Семинар 4. Задача для волнового уравнения на полупрямой. Метод продолжения и метод характерис (Семинары), страница 3

Ткаченко-13-УМФ – семинар – К 5 – 4Поэтому для решения u(x, t) ≡ v(x, t) + w(x, t) задачи (13.1) получаем:Ответ:ϕ1 (x + at) + ϕ1 (x − at)1u(x, t) =+22aZ t x+a(t−τZ )1ψ1 (s)ds +f1 (s, τ )dsdτ +2a0 x−a(t−τ )x > at > 0; 0,x−at− aR+ν (r) dr,x < at.−ax+atZx−at0где функции ϕ1 (x), ψ1 (x) и f1 (x, t) есть чётные по x продолжения функций ϕ(x), ψ(x) иf (x, t) на всю ось x ∈ (−∞, +∞).Задание на самостоятельную работу:111) I. Нарисовать профиль полубесконечной струны в моменты времени t = 0, 4a, 2a,если её колебания описываются задачей:utt − a2 uxx = 0,x, t > 0;x, t > 0; utt − a2 uxx = 0,а) б) u(x, 0) = ϕ(x),x > 0;u(x, 0) = ϕ(x),x > 0;ut (x, 0) = 0,x > 0;ut (x, 0) = 0,x > 0;u(0, t) = 0,t > 0,ux (0, t) = 0,t > 0,9, 3, 5,4a a aгде функция ϕ(x) имеет вид, приведённый на рисунке.112) II.

Нарисовать профиль полубесконечной струны в моменты времени t = 0, 4a, 2a, a1 ,если её колебания описываются задачей:2x, t > 0;u−au=0,x,t>0; utt − a2 uxx = 0,ttxxб) а) u(x, 0) = 0,x > 0;u(x, 0) = 0,x > 0;ut (x, 0) = ψ(x),x > 0;ut (x, 0) = ψ(x),x > 0;u(0, t) = 0,t > 0,ux (0, t) = 0,t > 0,где функция ψ(x) имеет вид, приведённый на рисунке.c Д.С. Ткаченко-14-2 4, ,a aУМФ – семинар – К 5 – 411, 2a,3) III.

Нарисовать профиль полубесконечной струны в моменты времени t = 0, 4aесли её колебания описываются задачей:2x, t > 0;u−au=0,x,t>0; utt − a2 uxx = 0,ttxxа) б) u(x, 0) = 0,x > 0;u(x, 0) = 0,x > 0;u(x,0)=0,x>0;u(x,0)=0,x> 0;ttu(0, t) = µ(t),t > 0,ux (0, t) = ν(t),t > 0,где функции µ(x) и ν(x) имеют вид, приведённый на рисунке.4) IV.

Решить задачи: utt − a2 uxx = Axt,а) u(x, 0) = sin x,ut (x, 0) = sin 2x,u(0, t) = 0, utt − a2 uxx = 0,б) u(x, 0) = 0,ut (x, 0) = 0,ux (0, t) − hu(0, t) = U0 sin t,c Д.С. Ткаченко-15-x, t > 0;x > 0;x > 0;t > 0.x, t > 0;x > 0;x > 0;t > 0.9, 3, 5,4a a a.