Электронные семинары, страница 7

в круге:С учѐтом ГУ|для функции (({)()|Еѐ СЗ и СФ (см. семинар 6):( );( )— k-й положительный корень уравнения()()( )( )‖(√( )( )( )‖‖‖ ‖(√),( )) (;( ))( )‖(( )(√)‖ ‖Теперь для функции ( ) имеем ДУ:( )( )( )Учитывая вид ГУ по (условия Неймана придующем виде:и)), удобно взять ОР ДУ в сле-( )( ){√( )√( )(( ))Таким образом, мы получили ЧР уравнения Лапласа в цилиндре()()()( )удовлетворяющие ГУ|.Теперь будем искать решение краевой задачи (I) в виде суммы всех найденных ЧР:()∑()( )Подставим в неоднородные ГУ∑ ∑√(| |)(| |)√∑ ∑**√(|√(| |))(| |)(|√(| |)()+(():)+)()2|∑ ∑√(| |)(√(| |))()()( )|∑ ∑√(| |)(√(| |))()()( ){), () в ряды Фурье по СФ задачи Ш.–Л. вТеперь надо разложить функции (() и приравнять соответствующие коэффициенты.

Коэффициенткругеостаѐтся произвольным.Рассмотрим конкретные примеры.)Пусть (. Тогда из уравнения (2) получим) рассмотрим два случая.Для функции ()( )а) (( )√где( )аРазложим функцию()(() в ряд Фурье по(√)( )(∑ ∑√⏟( )(√)(| |)(√(| |))):Т.е. разложение содержит только один член: сТогда из уравнения (1)|(√— первый положительный корень уравнения,( )().()))()получим, что√( )( ))(√( )(√т.е.√( )())а все остальные коэффициенты.В этом случае решение краевой задачи (I) имеет вид:()(()*√( )([ ()]( ))б) (.Надо разложить функцию в ряд Фурье по()+))∑ ∑Поскольку()| | (√(| |)∑ ∑)():()( )( ), разложение будет содержать только члены с:3()(∑)(√∑( ))т.е.(√∑( ))Таким образом, осталось разложить функцию(√[( )в ряд Фурье по функциям( ), образующим ортогональную (с весом ) систему на отрезке)]:‖ (√( )( )(√∫))‖где‖ (√( )(√∫)‖( )‖)‖((√)( )( ))Для вычисления оставшегося интеграла удобно использовать формулу:[( )]( )( ) может стоять функция Бесселя( ) или функциягде в качествена ( ).( )( ), поскольку(В частности, если положить, получим: ( )( ) ( ) ( ) для целых .)√Тогда, сделав замену( ), получим:√ ( )∫(√( )√ ( )( )∫)(√( )[∫(√)( )( )])√ ( )( ) ||( )(√)(√√( ))( )Таким образом,∫‖ (√( ))‖(√( )(√( )))√( )(( ))(√( ))и4()( )(√∑)(∑)Подставим данное разложение в уравнение (1):|∑ ∑√⏟Отсюда все√( )(| |), кроме(√( )(| |)(√()( )(∑),и)(√√)( )(√)(( ))(√( )( ))(√)( ))Тогда решение краевой задачи (I) в этом случае имеет вид:()√∑(√( )( )()()√∑(( ))(√( ))(√( ))( )()(√( )))Аналогично решаются краевые задачи, подобные задаче (I), в частях цилиндра:цилиндрическомслое(тороидепрямоугольного сечения), секторе цилиндра,секторе тороида прямоугольного сечения.Задачу (II) мы рассмотрим на следующем семинаре.ДЗ 11.Решить краевую задачу в цилиндрическом секторе:||||( )|{где — первый положительный корень уравнения ( ).БК с.

