Электронные семинары, страница 9

раз — к/р.6Семинар 15Начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности в ограниченной областис однородными ГУ({.)/|()()|( )( )Здесь,| | | |,.̅,) приТребуется найти (.Если все функции — достаточно гладкие, то классическое решение существует иединственно.Рассмотрим вспомогательную задачу Ш.–Л.:( )( ){()|Пусть * ( )+ — полная ортогональная система СФ этой задачи Ш.–Л., а *) в ряд Фурье по * ( )+:соответствующие СЗ.

Разложим функции ( ) и (( )(( )∑)∑( )‖( )( )‖+ —∫ ( ) ( )‖‖∫ () ( )Решение начально–краевой задачи для уравнения теплопроводности также будем искать ввиде ряда Фурье по * ( )+:()∑( ) ( )( )с неизвестными коэффициентами ( ).Тогда однородное ГУ автоматически выполняется.Подставим ряды Фурье в ДУ и НУ:∑( )( )∑( )( )⏟∑( ) ( )( )( )∑ ( ) ( ) ∑{Приравняв соответствующие коэффициенты при ( ), получим:( )( )( )( ){( )Это задача Коши для ОДУ первого порядка. Еѐ решение можно записать в виде (домапроверить):( )∫⏟()( )Замечание 1: данное представление решения задачи Коши (2) справедливо и в случае.1Замечание 2: на практике иногда удобнее решать задачу Коши (2) непосредственно, неиспользуя представление решения через функцию Коши.Найденные ( ) подставим в ряд (1) и получим решение исходной начально-краевойзадачи для уравнения теплопроводности.Пример 1.

Решить начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности на отрезке:|||{Сначала найдѐм СЗ и СФ соответствующей задачи Ш.–Л.:( )( ){( )()Отсюда:[./]( )Разложим функции ( )( )(.( ))и ()в ряд Фурье по * ( )+:( )∑( )/∑( ) ( )( )Теперь будем искать решение исходной начально-краевой задачи в виде ряда:()∑( ) ( )ГУ выполнены автоматически. После подстановки рядов в ДУ и НУ и приравниваниякоэффициентов при соответствующих СФ, получим следующую задачу Коши:( )( ){( )Мы не будем использовать представление решения через функцию Коши, а решим задачунепосредственно.Приэта задача Коши однородна:( )( ){( )В силу единственности решения задачи Коши для ОДУ она имеет только тривиальноерешение: ( ).Теперь рассмотрим задачу для:( )( ){( )ОР ДУ имеет вид ( ), причѐм из НУ.

Таким образом,( )Рассмотрим задачу для:2( )( )( )ОР ДУ ищем в виде:( )⏟{̃ ( )⏟где ̃ ( ) надо искать в виде̃ ( )поскольку в правой части ДУ стоит многочлен первой степени по .Подставив ̃ ( ) в ДУ, получим:Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях :Отсюда:Тогда̃ ( )и( )Коэффициентопределяем из НУ:( )Таким образом,( )Теперь подставим найденные()∑( ) ( )( ) в ряд для решения начально-краевой задачи:( ) ( )( ) ( )(.

/ ,где). / .Начально-краевые задачи для уравнения колебаний в ограниченной области с однородными ГУ(.|{ |)()/|()( )( )(())3Задача решается аналогично, но для ( ) получается задача Коши:( )( )( ){ ( )( )где,, ( ), ( ) — коэффициенты разложения функций() в ряд Фурье по СФ соответствующей задачи Ш.–Л.Решение этой задачи Коши имеет вид (дома проверить):√√( )∫√(√)√( ),( ),(),( )) ( )∫({Замечание: на практике иногда удобнее решать задачу Коши непосредственно, неиспользуя представление решения через функцию Коши.Пример 2 (задача о вынужденных колебаниях круглой мембраны). Решить начальнокраевую задачу для уравнения колебаний в единичном круге:( )||{ |где, — первый положительный корень уравнения ( ).Эта задача описывает малые поперечные колебания упругой мембраны с краями,закреплѐнными на единичной окружности, под действием периодической внешней силы.Сначала найдѐм СЗ и СФ соответствующей задачи Ш.–Л.

в круге:{|Как мы знаем (см. семинар 6), СФ имеют вид:()(√( )( ))где( )( )( )( )— k-й положительный корень уравнения (√ )Заметим, что по условию задачи √Разложим функцию()().в ряд Фурье по СФ( )∑ ∑( )(,():)(), поэтомуЗаметим, что ( )( )Теперь будем искать решение исходной начально-краевой задачи в виде ряда:()∑ ∑( )()4ГУ выполнены автоматически. Подставив ряд в ДУ и НУ и приравняв соответствующиекоэффициенты приполучим задачу Коши:( )( )( )( ){ ( )( )( )) ( ). Для( )В силу единственности решения задачи Кошипри (имеем задачу:( )( )( )( ){ ( )( )Воспользуемся представлением решения через функцию Коши:( )√( )(∫)( )∫√(∫∫*{()( )),() -,() -+,() -,() -(}|)(Тогда решение начально-краевой задачи имеет вид:()( )∑ ∑⏟()(())( )⏟(())())Отсюда видно, что решение — стоячая волна.Данный ответ не подходит для случая, когда вынужденная частота совпадает ссобственной:. В этом случае посчитаем интеграл отдельно:( )∫((∫*(,() )),((() -+))|)Тогда5()( )()()()Видно, что в этом случае амплитуда колебаний неограниченно возрастает — резонанс.ДЗ 15.

БК с. 212 № 4, 7; с. 283–285 № 4, 8, 9, 11.6Семинар 16Начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебанийв ограниченной области с неоднородными ГУРассмотрим начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности снеоднородным ГУ:()()|()( ){ |Будем искать решение в виде()()()) — некоторая достаточно гладкая (дифференцируемая нужное число раз,где (чтобы еѐ можно было подставить в уравнение теплопроводности, ГУ и НУ) функция,удовлетворяющая неоднородному ГУ:()|()). Будем считать, чтоТ.е. мы должны каким-то образом подобрать эту функцию (она нам известна. Тогда подставим функциюв исходную начально-краевуюзадачу:()()|()|()|( ){ |) получается начально-краевая задача с однородным ГУ,Теперь для функции (рассмотренная на прошлом семинаре:̃()()|̃( ){ |)()( )|где ̃(̃( )— известные функции.) решение соответствующей краевойЧаще всего удобно брать в качестве функции (задачи для уравнения Лапласа:{()|()Внимание! У задачи Неймана может не быть решения! В этом случае нужно искать) другим способом.функцию (Аналогично можно решать начально-краевые задачи для уравнения колебаний снеоднородными ГУ.1Пример 1.

Решить начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности вединичном круге:{ ||Будем искать решение в виде:()()()) — достаточно гладкая функция, удовлетворяющая условию:где (|Как говорилось выше, удобно брать в качестве функциирешение соответствующейкраевой задачи для уравнения Лапласа:{ |Решение уравнения Лапласа в круге имеет вид (см. семинар 4):()∑()Подстановка в ГУ даѐт:|∑()откуда, а все остальные коэффициентыиравны нулю.Таким образом,()) мы будем искать в виде:Значит, функцию (()()Подставив это выражение в исходную начально-краевую задачу, получим:{ ||т.е.{ ||Получилась задача с однородным ГУ, решение которой надо искать в виде разложения поСФ соответствующей задачи Ш.–Л.

Дома доделать!Пример 2. Решить начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности на отрезке:{|||Будем искать решение в виде:( )( )( )где ( ) — достаточно гладкая функция, удовлетворяющая условиям:||Проще всего найти в виде линейной по функции (для которой):2а коэффициенты , определить из ГУ:||откуда,,и( )Итак, функцию ( ) мы ищем в виде:( )( )После подстановки в исходную задачу получим:|{ ||А эта задача однородна и имеет тривиальное решение:исходной начально-краевой задачи:( ).

Таким образом, решениеПример 3. Решить начально-краевую задачу для уравнения колебаний в единичном круге:||{ |Будем искать решение в виде:()()()) — достаточно гладкая функция, удовлетворяющая условию:где (|Как говорилось выше, удобно брать в качестве функциикраевой задачи для уравнения Лапласа:{решение соответствующей|Это задача Неймана, причѐм условие еѐ разрешимости не выполняется:∫∫|Значит, функцию нельзя найти как решение краевой задачи для уравнения Лапласа.), удовлетворяющуюПопробуем еѐ угадать. Итак, надо подобрать функцию (условию|Поскольку в правой части ГУ не фигурирует ни , ни , то и функцию можно искать независящую от и . Например, функциябудет удовлетворять ГУ.

Тогда решениеисходной начально-краевой задачи будем искать в виде:()()Подставив еѐ в условия задачи, получим:3||{ |Вычислим:()Таким образом, для функцииимеем задачу:||{ |Из попытки найти классическое решение такой краевой задачи ничего хорошего невыйдет, поскольку функция , стоящая в правой части, разрывна, неограничена в круге.Так получилось потому, что мы выбрали функцию, которая не является достаточногладкой (дважды непрерывно дифферецируемой в круге), поскольку еѐ лапласианнеограничен при!Т.е.не подходит.Попробуем подобрать более гладкую функцию, удовлетворяющую условию|Возьмѐм(тем более, что и в начальном условии есть такая функция).

Тогда(( ))— непрерывен в круге. Теперь ищем функцию (()() в виде:)Тогда для функции () получаем задачу:||{ |Классическое решение такой задачи существует и может быть найдено в виде разложенияпо СФ задачи Ш.–Л. в круге с условием Неймана (дома найти).Но можно и угадать решение сразу. Заметим, что в правой части НУ и в неоднородностив ДУ не фигурируют переменные , , а ГУ имеет вид |, а всѐ это наводит на4мысль, что и решение можно искать не зависящим от , .