Электронные семинары, страница 9

PDF-файл Электронные семинары, страница 9 Методы математической физики (ММФ) (39153): Семинары - 5 семестрЭлектронные семинары: Методы математической физики (ММФ) - PDF, страница 9 (39153) - СтудИзба2019-05-11СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Электронные семинары", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "методы математической физики (ммф)" из 5 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 9 страницы из PDF

раз — к/р.6Семинар 15Начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности в ограниченной областис однородными ГУ({.)/|()()|( )( )Здесь,| | | |,.̅,) приТребуется найти (.Если все функции — достаточно гладкие, то классическое решение существует иединственно.Рассмотрим вспомогательную задачу Ш.–Л.:( )( ){()|Пусть * ( )+ — полная ортогональная система СФ этой задачи Ш.–Л., а *) в ряд Фурье по * ( )+:соответствующие СЗ.

Разложим функции ( ) и (( )(( )∑)∑( )‖( )( )‖+ —∫ ( ) ( )‖‖∫ () ( )Решение начально–краевой задачи для уравнения теплопроводности также будем искать ввиде ряда Фурье по * ( )+:()∑( ) ( )( )с неизвестными коэффициентами ( ).Тогда однородное ГУ автоматически выполняется.Подставим ряды Фурье в ДУ и НУ:∑( )( )∑( )( )⏟∑( ) ( )( )( )∑ ( ) ( ) ∑{Приравняв соответствующие коэффициенты при ( ), получим:( )( )( )( ){( )Это задача Коши для ОДУ первого порядка. Еѐ решение можно записать в виде (домапроверить):( )∫⏟()( )Замечание 1: данное представление решения задачи Коши (2) справедливо и в случае.1Замечание 2: на практике иногда удобнее решать задачу Коши (2) непосредственно, неиспользуя представление решения через функцию Коши.Найденные ( ) подставим в ряд (1) и получим решение исходной начально-краевойзадачи для уравнения теплопроводности.Пример 1.

Решить начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности на отрезке:|||{Сначала найдѐм СЗ и СФ соответствующей задачи Ш.–Л.:( )( ){( )()Отсюда:[./]( )Разложим функции ( )( )(.( ))и ()в ряд Фурье по * ( )+:( )∑( )/∑( ) ( )( )Теперь будем искать решение исходной начально-краевой задачи в виде ряда:()∑( ) ( )ГУ выполнены автоматически. После подстановки рядов в ДУ и НУ и приравниваниякоэффициентов при соответствующих СФ, получим следующую задачу Коши:( )( ){( )Мы не будем использовать представление решения через функцию Коши, а решим задачунепосредственно.Приэта задача Коши однородна:( )( ){( )В силу единственности решения задачи Коши для ОДУ она имеет только тривиальноерешение: ( ).Теперь рассмотрим задачу для:( )( ){( )ОР ДУ имеет вид ( ), причѐм из НУ.

Таким образом,( )Рассмотрим задачу для:2( )( )( )ОР ДУ ищем в виде:( )⏟{̃ ( )⏟где ̃ ( ) надо искать в виде̃ ( )поскольку в правой части ДУ стоит многочлен первой степени по .Подставив ̃ ( ) в ДУ, получим:Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях :Отсюда:Тогда̃ ( )и( )Коэффициентопределяем из НУ:( )Таким образом,( )Теперь подставим найденные()∑( ) ( )( ) в ряд для решения начально-краевой задачи:( ) ( )( ) ( )(.

/ ,где). / .Начально-краевые задачи для уравнения колебаний в ограниченной области с однородными ГУ(.|{ |)()/|()( )( )(())3Задача решается аналогично, но для ( ) получается задача Коши:( )( )( ){ ( )( )где,, ( ), ( ) — коэффициенты разложения функций() в ряд Фурье по СФ соответствующей задачи Ш.–Л.Решение этой задачи Коши имеет вид (дома проверить):√√( )∫√(√)√( ),( ),(),( )) ( )∫({Замечание: на практике иногда удобнее решать задачу Коши непосредственно, неиспользуя представление решения через функцию Коши.Пример 2 (задача о вынужденных колебаниях круглой мембраны). Решить начальнокраевую задачу для уравнения колебаний в единичном круге:( )||{ |где, — первый положительный корень уравнения ( ).Эта задача описывает малые поперечные колебания упругой мембраны с краями,закреплѐнными на единичной окружности, под действием периодической внешней силы.Сначала найдѐм СЗ и СФ соответствующей задачи Ш.–Л.

в круге:{|Как мы знаем (см. семинар 6), СФ имеют вид:()(√( )( ))где( )( )( )( )— k-й положительный корень уравнения (√ )Заметим, что по условию задачи √Разложим функцию()().в ряд Фурье по СФ( )∑ ∑( )(,():)(), поэтомуЗаметим, что ( )( )Теперь будем искать решение исходной начально-краевой задачи в виде ряда:()∑ ∑( )()4ГУ выполнены автоматически. Подставив ряд в ДУ и НУ и приравняв соответствующиекоэффициенты приполучим задачу Коши:( )( )( )( ){ ( )( )( )) ( ). Для( )В силу единственности решения задачи Кошипри (имеем задачу:( )( )( )( ){ ( )( )Воспользуемся представлением решения через функцию Коши:( )√( )(∫)( )∫√(∫∫*{()( )),() -,() -+,() -,() -(}|)(Тогда решение начально-краевой задачи имеет вид:()( )∑ ∑⏟()(())( )⏟(())())Отсюда видно, что решение — стоячая волна.Данный ответ не подходит для случая, когда вынужденная частота совпадает ссобственной:. В этом случае посчитаем интеграл отдельно:( )∫((∫*(,() )),((() -+))|)Тогда5()( )()()()Видно, что в этом случае амплитуда колебаний неограниченно возрастает — резонанс.ДЗ 15.

БК с. 212 № 4, 7; с. 283–285 № 4, 8, 9, 11.6Семинар 16Начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебанийв ограниченной области с неоднородными ГУРассмотрим начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности снеоднородным ГУ:()()|()( ){ |Будем искать решение в виде()()()) — некоторая достаточно гладкая (дифференцируемая нужное число раз,где (чтобы еѐ можно было подставить в уравнение теплопроводности, ГУ и НУ) функция,удовлетворяющая неоднородному ГУ:()|()). Будем считать, чтоТ.е. мы должны каким-то образом подобрать эту функцию (она нам известна. Тогда подставим функциюв исходную начально-краевуюзадачу:()()|()|()|( ){ |) получается начально-краевая задача с однородным ГУ,Теперь для функции (рассмотренная на прошлом семинаре:̃()()|̃( ){ |)()( )|где ̃(̃( )— известные функции.) решение соответствующей краевойЧаще всего удобно брать в качестве функции (задачи для уравнения Лапласа:{()|()Внимание! У задачи Неймана может не быть решения! В этом случае нужно искать) другим способом.функцию (Аналогично можно решать начально-краевые задачи для уравнения колебаний снеоднородными ГУ.1Пример 1.

Решить начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности вединичном круге:{ ||Будем искать решение в виде:()()()) — достаточно гладкая функция, удовлетворяющая условию:где (|Как говорилось выше, удобно брать в качестве функциирешение соответствующейкраевой задачи для уравнения Лапласа:{ |Решение уравнения Лапласа в круге имеет вид (см. семинар 4):()∑()Подстановка в ГУ даѐт:|∑()откуда, а все остальные коэффициентыиравны нулю.Таким образом,()) мы будем искать в виде:Значит, функцию (()()Подставив это выражение в исходную начально-краевую задачу, получим:{ ||т.е.{ ||Получилась задача с однородным ГУ, решение которой надо искать в виде разложения поСФ соответствующей задачи Ш.–Л.

Дома доделать!Пример 2. Решить начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности на отрезке:{|||Будем искать решение в виде:( )( )( )где ( ) — достаточно гладкая функция, удовлетворяющая условиям:||Проще всего найти в виде линейной по функции (для которой):2а коэффициенты , определить из ГУ:||откуда,,и( )Итак, функцию ( ) мы ищем в виде:( )( )После подстановки в исходную задачу получим:|{ ||А эта задача однородна и имеет тривиальное решение:исходной начально-краевой задачи:( ).

Таким образом, решениеПример 3. Решить начально-краевую задачу для уравнения колебаний в единичном круге:||{ |Будем искать решение в виде:()()()) — достаточно гладкая функция, удовлетворяющая условию:где (|Как говорилось выше, удобно брать в качестве функциикраевой задачи для уравнения Лапласа:{решение соответствующей|Это задача Неймана, причѐм условие еѐ разрешимости не выполняется:∫∫|Значит, функцию нельзя найти как решение краевой задачи для уравнения Лапласа.), удовлетворяющуюПопробуем еѐ угадать. Итак, надо подобрать функцию (условию|Поскольку в правой части ГУ не фигурирует ни , ни , то и функцию можно искать независящую от и . Например, функциябудет удовлетворять ГУ.

Тогда решениеисходной начально-краевой задачи будем искать в виде:()()Подставив еѐ в условия задачи, получим:3||{ |Вычислим:()Таким образом, для функцииимеем задачу:||{ |Из попытки найти классическое решение такой краевой задачи ничего хорошего невыйдет, поскольку функция , стоящая в правой части, разрывна, неограничена в круге.Так получилось потому, что мы выбрали функцию, которая не является достаточногладкой (дважды непрерывно дифферецируемой в круге), поскольку еѐ лапласианнеограничен при!Т.е.не подходит.Попробуем подобрать более гладкую функцию, удовлетворяющую условию|Возьмѐм(тем более, что и в начальном условии есть такая функция).

Тогда(( ))— непрерывен в круге. Теперь ищем функцию (()() в виде:)Тогда для функции () получаем задачу:||{ |Классическое решение такой задачи существует и может быть найдено в виде разложенияпо СФ задачи Ш.–Л. в круге с условием Неймана (дома найти).Но можно и угадать решение сразу. Заметим, что в правой части НУ и в неоднородностив ДУ не фигурируют переменные , , а ГУ имеет вид |, а всѐ это наводит на4мысль, что и решение можно искать не зависящим от , .

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее