) + ( y, z ) .3) (λx , y ) = 2λx1 y1 + 5λx 2 y 2 = λ ( 2 x1 y1 + 5 x2 y 2 ) = λ ( x , y ) .4) ( x , x ) = 2 x1 x1 + 5 x2 x2 = 2 x12 + 5 x22 ≥ 0 ;( x , x ) = 2 x12 + 5 x22 = 0 ⇔ x1 = 0, x2 = 0 ⇔ x = θ .2.

Доказать, что в любом конечномерном линейном пространствеможно определить скалярное произведение.Решение.Рассмотримкакой-нибудьбазисэтогопространстваe = (e 1 , e 2 ,..., e n ) . Тогда для любых векторов данного пространстваx = x1e1 + ... + xn e n и y = y1e 1 + ... + y n e n зададим скалярное произведениеследующим образом: ( x, y ) = x1 y1 + ... + xn yn .

Справедливость всех четырехаксиом скалярного произведения для данной операции легко проверить.m3. Доказать, что в пространстве Pn формула ( f , g ) = ∑ f ( xi )g ( xi ) , гдеi =1x1 ,..., xm ∈ R – фиксированные различные числа, задает скалярноепроизведение тогда и только тогда, когда m > n .Решение. Легко проверить справедливость аксиом 1), 2) и 3) скалярногопроизведения.Аксиома4)имеетвид:m( f , f ) = ∑ f 2 (xi ) ≥ 0 ,причемi =1m( f , f ) = ∑ f 2 (xi ) = 0⇔ f ( x ) ≡ 0 ∀x ∈ (− ∞,+∞ ) .i =1а) Если m ≤ n , то в пространстве Pn существует ненулевой многочленf ( x ) = ( x − x1 ) ⋅ ...

⋅ ( x − xm ) степени m , для которого имеет место равенствоm( f , f ) = ∑ f 2 (xi ) = 0 , что нарушает справедливость аксиомы 4).i =1б)Если m > n ,то из соотношенияm( f , f ) = ∑ f 2 (xi ) = 0следует, чтоi =1f ( x ) ≡ 0 , так как ненулевой многочлен степени, не превышающей n , неможет иметь более чем n различных корней. Следовательно, в случае m > nаксиома 4) справедлива, и поэтому формулаm( f , g ) = ∑ f (xi )g (xi )задаетi =1скалярное произведение.Теорема. Для любых двух элементов x и y произвольного евклидовапространства справедливо неравенство Коши - Буняковского:(1)( x, y )2 ≤ ( x, x ) ⋅ ( y, y ) .Запишем неравенство Коши-Буняковского в различныхконкретныхевклидовых пространствах.211. В евклидовых пространствах V2Буняковского имеет вид( x, y )2 ≤2и V3неравенство Коши -2x ⋅ y .Rn :2.Вевклидовомарифметическомпространстве(x1 y1 + ...

+ xn yn )2 ≤ x12 + ... + xn2 ⋅ y12 + ... + yn2 .3. В евклидовом пространстве C [a, b ] всех функций, непрерывных на(отрезке [a, b] :)()2b⎛b⎞ b⎜ ∫ x (t ) y (t ) dt ⎟ ≤ ∫ x 2 (t ) dt ⋅ ∫ y 2 (t ) dt .⎜⎟aa⎝a⎠2.2. Определение и примеры нормированных пространствОпределение. Линейное пространство N называется нормированным,если выполнены следующие два требования.1. Имеется правило, посредством которого каждому элементу x ∈ Nставится в соответствие вещественное число, называемое нормой указанногоэлемента и обозначаемое символом x .2. Указанное правило подчинено следующим трем аксиомам:1) x ≥ 0 ∀ x ∈ N ; x = 0 ⇔ x = θ ;∀ x ∈ N , ∀λ ∈ R ;2) λx = λ ⋅ x∀ x, y ∈ N (неравенство треугольника или3) x + y ≤ x + yнеравенство Минковского).Теорема.Всякоеевклидовопространствоявляетсянормированным, если в нем норму любого элемента x определитьравенствомx = ( x, x ) .Воспользовавшись формулой x = ( x, x ) , определим нормы в некоторыхконкретных евклидовых пространствах.

В пространствах V2 ,V3 :x = x;впространствеx(t ) =b∫x2x = x12 + ... + xn2 ;Rn :впространствеC [a, b ] :(t ) dt .aЗапишем неравенство треугольника в различных конкретныхевклидовых пространствах. В пространствах V2 ,V3 :x+ y ≤ x + y(сторона треугольника не превосходит суммы двух других его сторон); впространстве R n :(x1 + y1 )2 + ... + (xn + yn )2 ≤в пространстве C [a, b ] :b∫ (x(t ) + y (t ) )a2dt ≤b∫xax12 + ... + xn2 + y12 + ...

+ y n2 ;2(t ) dt +b∫y2(t ) dt .a22Замечание. Если имеетсяненулевой элемент x ∈ N , то дляпостроения элемента с нормой, равной единице, достаточно нормировать1. Норма полученногоэлемент x , т.е. умножить этот элемент на числоxэлемента x0 = x ⋅111равна 1, т.к. x0 = x ⋅=⋅ x = 1.xxxЗадачи.1.

Вычислить скалярное произведение и нормы векторов x = (1,2,3,4) иy = (5,6,7,8) в R 4 .( x, y ) = 1 ⋅ 5 + 2 ⋅ 6 + 3 ⋅ 7 + 4 ⋅ 8 = 70 ,Решение.x = 12 + 2 2 + 32 + 4 2 = 30 ,y = 5 2 + 6 2 + 7 2 + 82 = 174 .2. Вычислить скалярное произведение и нормы функций f ( x) = x + 1,g ( x) = x 2 + x в C [0,1].( f ( x), g ( x) ) = ∫ (x + 1)(x 2 + x )dx = ∫ (x 3 + 2 x 2 + x )dx = 17,12Решение.f ( x) =12∫ ( x + 1) dx =073, g ( x) =1100∫ (x12)2+ x dx =03130.3. Нормировать вектор x = (1,2,3,4) в R 4 .1 ⎛ 1234 ⎞,,,=⎜⎟.x ⎝ 30 30 30 30 ⎠Замечание. Неравенство Коши-Буняковского можно записать вследующем виде( x, y ) ≤ x ⋅ y .(2)Заметим далее, что в любом вещественном евклидовом пространствеможно ввести понятие угла между двумя произвольными элементами x и yэтого пространства.