118 № 9(б), 10 (г), 11 (а), с. 119 № 12(а,в).5Семинар 12Теперь решим задачу (II) в цилиндре (см. пред. семинар).(|)( )||{Сначала найдѐм ЧР уравнения Лапласа()() ( )удовлетворяющие однородным ГУ|в цилиндре вида|Подставим() в урав-нение Лапласа и разделим переменные:()( )()( )С учѐтом ГУ||, для функции ( ) получим задачу Ш.–Л. на отрезке:( )( )( )Еѐ СЗ и СФ:{(( ))( )‖‖()) имеем ДУ:Далее, для функции (()()) в видеБудем искать (()( ) ( )(Тогда, поскольку(( )) ( )( )( )), получим:( ) ( )Разделим переменные, умножив уравнение на(( ))( )Теперь для функции( )( ){()( )Еѐ СЗ и СФ:( ) ( ):( )( )( ) получим задачу Ш.–Л.:( )( )()‖‖Теперь для функции ( ) имеем ДУ:( )( ) ()( )(Здесь без ограничения общности можно считать, чтоОР данного ДУ имеет вид:.)1( ){(√)(√)где — функция Инфельда n-го порядка,— функция Макдональда n-го порядка (цилиндрические функции чисто мнимого аргумента).Функции Инфельда ( ) ограничены при, а приони√.( ) неограничены приФункции Макдональдаприони√.Тогда из условия ограниченности решения причим, что (с точностью до постоянного множителя):( ),аполу-{(√)Таким образом, нами получены ЧР уравнения Лапласа в цилиндре()()( )( ) ( )|удовлетворяющие однородным ГУ|.Решение краевой задачи (II) ищем в виде ряда по всем найденным ЧР:()∑ ∑| |( )|Подставим в неоднородное ГУ|∑ ∑| |( )( )( )( )():( )()) в ряд Фурье по ортогональной системе функцийОстаѐтся разложить функцию (( ) ( ) и приравнять соответствующие коэффициенты:()∑ ∑‖‖ ‖Коэффициенты‖( )∫∫( )()выражаются через( )( ).2Примеры краевых задач, которые можно решить точно в произвольных областях| |())|(t||Фундаментальное решение уравнения Лапласа) называется фундаментальным решениемО.

Регулярная обобщѐнная функция (уравнения Лапласа в области , если()()( )Индексв операторе Лапласаозначает, что все производные в операторе Лапласаберутся по координатам точки , при фиксированной точке .) — дельта-функция: обобщѐнная функция, действующая на основныеЗдесь (функции ( ) по правилу:( ()( ))∫ () ( )()В трѐхмерном случае дельта-функцию можно представить в виде произведения трѐх(),одномерных дельта-функций: если точки,имеют координаты(), то()() () ()), иВ двумерном случае: ( ), (()() ()Таким образом, фундаментальное решение () удовлетворяет уравнению Лапласа()при, а приимеет особенность.Явный вид фундаментального решения уравнения Лапласа:( )(){где( )( )— расстояние между точкамии.3) определено с точностью доМы видим, что фундаментальное решение (произвольного решения ( ) однородного уравнения Лапласа в области .Функция Грина внутренней задачи Дирихле для уравнения ЛапласаРассмотрим ограниченную областьс границей .

Запишем вторуюформулу Грина в области для двух функций — ( ) и ( ):)∫(∫()(Положим теперь в этой формуле ( )фундаментальное решение уравнения Лапласа,точка. Учитывая, что()()( )∫ ( ) (∫)(), где () —— фиксированная)получим третью формулу Грина:()∫ ()( )∫( ()( )( )())(Здесь все интегралы берутся при фиксированной точке .)Пусть ( ) — решение задачи Дирихле:( )( ){|( )(Неоднородное уравнение Лапласа также называют уравнением Пуассона; в частности,может быть ( ).)|()Потребуем, чтобы(заметим, что фундаментальное решениеопределено с точностью до произвольного решения ( ) уравнения Лапласа, чтопозволяет наложить на него дополнительное условие).

Тогда по третьей формуле Грина:()( )) ( )∫ (∫ ( )) в области ̅ , то можно получитьТаким образом, если известна функция (решение задачи Дирихле ( ) в любой точкеобласти для любых входных данных( ), ( ).), удовлетворяющая условиямО. Функция (()()( ){|называется функцией Грина внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа вобласти .Физический смысл: функция Грина задачи Дирихле в трѐхмерном случае представляетсобой потенциал точечного заряда, расположенного в точкевнутри заземлѐннойповерхности . В двумерном случае это потенциал тонкой заряженной нити,расположенной внутри заземлѐнной цилиндрической поверхности.Поскольку4( )(то){(( )) — потенциал точечного заряда (заряженной нити), апотенциал наведѐнных на поверхности( ) —зарядов.ДЗ 12.

БК с. 118 № 8, 9(в), 10(а), 11(в), с. 119 № 12(б), 13.5Семинар 13Рассмотрим различные способы нахождения функции Грина.Разложение функции Грина в ряд Фурье по СФ задачи Ш.–Л.Функция Грина внутренней задачи Дирихле в области должна удовлетворять задаче (2).Пусть функции * ( )+ образуют полную ортогональную систему СФ задачи Ш.–Л. дляоператора Лапласа в области с условием Дирихле:{|причѐм— соответствующие СЗ. (Здесь индекс будет двойным в двумерном случае итройным — в трѐхмерном.)Будем искать функцию Грина в виде ряда Фурье по всем функциям * ( )+:()( )∑( )где коэффициенты разложениязависят от(сумма будет двойной в двумерномслучае и тройной — в трѐхмерном).Тогда ГУ |автоматически выполняется, т.к.

