Электронные семинары, страница 7

PDF-файл Электронные семинары, страница 7 Методы математической физики (ММФ) (39153): Семинары - 5 семестрЭлектронные семинары: Методы математической физики (ММФ) - PDF, страница 7 (39153) - СтудИзба2019-05-11СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Электронные семинары", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "методы математической физики (ммф)" из 5 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 7 страницы из PDF

в круге:С учѐтом ГУ|для функции (({)()|Еѐ СЗ и СФ (см. семинар 6):( );( )— k-й положительный корень уравнения()()( )( )‖(√( )( )( )‖‖‖ ‖(√),( )) (;( ))( )‖(( )(√)‖ ‖Теперь для функции ( ) имеем ДУ:( )( )( )Учитывая вид ГУ по (условия Неймана придующем виде:и)), удобно взять ОР ДУ в сле-( )( ){√( )√( )(( ))Таким образом, мы получили ЧР уравнения Лапласа в цилиндре()()()( )удовлетворяющие ГУ|.Теперь будем искать решение краевой задачи (I) в виде суммы всех найденных ЧР:()∑()( )Подставим в неоднородные ГУ∑ ∑√(| |)(| |)√∑ ∑**√(|√(| |))(| |)(|√(| |)()+(():)+)()2|∑ ∑√(| |)(√(| |))()()( )|∑ ∑√(| |)(√(| |))()()( ){), () в ряды Фурье по СФ задачи Ш.–Л. вТеперь надо разложить функции (() и приравнять соответствующие коэффициенты.

Коэффициенткругеостаѐтся произвольным.Рассмотрим конкретные примеры.)Пусть (. Тогда из уравнения (2) получим) рассмотрим два случая.Для функции ()( )а) (( )√где( )аРазложим функцию()(() в ряд Фурье по(√)( )(∑ ∑√⏟( )(√)(| |)(√(| |))):Т.е. разложение содержит только один член: сТогда из уравнения (1)|(√— первый положительный корень уравнения,( )().()))()получим, что√( )( ))(√( )(√т.е.√( )())а все остальные коэффициенты.В этом случае решение краевой задачи (I) имеет вид:()(()*√( )([ ()]( ))б) (.Надо разложить функцию в ряд Фурье по()+))∑ ∑Поскольку()| | (√(| |)∑ ∑)():()( )( ), разложение будет содержать только члены с:3()(∑)(√∑( ))т.е.(√∑( ))Таким образом, осталось разложить функцию(√[( )в ряд Фурье по функциям( ), образующим ортогональную (с весом ) систему на отрезке)]:‖ (√( )( )(√∫))‖где‖ (√( )(√∫)‖( )‖)‖((√)( )( ))Для вычисления оставшегося интеграла удобно использовать формулу:[( )]( )( ) может стоять функция Бесселя( ) или функциягде в качествена ( ).( )( ), поскольку(В частности, если положить, получим: ( )( ) ( ) ( ) для целых .)√Тогда, сделав замену( ), получим:√ ( )∫(√( )√ ( )( )∫)(√( )[∫(√)( )( )])√ ( )( ) ||( )(√)(√√( ))( )Таким образом,∫‖ (√( ))‖(√( )(√( )))√( )(( ))(√( ))и4()( )(√∑)(∑)Подставим данное разложение в уравнение (1):|∑ ∑√⏟Отсюда все√( )(| |), кроме(√( )(| |)(√()( )(∑),и)(√√)( )(√)(( ))(√( )( ))(√)( ))Тогда решение краевой задачи (I) в этом случае имеет вид:()√∑(√( )( )()()√∑(( ))(√( ))(√( ))( )()(√( )))Аналогично решаются краевые задачи, подобные задаче (I), в частях цилиндра:цилиндрическомслое(тороидепрямоугольного сечения), секторе цилиндра,секторе тороида прямоугольного сечения.Задачу (II) мы рассмотрим на следующем семинаре.ДЗ 11.Решить краевую задачу в цилиндрическом секторе:||||( )|{где — первый положительный корень уравнения ( ).БК с.

