Электронные семинары, страница 5

Найти СЗ и СФ задачи Ш.–Л.:{По-прежнему будем искать СФ в виде:(((После разделения переменных(( )(получим задачу Ш.–Л. для функции(({(((:( — СЗ и СФ этой задачи. Тогда для функции ( получим ДУ:Пустьи((((Решения этого уравнения, ограниченные при, имеют вид (опуская постоянныймножитель)√ ,а) при: (б) при: ((√ )√СЗ(находятся из однородного ГУ при(((√((√). Тогда СФ имеют вид:((Кроме этих СФ, в задаче Неймана имеется ещѐ СФ, соответствующая СЗ(.‖‖‖ ‖ ‖ следует использовать формулы (2), (3), (4), вДля вычисления ‖которых надо заменить на √ .ДЗ 6. БК с.

62 № 3 (найти СЗ, СФ и ‖‖ ).Дополнительный материалВывод формулы∫(*(()( +для произвольной цилиндрической функции n-го порядка ( .Запишем уравнение Бесселя n-го порядка, которому удовлетворяет функция((((Умножим его на ( и проинтегрируем:∫((∫(∫((( :(6Применим формулу интегрирования по частям к первому и последнему интегралу:∫⏟(((((∫(⏟(∫((()(∫∫((()(∫(Отсюда∫(*(()( +ч.т.д.7Семинар 7Пример 1 (в кольце). Найти СЗ и СФ задачи Ш.–Л.:{ | |Поскольку это задача Неймана, все еѐ СЗ.Будем искать СФ в виде:()( ) ( )Подставив в ДУ и разделив переменные, получим:(( ))( )Для функции ( ) имеем задачу Ш.–Л.:( )( ){()( )Еѐ СЗ и СФ:( )( )Для функции ( ) получим ДУ:( )( ) () ( )Его ОР имеет вид:( )( )( )( ){(√ )(√ )Из ГУ получаем:( )( )а) Прииз ГУ имеем.

Тогда с точностью до произвольного множителяполучим( ),( )()( ) ( )— СФ, отвечающая СЗ;‖ ‖().б) При,с учѐтом ГУ получим только тривиальное решение (домапроверить).в) ПриГУ принимают вид:( )√ (√ )√(√ ){( )√ (√ )√(√ )После сокращения на √ получим систему:(√ )(√ )( ){(√ )(√ )Эта ОСЛАУ (относительно неизвестных константи) будет иметьнетривиальные решенияеѐ определитель равен нулю:(√ )(√ )||(√ )(√ )т.е.1( )(√ ) (√ )(√ ) (√ )Можно показать, что это уравнение имеет счѐтное число положительных корней:( )Все они будут являться СЗ задачи Ш.–Л.( )Присистема (1) вырождена, и константы ,двух уравнений.

Например, из первого:(√( )(√)Тогда(√( ))(√( ))), где— произвольное. Получим( )(√( )(√( )( )определяются из любого из)(√)( ))( )(√)[]Помня, что СФ всегда определяются с точностью до произвольного множителя,положим(√( )(√( )). Тогда( ))(√( )(√)( )(√)( ))(√( )Соответствующие СФ имеют вид:()( )( )()( )( )( )(√*()(√*)(√( )( )( ))(√)( )(√)( ))(√( ))(√( ))+(√( ))(√( ))+)(√‖‖( ))( )(√( ))Вычислим квадрат нормы СФ:‖‖∫(∫)∫⏟( )‖‖‖Найдѐм‖‖(∫‖( )∫⏟‖‖‖‖)( )Сделаем замену: √( ). Тогда2√ ( )‖‖∫( )√(Обозначим√( )( )(√( )(( )( )√)( ).