( )|.()():Подставим ряд (3) в ДУ()( )∑( )∑()т.е.( )∑()Умножим полученное равенство на( )∫⏟∑( )∫⏟( ) и проинтегрируем по области :( ) (())В силу ортогональности СФ, в сумме, стоящей в левой части, отлично от нуля толькоодно слагаемое, соответствующее. Тогда( )∫⏟‖()‖‖ ‖( )откуда( )‖ ‖(Заметим, что для задачи Дирихле все СЗ, поэтому на них можно делить.)В силу произвольности индекса , таким образом определяются все коэффициенты.Подставив их в ряд (3), получим функцию Грина внутренней задачи Дирихле в области :( ) ( )() ∑‖ ‖1Нахождение функции Грина методом разделения переменных) внутренней задачи Дирихле для уравненияНапомним, что функция Грина (Лапласа в области определяется как решение задачи:()(){|С другой стороны, любое фундаментальное решение уравнения Лапласа, т.е.

решение()(), представляется в виде:уравнения( )()( ){( )гдеТогда, с учѐтом граничного условиязадача:( )|, для функции ( ) получается краевая( )|{(Точка{должна лежать строго внутри области , поэтому функциинепрерывны приибудут.)Пример 1 (задача Дирихле в круге). Найти функцию Грина внутренней задачи Дирихледля уравнения Лапласа в круге.Функция Грина в круге будет иметь вид:()( )где |на границе круга.Итак, пусть— фиксированная точка внутри круга,— произвольная точка внутрикруга, — произвольная точка на границе круга. Выберем систему координат с началомв центре круга, так чтобы точкалежала на оси .Тогда точкабудет иметь полярные координаты(), точка будет иметь полярные координаты(). Функция( ) должна удовлетворятьследующей краевой задаче: { |Решение уравнения Лапласа в круге имеет вид (см.семинар 4):()∑()Подставим в ГУ:2|∑()Разложим функцию, стоящую в правой части, в ряд Фурье по тригонометрической), по теореме косинусовсистеме функций. Если точка имеет полярные координаты (получим:√С другой стороны, с помощью дифференцирования по параметру можно получитьформулу:∑| |√Тогда√√( )∑√где( ).

Таким образом,( )∑( )√Это даѐт нам искомое разложение функциив тригонометрический ряд Фурье.Теперь ГУ принимает вид:|∑()∑( )Приравняв соответствующие коэффициенты при()∑()Замечание. Если считать, что точкато ответ запишется в виде()∑()Просуммируем ряд (2). Обозначим()и 1, получим:)Подставим найденные коэффициенты в ряд для ((,):∑(имеет полярные координаты не ((( ))), а (),). Тогда ряд (2) примет вид:∑( )3Поскольку, то. В таком случае формулу (1) можно записать вследующем виде (заменивна ина):∑( )√откуда∑( )√С учѐтом этого, функцию (()*) запишем в виде:+√()()√√Заметим, что √— расстояние между точкойс полярными) и точкой), которая лежит накоординатами (с полярными координатами (осивне круга. Таким образом,()()и()*()+— функция Грина внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге.Функция Грина для других ГУРассмотрим внутреннюю краевую задачу с ГУ третьего рода:( )( ){( )( )()|Функция Грина определяется следующим образом:()(){()|Тогда третья формула Грина для решения краевой задачи ( )( )( ))( ))( )∫ (∫( (())( )принимает вид4()∫ () ( )∫( (⏟(∫)(⏟(∫ () ( ))( )( )( ) ( ))( )∫ (( )( )(⏟(()))( ) ()))) ( )Функцию Грина для ГУ третьего рода также можно искать в виде разложения по СФзадачи Ш.–Л.

с ГУ третьего рода или с помощью нахождения функции ( ) как решениясоответствующей краевой задачи с неоднородным ГУ третьего рода.Аналогично определяется функция Грина для внутренней смешанной краевой задачи:()(){Для задачи Неймана всѐ сложнее, поскольку она не всегда разрешима. Для простотырассмотрим внутреннюю задачу Неймана для однородного уравнения Лапласа:( ){( )|Пусть выполнено условие разрешимости: ∫ ( )для решения краевой задачи ( ) принимает вид:()∫ (Тогда третья формула Грина (3)) ( )где функция Грина (()({|) определяется так:)где— площадь поверхности . Такое неоднородное ГУ для функции Грина возникаетпотому, что иначе для гладкой части функции Грина ( ) не будет выполнено условиеразрешимости задачи Неймана для однородного уравнения Лапласа в области .Во внешних задачах для функции Грина надо ставить дополнительные условия набесконечности.В трѐхмерном случае:()()||()|{5В двумерном случае:()(|)|{ (()|)Построение функции Грина методом зеркальных отображенийИногда, исходя из симметрии областиугадать функцию ( ).и физического смысла функции Грина, удаѐтсяПример 3 (задача Дирихле в полупространстве).