Электронные семинары, страница 2

Запишем второй закон Ньютона для газа, находящегося в ней в момент времени :∫Рассмотрим интегралписать в виде:⃗, где∫∫Аналогично,∫⃗∫{⃗∫. Это вектор. Его первую компоненту можно за-}. Тогда по формуле Остроградского–Гаусса:∫∫,и∫,∫.Далее:Тогда получим:∫∫∫Воспользовавшись формулой среднего значения и перейдя к пределу причим:, полу-Закон сохранения вещества:∫∫⃗∫Воспользовавшись формулой среднего значения и перейдя к пределу причим:, полу-К двум полученным уравнениям газодинамики надо добавить ещѐ уравнение состояниягаза:Пусть̃,̃̃̃ где и — плотность идавление в положении равновесия, а ̃ и ̃ — малые отклонения от положения равновесия.Будем считать малыми колебаниями такие, при которых можно пренебречь квадратами ипроизведениями малых величин по сравнению с первыми степенями. Кроме того, будемсчитать малыми величинами скорость и еѐ частные производные.

Тогда система уравнений газодинамики принимает вид:9̃{̃Теперь возьмѐм дивергенцию от первого уравнения и производную по от второго:̃{̃Вычтя из второго уравнения первое, получим:̃̃Введя обозначения,, получим трѐхмерное уравнениеколебаний:̃̃Оно описывает распространение звука в газе.Начальные условия. Поскольку уравнение второго порядка по , то начальных условийдолжно быть два:1) Задана начальная плотность: ̃|2) Задана начальная скорость: |.Из уравнения ̃получим:̃|Граничные условия:1) Абсолютно мягкий сосуд. Тогда |, где— давление внешней среды.Отсюда ̃|и ̃|2) Абсолютно жѐсткий сосуд: |. Рассмотрим уравнение̃на границе , считая, чтовблизи границы.

Умножив уравнение на ⃗ , получим:̃||, откуда̃|В промежуточном случае надо ставить ГУ третьего рода.В случае установившихся колебаний с частотой : ̃, под дей̃ствием силы, уравнение колебаний принимает вид:̃̿ — уравнение Гельмгольца, гдеилиуравнение Гельмгольца однородно:. Если внешней силы нет, то10Семинар 2Задачи Штурма–Лиувилля для оператора Лапласа в прямоугольных областях(Начально)-краевые задачи для уравнений математической физики во многих случаяхсводятся к задачам Штурма–Лиувилля для оператора Лапласа, поэтому сначала нужнонаучиться решать эти задачи в различных областях.ОтрезокТребуется найти все значения , при которых существуютнетривиальные решенияданной краевой задачи.

Такие называются собственными значениями (СЗ), а нетривиальные решения— собственными функциями (СФ)задачи Штурма–Лиувилля. Задачи Штурма–Лиувилля на отрезке рассматривались в прошлом семестре.Т. (свойства СЗ и СФ задачи Штурма–Лиувилля).1. В случае однородных ГУДирихле:Неймана:третьего рода:(при,),а также смешанных ГУ (любая комбинация перечисленных) СЗ задачи Штурма–Лиувилля (1), (2) неотрицательны:При этом нулевое СЗесть тогда и только тогда, когда на всей границе ставится условие Неймана:2.

СФ задачи Штурма–Лиувилля (1), (2), отвечающие различным СЗ, ортогональны (свесом 1) на отрезке.Т. (Стеклова). Еслии удовлетворяет однородным ГУ (2), тоцияраскладывается в ряд Фурье по ортогональной системе СФ задачи Штурма–Лиувилля (1), (2):∑причѐм коэффициенты ряда вычисляются по формуле:‖ ‖‖ ‖∫‖ ‖∫Замечание: если функцияне удовлетворяет ГУ, то указанный ряд Фурье будет сходиться кво всех внутренних точках.Замечание: аналогичные теоремы справедливы в двумерных и трѐхмерных ограниченныхобластях.1Пример 1 (смешанные ГУ).

Найти СЗ и СФ задачи Ш.–Л.: {В силу приведѐнной выше теоремы все СЗ положительны:Тогда ОР ДУ:√√Из ГУ:{√√√√√.√В силуимеем:√√ )( √Нетривиальные решения будут, только если√√√т.е.√√Это трансцендентное уравнение имеет бесконечно много положительных корней ,(см. рис.). Им соответствуютСФ√Поскольку СФ всегда определены с точностью до ненулевого множителя, мы вдальнейшем будем этот множительопускать, т.е. выписывать только систему ЛНЗ СФ.Ответ:— корни уравнения;√√ ,.√ДЗ.

Разложить функциюв ряд Фурье по ортогональной системе функций√на отрезке.Пример 2 (периодические ГУ). Найти СЗ и СФ задачи Ш.–Л.: {Требуется найти все 2l-периодические нетривиальные решения ДУ.1).√√При | | | |функцияне может быть периодической, т.к.

она неограничена. (В самом деле, непрерывная периодическая функция ограничена на отрезке], а следовательно, и на всей вещественной оси.) Поэтому СФ и СЗ нет.2)..Прифункциянеограничена. При:— 2l-периодическаяфункция.3).√√(√)2Приу этой функции наименьший период. Чтобы она имела период√нужно, чтобы в укладывалось целое число периодов :,√Отсюда()Соответствующие СФ:|Поскольку каждому СЗдующим образом:|||отвечают две ЛНЗ СФ, мы будем обозначать их сле-Ответ:;,( ) ,ДЗ: убедиться, что эти СФ ортогональны наВ частности, приимеем:,,, и вычислить квадраты их норм.Пример 3 (прямоугольник).

Найти СЗ и СФ задачи Ш.–Л.:{|Здесь.ГУ Неймана можно записать в виде:||||Задача решается методом разделения переменных. Будем искатьПодставим это выражение в ДУ, учтя, чтоПоделим нав виде::Это должно выполняться везде внутри прямоугольника:,. Но леваячасть — это функция только переменной , а правая часть — только переменной . Этифункции могут быть тождественно равны только тогда, когда они равны константе.

Тогда3Для функцииполучаем уравнениеТеперь подставим|в ГУ|,и получим ГУ для:Таким образом, имеем задачу Штурма–Лиувилля:{( ) , а СФ —Дома вы убедитесь в том, что еѐ СЗДля функцииимеем уравнение:,С учѐтом ГУ получим задачу Штурма–Лиувилля:{Она аналогична задаче для(и имеет СЗ) и СФ,Тогда СЗ задачи Штурма–Лиувилля для прямоугольника:( )() , а СФ:Все ли ЛНЗ СФ мы нашли? Можно показать, что найденные СФ образуют замкнутую ортогональную систему функций в прямоугольнике (это следует из замкнутости систем СФ{} и {} на отрезкахи, соответственно). Из замкнутости следуетполнота. Если бы существовали другие ЛНЗ СФ, то они были бы ортогональны найденным (или их можно было бы сделать ортогональными по алгоритму Грама–Шмидта), нотогда в силу полноты нашей системы эти СФ были бы тривиальными, что невозможно.Поэтому других ЛНЗ СФ нет.Ответ:( )( ) ,ДЗ: вычислить квадраты норм СФ по формуле‖‖∫∫∫,∫‖‖‖‖Пример 4 (прямоугольный параллелепипед).

Найти СЗ и СФ задачи Ш.–Л.:{Здесьписать в виде:|. ГУ Неймана можно за-4||||Будем искать||в видеПодставив это в ДУ и поделив на, получимОтсюдаС учѐтом ГУ, получим задачу Ш.–Л. для функции:{( ) и СФОна имеет СЗВ уравнении,разделим переменные ещѐ раз:Тогда имеем задачу Ш.–Л. для функции:{(Она имеет СЗДля функции) и СФ,:и получаем задачу Ш.–Л.:{Она имеет СЗ( ) и СФТогда СЗ задачи Ш.–Л. в прямоугольнике:()()()( ) ,,()а еѐ СФ —Ответ:( )ДЗ: вычислить ‖,‖ .5ДЗ 2. Доделать примеры 1–4.Найти СЗ и СФ задачи Ш.–Л.

для уравненияна отрезкес ГУ:а),;б),;в),;г),;д),.БК с. 62 № 2 (в,г,д), с. 63 № 6(а).Во всех этих задачах вычислить также квадраты норм СФ.6Семинар 3Выпишем СЗ и СФ основных одномерных задач Ш.–Л. для оператора Лапласа.( )ДУ: ( )СЗСФГУ‖ ‖( )( )()( )( )()( )( )()(( )()((()()))()())СФ образуютполную ортогональную систему наСФ образуютполную орто()()( )( )гональную систему наЭтими результатами можно пользоваться в дальнейшем при решении задач.Краевые задачи для уравнения Лапласа{()|Пусть— ограниченная область на плоскости или впространстве, — еѐ граница.

Рассмотрим краевую задачу для уравнения Лапласа:Требуется найти неизвестную функцию .Мы будем рассматривать ГУ следующего вида:|( ) — Дирихле,|( ) — Неймана,( ) — третьего рода ( ( )),а также смешанные ГУ, когда на одной части границы ставится условие одного рода, надругой — другого, и т.п.Предположим, что все функции достаточно гладкие. Тогда справедлива следующая теорема.Т. (существования и единственности). а) задачи Дирихле и третьего рода при ( )(а также смешанные задачи) однозначно разрешимы;б) задача Неймана разрешима∬∬ ( )При этом еѐ решение определено с точностью до произвольной аддитивной постоянной.1Пример 1 (прямоугольник).( )|( )|( )( )( )||{Это задача Неймана.( ),( ),( ) — заданные функЗдесь ( ),ции.Условие разрешимости задачи Неймана запишется ввиде:∫∫(( )∫|∫()( )∫|( ))∫(|)∫(|)( )Будем считать, что оно выполнено (иначе задача не имеет решения).Будем искать неизвестную функцию () в виде:()()()где функции ( ) и ( ) являются решениями следующих краевых задач:|{|()|( )|( )|( )|( )( )||{В самом деле, тогда функция () будет удовлетворять исходной краевой задаче ( ).Проблема в том, что исходная задача ( ) может быть разрешима, а задачи ( ), ( ) могутне иметь решения, т.к.

для них условия разрешимости:∫( )( )∫( )( )В этом случае данный подход неприменим. В дальнейшем будем считать, что условияразрешимости задач ( ), ( ) выполнены.Рассмотрим задачу ( ).Сначала найдѐм частные решения уравнения Лапласа, удовлетворяющие однородным ГУ:||, и представимые в виде()( ) ( ).В этом случае уравнение Лапласа принимает вид:( )( )( ) ( )( ) ( )2Поделим его на ( ) ( ) и разделим переменные (о методе разделения переменных см.семинар 2):( )( )( )( )С учѐтом ГУ:||, для функции ( ) получим задачу Ш.–Л.:( )( )( )( )Как мы уже знаем (см. таблицу), еѐ СЗ и СФ:{(( ))Теперь для функции ( ) имеем ДУ:( )( )т.е.( )(( ))Оно имеет ОР:( ), если;( ), еслиТаким образом, мы получили функции( )()( ) ( )( )()( ) ( )()которые удовлетворяют уравнению Лапласаи ГУ:||.Будем искать решение задачи ( ) в виде их суммы:(( ))()∑(При условии, что ряд можно дифференцировать почленно два раза, функциябудет удовлетворять уравнению Лапласаи однородным ГУ:|( ))() тоже|.Подставим еѐ в неоднородные ГУ:()∑( )|(|∑(|∑(( ).|))( )Из уравнений (1), (2) надо найти коэффициентыфункции ( ) и ( ) в ряд Фурье по,СФ задачи Ш.–Л.

на отрезке):( )( )),( ). Для этого разложим известные… (по ортогональной системе3( )( )∑∑где∫‖( )∫‖‖‖(‖( )‖)Подставим эти ряды Фурье в правые части уравнений (1), (2):∑(∑()∑)∑{В силу единственности разложения функции в ряд Фурье, приравняем соответствующиекоэффициенты при,:()){ (Из этой системы однозначно определяются все коэффициенты,,,(проверьте это). Заметим, что система имеет решение только при, что следует изусловия разрешимости задачи Неймана ( ). Полученные коэффициенты подставляются ввыражение (*), и получается решение задачи ( ) (при условии, что ряд сходится; мы небудем доказывать его сходимость.). В силу теоремы существования и единственности,других решений у задачи ( ) нет.