Заметим, что функция)( )(√) ( )( ))является цилиндрической функцией n-го порядка (как линейная комбинацияфункций ( ) и ( )) по переменной , поэтому для неѐ справедлива формула (см.пред. семинар):( )∫( )*(( )+)Отсюда получаем:√ ( )‖‖∫( )( )√ ( )[(√( )[(√( )[( ))()(√( )( ))])()(√( )( ))])( )](( )( )( )(Поскольку(( )С учѐтом условий Неймана‖‖(Вычислим||(√( )( ))( ))(√ ( )( ),((( )( )√ ( ))( )]).)получим)( )( )( ):(√( )(√( )√ ( )( )[))( ))(√(√(√( )( )( )))||)(√[ ( )( ))( )]|(√( ))√ ( )На лекциях был получен вронскиан3[ ( )( )]Поэтому( )( )√( ):Теперь вычислим( )(√( )(√)( )(√)( )( )(√))Из уравнения (2)( )(√( )(√)( )(√))(√( ))выразим(√( )( )(√)(√)( )(√( )))Тогда(√( ))(√( )(√(√( )( )(√( ))(√( ))( )(√[ ( )(√( )(√)( )(√)( ))(√( ))))*( )(√)( )]|)( )(√)√ ( )( )(√( ))(√( )))((√)√( ))+( )Окончательно имеем:‖‖( )(√( ))(( )[Ответ:(√ )(√( ))( ))]( )— k-й положительный корень уравнения(√ )(√ ) (√ )( )()(√( ))(√( ))(√( ))(√( ))4()(()( )( )(√*(√)( )))(√( )(√( )))(√( )(√( )))(√( )(√)+( ))+)‖‖(√*(‖)(( )‖()[(√( )( )))(( ))]Пример 2 (в кольцевом секторе).

Найти СЗ и СФ задачи Ш.–Л.:{Будем искать СФ в виде:()( ) ( )Подставив в ДУ и разделив переменные, получим: ( ))(( )( )( )Для функции ( ) имеем задачу Ш.–Л.:( )( ){( ).Она имеет СЗ и СФДля функции ( ) получим ДУ:( )( ) () ( )Его ОР имеет вид:( ){√√√(√)√(√)( )СЗи неизвестные коэффициенты , находятся из однородных ГУ приКвадраты норм СФ находятся аналогично случаю кольца.ДЗ 7. БК с. 63 № 4, 5(а,в,д) (найти СЗ, СФ и ‖В след. раз — к/р.,.‖ ).5Семинар 8Уравнение Лапласа в сферических координатахВ сферических координатах (уравнение Лапласа):запишется в виде:()где()(Дома получить!)Найдѐм ЧР уравнения Лапласа в пространстве, представимые в виде:()( ) ()Подставив это выражение в уравнение Лапласа, получим:( )( )) ()()(Разделим переменные: умножим уравнение начим:(( ))().

Полу-и поделим на ( ) ( ). Полу-и поделим на( ) ()( )()) имеем ДУ:Для функции (()()()()()()Найдѐм ЧР этого уравнения, представимые в виде:()( ) ( )Подставив это выражение в уравнение, получим:( )( )) ( )( ) ( )( )(Разделим переменные: умножим уравнение начим:(( ))( )Теперь для функции( )( ){()( )Еѐ СЗ и СФ:( )( )( ) имеем задачу Ш.–Л.:( )( )Тогда для функции ( ) имеем ДУ:( )() (( )) ( )1(Здесь без ограничения общности можно считать, чтоПоделим уравнение на:( )() () ( )Сделаем замену:. Тогда.).

Также имеемоткудаДУ принимает вид:()()Окончательно:(())()Это уравнение должно выполняться при. Но— особые точки для данного уравнения, в них решение может быть неограниченным. Тогда мы должны дополнительно потребовать ограниченности решения в этих точках. Получится задача Ш.–Л. сусловиями ограниченности решения в особых точках:) ) (((){| ||На лекциях показано, что нетривиальные ограниченные прирешения существуют()При этом (с точностью до произвольного множителя) эти ограниченные решения имеют( )( )( ) — присоединѐнные функции Лежандра.вид:( )( ):Основные свойства присоединённых функций Лежандра( )( ) ортогональны на отрезке [] при одинаковых и разных :1) функции∫( )( )( )( )( )( ),2) при каждом фиксированном функцииортогональную систему на отрезке [];3)( )( ) ()( )где ( ) — полиномы Лежандра,( )[() ] (формула Родрига),в частности,4) ‖( )‖( )∫ *( )( ), образуют полную( )(2)( );( )+()()Вернувшись к переменной , получим:( )( )( )()2Эти функции представляют собой тригонометрические многочлены.

В самом деле, из( )( ) является многочленом от переменныхформул (1), (2) видно, что функция)и(.Итак, мы получили функции()( )( )()( )( )()( )Они называются сферическими функциями и являются СФ задачи Ш.–Л. на единичнойсфере()())(){ (| ()||() (таким образом, одному СЗ соответствует несколько ЛНЗотвечающими СЗСФ; а именно,).( )():Основные свойства сферических функций1) Сферические функции образуют полную ортогональную систему на единичнойсфере. Поэтому других ЛНЗ СФ у задачи Ш.–Л.

нет.2) ‖()‖‖( )‖‖‖ где ‖(‖), ‖( )Выпишем, для примера, несколько первых сферических функций.( )( )( )( )()() ( )(Поскольку( ), тодрига (2) получим:( )( )()()( )(( )( )[(()(( )(()) ](()().). Из формулы Ро-)())( )Теперь вычислим( )( ))‖)(). Согласно формуле (1):( )(( ))()( )( )()() ( )( )( )()()( )Заметим также, что из формул (1), (2) следует, что( )( )(( )()()())(( ))( )((( ))( )(())[(( )() ])( )(()()))Запишем вычисленные нами сферические функции в виде таблицы:3( )0()213вычислитьдомавычислитьдомавычислитьдомавычислитьдомавычислитьдомавычислитьдомавычислитьдомавычислитьдомавычислитьдома01вычислитьдомавычислитьдома12()(())Далее, для функции ( ) имеем ДУ:( ))(()( )( )( )() ( )Это уравнение Эйлера. Его ОР имеет вид (дома получить):( )Итак, мы построили ЧР уравнения Лапласа вида:( )()(( )( )( ))()Пример 1 (в шаре).{ |()Будем искать решение в виде суммы найденных ранее ЧР уравненияЛапласа в сферических координатах:()( )∑ ∑∑ ∑ ()∑ ∑( )( )()( )( ))В силу ограниченности решения при((( )()нужно положить все( ).

Тогда)Эта функция удовлетворяет уравнению Лапласа в шаре. Подставим еѐ в ГУ:|∑ ∑( )( )()()4) вДля определения неизвестных коэффициентов разложим известную функцию (( )() — СФ задачи Ш.–Л. на единичной сферяд Фурье по сферическим функциямре:()( ) ( )∑ ∑( )∫( )()∫( )() ()‖‖и приравняем коэффициенты при соответствующих членах.)Например, пусть (.

Разложим эту функцию в ряд Фурье по сферическимфункциям. Функцияне зависит от , поэтому ряд Фурье будет содержать только( )()( ). Из таблицы видно, чтосферические функции, не зависящие от , т.е.функция(( )является ЛК функций( ))(( ))()(и( )():)Таким образом, ГУ запишется в виде:|( )∑ ∑( )(( ))(( ))()откуда( )( )( )а все остальные коэффициенты()( )∑ ∑Ответ: (( )равны нулю. Тогда())( ) ( )()( )( )().Внешние краевые задачи для уравнения Лапласа в пространствеВ трѐхмерном случае на бесконечности ставится условиеравномерного (по направлению) стремления решения кнулю:⃗{( )| (означает, что)|при.Т.