118 № 9(б), 10 (г), 11 (а), с. 119 № 12(а,в).5Семинар 12Теперь решим задачу (II) в цилиндре (см. пред. семинар).(|)( )||{Сначала найдѐм ЧР уравнения Лапласа()() ( )удовлетворяющие однородным ГУ|в цилиндре вида|Подставим() в урав-нение Лапласа и разделим переменные:()( )()( )С учѐтом ГУ||, для функции ( ) получим задачу Ш.–Л. на отрезке:( )( )( )Еѐ СЗ и СФ:{(( ))( )‖‖()) имеем ДУ:Далее, для функции (()()) в видеБудем искать (()( ) ( )(Тогда, поскольку(( )) ( )( )( )), получим:( ) ( )Разделим переменные, умножив уравнение на(( ))( )Теперь для функции( )( ){()( )Еѐ СЗ и СФ:( ) ( ):( )( )( ) получим задачу Ш.–Л.:( )( )()‖‖Теперь для функции ( ) имеем ДУ:( )( ) ()( )(Здесь без ограничения общности можно считать, чтоОР данного ДУ имеет вид:.)1( ){(√)(√)где — функция Инфельда n-го порядка,— функция Макдональда n-го порядка (цилиндрические функции чисто мнимого аргумента).Функции Инфельда ( ) ограничены при, а приони√.( ) неограничены приФункции Макдональдаприони√.Тогда из условия ограниченности решения причим, что (с точностью до постоянного множителя):( ),аполу-{(√)Таким образом, нами получены ЧР уравнения Лапласа в цилиндре()()( )( ) ( )|удовлетворяющие однородным ГУ|.Решение краевой задачи (II) ищем в виде ряда по всем найденным ЧР:()∑ ∑| |( )|Подставим в неоднородное ГУ|∑ ∑| |( )( )( )( )():( )()) в ряд Фурье по ортогональной системе функцийОстаѐтся разложить функцию (( ) ( ) и приравнять соответствующие коэффициенты:()∑ ∑‖‖ ‖Коэффициенты‖( )∫∫( )()выражаются через( )( ).2Примеры краевых задач, которые можно решить точно в произвольных областях| |())|(t||Фундаментальное решение уравнения Лапласа) называется фундаментальным решениемО.

Регулярная обобщѐнная функция (уравнения Лапласа в области , если()()( )Индексв операторе Лапласаозначает, что все производные в операторе Лапласаберутся по координатам точки , при фиксированной точке .) — дельта-функция: обобщѐнная функция, действующая на основныеЗдесь (функции ( ) по правилу:( ()( ))∫ () ( )()В трѐхмерном случае дельта-функцию можно представить в виде произведения трѐх(),одномерных дельта-функций: если точки,имеют координаты(), то()() () ()), иВ двумерном случае: ( ), (()() ()Таким образом, фундаментальное решение () удовлетворяет уравнению Лапласа()при, а приимеет особенность.Явный вид фундаментального решения уравнения Лапласа:( )(){где( )( )— расстояние между точкамии.3) определено с точностью доМы видим, что фундаментальное решение (произвольного решения ( ) однородного уравнения Лапласа в области .Функция Грина внутренней задачи Дирихле для уравнения ЛапласаРассмотрим ограниченную областьс границей .

Запишем вторуюформулу Грина в области для двух функций — ( ) и ( ):)∫(∫()(Положим теперь в этой формуле ( )фундаментальное решение уравнения Лапласа,точка. Учитывая, что()()( )∫ ( ) (∫)(), где () —— фиксированная)получим третью формулу Грина:()∫ ()( )∫( ()( )( )())(Здесь все интегралы берутся при фиксированной точке .)Пусть ( ) — решение задачи Дирихле:( )( ){|( )(Неоднородное уравнение Лапласа также называют уравнением Пуассона; в частности,может быть ( ).)|()Потребуем, чтобы(заметим, что фундаментальное решениеопределено с точностью до произвольного решения ( ) уравнения Лапласа, чтопозволяет наложить на него дополнительное условие).

Тогда по третьей формуле Грина:()( )) ( )∫ (∫ ( )) в области ̅ , то можно получитьТаким образом, если известна функция (решение задачи Дирихле ( ) в любой точкеобласти для любых входных данных( ), ( ).), удовлетворяющая условиямО. Функция (()()( ){|называется функцией Грина внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа вобласти .Физический смысл: функция Грина задачи Дирихле в трѐхмерном случае представляетсобой потенциал точечного заряда, расположенного в точкевнутри заземлѐннойповерхности . В двумерном случае это потенциал тонкой заряженной нити,расположенной внутри заземлѐнной цилиндрической поверхности.Поскольку4( )(то){(( )) — потенциал точечного заряда (заряженной нити), апотенциал наведѐнных на поверхности( ) —зарядов.ДЗ 12.

БК с. 118 № 8, 9(в), 10(а), 11(в), с. 119 № 12(б), 13.5Семинар 13Рассмотрим различные способы нахождения функции Грина.Разложение функции Грина в ряд Фурье по СФ задачи Ш.–Л.Функция Грина внутренней задачи Дирихле в области должна удовлетворять задаче (2).Пусть функции * ( )+ образуют полную ортогональную систему СФ задачи Ш.–Л. дляоператора Лапласа в области с условием Дирихле:{|причѐм— соответствующие СЗ. (Здесь индекс будет двойным в двумерном случае итройным — в трѐхмерном.)Будем искать функцию Грина в виде ряда Фурье по всем функциям * ( )+:()( )∑( )где коэффициенты разложениязависят от(сумма будет двойной в двумерномслучае и тройной — в трѐхмерном).Тогда ГУ |автоматически выполняется, т.к.

