Электронные семинары, страница 11

В частном случаеона называется формулойДаламбера. Поскольку любое классическое решение начальной задачи для уравнениятеплопроводности на прямой представляется этой формулой, оно единственно.Уравнение колебаний на полупрямой1. Условие Дирихле.Рассмотрим начально-краевую задачу для уравнения колебаний на полупрямойсоднородным условием Дирихле:( )||( )( ){ |Так же, как и для уравнения теплопроводности на полупрямой (см. семинар 18), сделаемнечѐтное продолжение функций , , на всю прямую:̃( ) { ( )()( )̃( ) {( )()̃( ) {( )Решение соответствующей задачи на всей прямой даѐтся формулой (1):2)̃()̃(()̃(∫̃( )∫)̃(∫())Отсюда видно, что функция ̃( ) удовлетворяет однородному условию Дирихле при. Стало быть, решение задачи на полупрямой ( ) совпадает с решением задачи напрямой ̃( ) при:( ) ̃( )|Выразим его через исходные функции , , .)(), посколькуЗаметим, что ̃(.

Далее,()) {() (||)̃(}()( )∫̃( )∫̃(∫()||)(∫)( )})∫(̃( )∫⏟{Аналогично,(( )∫|())|Окончательно получим:( )()() (|(|)( )∫||∫)(∫|())|Эта формула даѐт решение начально-краевой задачи для уравнения колебаний наполупрямойс однородным условием Дирихле.( ) сводится к задаче сЗамечание. Задача с неоднородным условием Дирихле |однородным условием Дирихле |с помощью замены( )( )( )2. Условие Неймана.Рассмотрим начально-краевую задачу для уравнения колебаний на полупрямойоднородным условием Неймана:( )||( )( ){ |В этом случае с помощью чѐтного продолжения получим (дома получить):с3()()(|(∫[||)[∫( )()|(∫)(())|) ∫(( )])|(∫Замечание.

Задача с неоднородным условием Неймана |однородным условием Неймана |с помощью замены( )( )( ))]( ) сводится к задаче сМетод распространяющихся волн (однородное уравнение колебаний)Для однородного уравнения колебаний на прямойможно получить его общеерешение.Сделав замену переменных,, мы приведѐм уравнение колебаний кканоническому виду:(*откуда[(*(* ]Из уравнения колебаний получим:Это и есть канонический вид уравнения колебаний.Проинтегрируем полученное уравнение:̃( )∫ ̃( )⏟( )( )( )( )Возвращаясь к переменным , , получаем общее решение однородного уравненияколебаний на прямой в виде:( )()()( )где и — произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции. Видно, чтообщее решение представляет собой суперпозицию правой и левой бегущих волн,распространяющихся со скоростью по прямой .Таким образом, уравнение колебаний описываетраспространение возмущений с конечной скоростью (соправаялеваяволнаскоростью ), в отличие от уравнения теплопроводности,волнагде скорость распространения бесконечна (см.

парадоксбесконечной теплопроводности, семинар 17).Значит, мы можем искать решение однородного уравнения колебаний на прямой в виде (2), а функциии определять из НУ. В результате придѐм к формуле Даламбера:4(())()∫( )Аналогично можно поступать и при решении уравнения колебаний на полупрямой и наотрезке, но при этом необходимо учитывать отражение волн от границы области. Однаков задачах на полупрямой с однородными НУ отражения от границы не будет, потому чтонет левой волны, поэтому решать их методом распространяющихся волн наиболее просто,что демонстрируют следующие примеры.Пример 1.

Решить начально-краевую задачу для уравнения колебаний на полупрямой:||( ){ |В данном случае единственный источник колебаний расположен на левой границеобласти, поэтому будет только правая волна:( )()Функцию определим из ГУ и НУ:|()( )( ){ ||( )Отсюда имеем:( ){()Тогда()(){()Пример 2. Решить начально-краевую задачу для уравнения колебаний на полупрямой:|( )|{ |В этом случае решение также будет являться правой волной:( )()Функцию определим из ГУ и НУ:|()( )( ){ ||( )Отсюда следует, что ( )при, а при:( )(Тогда, при):5( )∫ (⏟∫ ( ))Окончательно имеем:( )∫ ( )Тогда(){()∫( ){ДЗ19. БК с.

285–286 № 14–19.6Семинар 20Уравнение ГельмгольцаУравнением Гельмгольца (однородным) называется следующее уравнение:гдеЕсли— заданный коэффициент. Мы будем рассматривать только., то уравнение Гельмгольца называется волновым и записывается в виде:Если, то уравнение Гельмгольца называется неволновым и записывается в виде:Вывод уравнения ГельмгольцаПосмотрим, в каких задачах возникает уравнение Гельмгольца.Если искать решение однородного уравнения колебаний̃̃в виде установившихся колебаний частоты :̃то при подстановке в уравнение колебаний получим:и после сокращения набудет⏟— волновое уравнение Гельмгольца.

Ему удовлетворяет амплитуда установившихсяколебаний.Теперь рассмотрим процесс диффузии, который, как мы знаем, описывается уравнениемтеплопроводности:где— коэффициент диффузии,— удельная мощность источниковвещества,— концентрация вещества.В качестве диффундирующего вещества рассмотрим неустойчивый (радиоактивный) газ.Он распадается со скоростью, пропорциональной концентрации:ТогдаПредположим, что концентрация стабилизировалась (стационарный процесс диффузии),т.е.. Тогдаоткуда⏟— неволновое уравнение Гельмогольца, описывающее стационарную диффузиюнеустойчивого газа.1Внутренние задачи для уравнения ГельмгольцаМы будем решать краевые задачи для уравнения Гельмгольца методом разделенияпеременных.

Сначала находятся ЧР уравнения Гельмгольца в данной области (методомразделения переменных, подобно тому, как мы это делали для уравнения Лапласа), азатем решение краевой задачи ищется в виде суммы всех найденных ЧР с неизвестнымикоэффициентами, которые определяются из ГУ.Для примера выпишем ЧР уравнения Гельмгольца в круге, кольце, шаре и шаровом слое.I. ЧР уравнения Гельмгольца в круге и кольце (в полярных координатах).1. Волновое уравнение Гельмгольца:.Если обозначить, то мы получим— уравнение такого же вида, как и в задаче Штурма–Лиувилля для оператораЛапласа (причем).

Отличие от задачи Штурма–Лиувилля в том, чтокоэффициентв уравнении Гельмгольца задан изначально, а в задаче Штурма–Лиувилля коэффициент требуется найти.Мы уже получили ЧР такого ДУ в полярных координатах на семинаре 6:[⏟⏟]гдеВ кольце () ЧР волнового уравнения Гельмгольца имеют вид (1), в круге() надо положить.2. Неволновое уравнение Гельмгольца:.Если обозначить, то мы получим— уравнение такого же вида, какой получается при решении уравнения Лапласа вцилиндре (см.

семинар 12), причѐм. Его ЧР:[⏟⏟]В кольце () ЧР неволнового уравнения Гельмгольца имеют вид (2), в круге() надо положить.II. ЧР уравнения Гельмгольца в шаре и шаровом слое (в сферических координатах).1. Волновое уравнение Гельмгольца:— уравнение такого же вида, как в задаче Штурма–Лиувилля для оператораЛапласа. Его ЧР в сферических координатах имеют вид (см. семинар 9):[⏟ √⏟ √]где— сферические функции.В шаровом слое () ЧР волнового уравнения Гельмгольца имеют вид (3), вшаре () надо положить.22. Неволновое уравнение Гельмгольца:Аналогично:[⏟ √⏟ √.]В шаровом слое () ЧР волнового уравнения Гельмгольца имеют вид (4), вшаре () надо положить.Пример 1 (задача Дирихле в круге для волнового уравнения Гельмгольца). Решитькраевую задачу для волнового уравнения Гельмгольца в круге:{|Будем искать решение задачи в виде суммы выписанных выше ЧР волнового уравненияГельмгольца в полярных координатах, ограниченных при:∑Подставим в ГУ:|∑∑где∫∫Приравняв соответствующие коэффициенты приуравнений:∫,, получим системуРассмотрим два случая.1) Пустьне является СЗ задачи Ш.–Л.

в круге:{|Тогдапри всех , и коэффициенты определяются однозначно:В этом случае исходная краевая задача для уравнения Гельмгольца имеетединственное решение:∑2) Пустьсовпадает с одним из СЗ задачи Ш.–Л. в круге:3{|СФ, отвечающие этому СЗ, имеют вид:,некоторого номера , причѐм.Тогда из системы (5) однозначно определяются коэффициентыкроме . Приимеем:⏟⏟для,для всех ,Здесь есть два варианта.а). Тогда коэффициентыиостаются произвольными, иисходная краевая задача имеет бесконечно много решений:∑(б) Если), то исходная краевая задача не имеет решений.илиПример 2 (задача Дирихле в круге для неволнового уравнения Гельмгольца).

Решитькраевую задачу для неволнового уравнения Гельмгольца в круге:{|Будем искать решение задачи в виде суммы выписанных выше ЧР неволнового уравненияГельмгольца в полярных координатах, ограниченных при:∑Подставим в ГУ:|∑∑где∫Приравняв коэффициенты при∫∫,, получим систему уравнений:Могут ли здесь числаоказаться равны нулю? Предположим, что для некоторогономерачислооказалось равно нулю.

Тогда функциииявляются СФ задачи Ш.–Л. в круге{|4отвечающими СЗ. Но это невозможно, т.к. все СЗ задачи Дирихлеположительны. Полученное противоречие доказывает, что,Тогда из системы (6) неизвестные коэффициенты определяются однозначно:и в этом случае исходная краевая задача имеет единственное решение:∑Пример 3 (дополнительный, самостоятельно).

Решить краевую задачу для волновогоуравнения Гельмгольца в круге:{|где— первый положительный корень уравненияБудем искать решение задачи в виде:(√).∑Подставим в ГУ:|⏟∑откудаа остальные коэффициенты равны нулю.(Мы будем пользоваться без доказательства тем фактом, что функции Бесселя разногопорядка не имеют совпадающих корней, поэтомуи, если.)Таким образом, решение исходной краевой задачи:ДЗ20.

Решить краевые задачи для уравнения Гельмгольца:1) в круге{|где2) в круге{— первый положительный корень уравнения(√ );|53) в круговом секторе{|||4) в кольце{||5) в шаре{ |6) в шаровом слое{||В след. раз — к/р.6.