( )|.()():Подставим ряд (3) в ДУ()( )∑( )∑()т.е.( )∑()Умножим полученное равенство на( )∫⏟∑( )∫⏟( ) и проинтегрируем по области :( ) (())В силу ортогональности СФ, в сумме, стоящей в левой части, отлично от нуля толькоодно слагаемое, соответствующее. Тогда( )∫⏟‖()‖‖ ‖( )откуда( )‖ ‖(Заметим, что для задачи Дирихле все СЗ, поэтому на них можно делить.)В силу произвольности индекса , таким образом определяются все коэффициенты.Подставив их в ряд (3), получим функцию Грина внутренней задачи Дирихле в области :( ) ( )() ∑‖ ‖1Нахождение функции Грина методом разделения переменных) внутренней задачи Дирихле для уравненияНапомним, что функция Грина (Лапласа в области определяется как решение задачи:()(){|С другой стороны, любое фундаментальное решение уравнения Лапласа, т.е.

решение()(), представляется в виде:уравнения( )()( ){( )гдеТогда, с учѐтом граничного условиязадача:( )|, для функции ( ) получается краевая( )|{(Точка{должна лежать строго внутри области , поэтому функциинепрерывны приибудут.)Пример 1 (задача Дирихле в круге). Найти функцию Грина внутренней задачи Дирихледля уравнения Лапласа в круге.Функция Грина в круге будет иметь вид:()( )где |на границе круга.Итак, пусть— фиксированная точка внутри круга,— произвольная точка внутрикруга, — произвольная точка на границе круга. Выберем систему координат с началомв центре круга, так чтобы точкалежала на оси .Тогда точкабудет иметь полярные координаты(), точка будет иметь полярные координаты(). Функция( ) должна удовлетворятьследующей краевой задаче: { |Решение уравнения Лапласа в круге имеет вид (см.семинар 4):()∑()Подставим в ГУ:2|∑()Разложим функцию, стоящую в правой части, в ряд Фурье по тригонометрической), по теореме косинусовсистеме функций. Если точка имеет полярные координаты (получим:√С другой стороны, с помощью дифференцирования по параметру можно получитьформулу:∑| |√Тогда√√( )∑√где( ).

Таким образом,( )∑( )√Это даѐт нам искомое разложение функциив тригонометрический ряд Фурье.Теперь ГУ принимает вид:|∑()∑( )Приравняв соответствующие коэффициенты при()∑()Замечание. Если считать, что точкато ответ запишется в виде()∑()Просуммируем ряд (2). Обозначим()и 1, получим:)Подставим найденные коэффициенты в ряд для ((,):∑(имеет полярные координаты не ((( ))), а (),). Тогда ряд (2) примет вид:∑( )3Поскольку, то. В таком случае формулу (1) можно записать вследующем виде (заменивна ина):∑( )√откуда∑( )√С учѐтом этого, функцию (()*) запишем в виде:+√()()√√Заметим, что √— расстояние между точкойс полярными) и точкой), которая лежит накоординатами (с полярными координатами (осивне круга. Таким образом,()()и()*()+— функция Грина внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге.Функция Грина для других ГУРассмотрим внутреннюю краевую задачу с ГУ третьего рода:( )( ){( )( )()|Функция Грина определяется следующим образом:()(){()|Тогда третья формула Грина для решения краевой задачи ( )( )( ))( ))( )∫ (∫( (())( )принимает вид4()∫ () ( )∫( (⏟(∫)(⏟(∫ () ( ))( )( )( ) ( ))( )∫ (( )( )(⏟(()))( ) ()))) ( )Функцию Грина для ГУ третьего рода также можно искать в виде разложения по СФзадачи Ш.–Л.

с ГУ третьего рода или с помощью нахождения функции ( ) как решениясоответствующей краевой задачи с неоднородным ГУ третьего рода.Аналогично определяется функция Грина для внутренней смешанной краевой задачи:()(){Для задачи Неймана всѐ сложнее, поскольку она не всегда разрешима. Для простотырассмотрим внутреннюю задачу Неймана для однородного уравнения Лапласа:( ){( )|Пусть выполнено условие разрешимости: ∫ ( )для решения краевой задачи ( ) принимает вид:()∫ (Тогда третья формула Грина (3)) ( )где функция Грина (()({|) определяется так:)где— площадь поверхности . Такое неоднородное ГУ для функции Грина возникаетпотому, что иначе для гладкой части функции Грина ( ) не будет выполнено условиеразрешимости задачи Неймана для однородного уравнения Лапласа в области .Во внешних задачах для функции Грина надо ставить дополнительные условия набесконечности.В трѐхмерном случае:()()||()|{5В двумерном случае:()(|)|{ (()|)Построение функции Грина методом зеркальных отображенийИногда, исходя из симметрии областиугадать функцию ( ).и физического смысла функции Грина, удаѐтсяПример 3 (задача Дирихле в полупространстве).

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее