Электронные семинары, страница 8

Построить функцию Грина задачиДирихле для уравнения Лапласа в полупространстве.Функция Грина в полупространстве должна иметьвид: ( )()( )где( )( ){ |Эта задача имеет следующую физическую ( ) интерпретацию: требуется найти потенциалточечного заряда, расположенного в точкенадзаземлѐнной проводящей плоскостью.

Функция— это потенциал,создаваемый точечным зарядом, а ( ) — потенциал, создаваемый наведѐннымизарядами на плоскости.Отобразим точкусимметрично относительно плоскости, получим точку.Поместим в эту точку фиктивный точечный заряд, такой же, как в точке, нопротивоположного знака. Он создаѐт потенциал:( )Тогда в верхнем полупространстве функция ( ) удовлетворяет уравнению Лапласа, афункция()( )удовлетворяет ГУ|поскольку, когда точка лежит в плоскости, выполняется равенствоУсловие на бесконечности также выполнено.Значит, функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа в полупространствеимеет вид:.6()Таким образом, наведѐнные на заземлѐнной проводящей плоскостизаряды создаюттакой же потенциал, какой бы создавал (при отсутствии заземлѐнной плоскости)точечный отрицательный заряд, помещѐнный в точку .ДЗ 13. БК с.

137 № 2, 3, 4, 6, 8, 10.7Семинар 14Пример 1 (задача Неймана в полупространстве). Построить функцию Грина задачиНеймана для уравнения Лапласа в полупространстве.Функция Грина должна иметь вид()( ) ( )где( )( )|{Физическая интерпретация: в случае задачи ( − ) Неймана функция Грина описывает стационарноераспределение температуры в однородной среденад теплоизолированной поверхностью. В точкенаходится точечный источниктепла. Если в симметричную точкеотносительно плоскоститочкупоместитьвторой такой же источник тепла, то потока тепла через поверхностьне будет (всилу симметрии: сверху приходит столько же тепла, сколько снизу).В этом случае ( ), и функция Грина задачи Неймана для уравнения Лапласа вверхнем полупространстве:()Дома проверить выполнение условия Неймана для найденной функции Грина, выразив еѐчерез координаты точек и !Пример 2 (задача Дирихле в круге).

Найти функцию Грина внутренней задачи Дирихледля уравнения Лапласа в круге.На прошлом семинаре была получена функция Грина дляэтой задачи методом разделения переменных. Теперь найдѐмеѐ другим способом: методом зеркальных отображений.Функция Грина должна иметь вид:()( )где{( )()|Пусть— произвольная точка внутри круга.О. Точканазывается сопряжѐнной (симметричной) к точкеокружности , если точкалежит на прямой, соединяющей центрточку , по ту же сторону от центра , что и точка , и при этомгде,относительноокружности и.1Поскольку, то если точкалежит внутри круга, сопряжѐнная точкабудетлежать вне круга, и наоборот. Точка, сопряжѐнная к центру круга — бесконечноудалѐнная.Лемма.

Если, то.Доказательство. Из равенстват.к.следует, что. ТогдаиИз подобия треугольников вытекает, чтот.е., ч.т.д.Теперь, если мы возьмѐм ( )()−( )(), то−*()+)|и, в силу доказанной леммы, (. При этом функция ( ) будетгармонической в круге (т.к. она является фундаментальным решением уравнения Лапласас особенностью при).Таким образом, функция Грина внутренней задачи Дирихле в круге:()−*()+Пример 3 (задача Дирихле в шаре). Найти функцию Грина внутренней задачи Дирихледля уравнения Лапласа в шаре.Отличие от предыдущей задачи в том, что()( )Тогда надо взять( )−, где— точка, сопряжѐнная точкеотносительно сферы, являющейся границей шара (точки, сопряжѐнные относительносферы, определяются так же, как и точки, сопряжѐнные относительно окружности).

Такимобразом, функция Грина внутренней задачи Дирихле в шаре:()(−)Построение функции Грина методом конформных отображений (для двумерныхзадач)Пусть— некоторая двумерная область. Смысл метода конформных отображенийсостоит в том, чтобы исходную областьконформно отобразить на более простуюобласть , в которой функцию Грина найти легче.2Будем рассматривать точки областикак точки на комплексной плоскости.Тогда каждой точке соответствуеткомплексное число. Поэтомубудем обозначать точки областикомплексными соответствующимичислами .Для простоты построим функцию Гриназадачи Дирихле.

Функция Грина задачи Дирихле в области удовлетворяет условиям:() − (){()|Докажем, что конформное отображение сохраняет функцию Грина.Всякое конформное отображение области на областьможно записать в виде:( )где ( ) — однозначная и однолистная аналитическая функция, ( )в области ,— точка области , в которую переходит точка области .Можно показать (сделав замену переменных), что при конформном отображенииоператор Лапласа преобразуется следующим образом:| ( )|где— оператор Лапласа в старых переменных,— операторЛапласа в новых переменных.

(Дома проверить!)Посмотрим, как при этом преобразуется дельта-функция. Сделаем замену переменных винтеграле, определяющем действие дельта-функции на произвольную функцию ( ). Мыхотим, чтобы в новых переменных он имел такой же вид, как и в старых, поэтому( )( ) ∬ ( ) ()( )) (( )( )) |∬ ⏟(|( )⏟̃( )∬ ̃( ) (())( ).где( ) — функция, обратная к ( ),Геометрический смысл модуля якобиана перехода |()()| — во сколько разувеличиваются элементарные площади при данном отображении.

С другой стороны, приконформном отображении сохраняются углы, а элементы длины увеличиваются в | ( )|( )раз. Поэтому элементы площади увеличиваются в | ( )| раз, т.е. | ( )| | ( )| .Таким образом,() | ( )| ()Значит, при конформном отображении уравнениеуравнение| ( )|( )( )) −| ( )| ()⏟(̃(()− () переходит в)т.е.̃() − (Тогда функция ̃ ()) удовлетворяет задаче:3̃() − ()||А это задача, решением которой является функция Грина задачи Дирихле в области .Таким образом, после замены переменных функция Грина задачи Дирихле в областиперешла в функцию Грина задачи Дирихле в области. А это и означает, чтоконформное отображение сохраняет функцию Грина. Ч.т.д.̃ ( ( ) ( )) —) — функция Грина в новой области)Если ̃ (, то (функция Грина в старой области .Итак, чтобы найти функцию Грина в некоторой области , надо эту область конформноотобразить на область , где функция Грина известна или может быть легко получена.Например, любую односвязную область, граница которой состоит хотя бы из однойточки, можно конформно отобразить на единичный круг, причѐм так, чтобы заданнаяточкаперешла в центр круга (теорема Римана).

Правда, построить такоеконформное отображение в явном виде удаѐтся далеко не для всякой области (ноизвестно, что оно существует).Замечание 1. Метод конформных отображений позволяет находить функцию Грина нетолько в ограниченных, но и в неограниченных областях.Замечание 2. Почему этот метод не применяется для трѐхмерных областей? В трѐхмерномслучае (и в случае большей размерности) класс отображений, сохраняющих функциюГрина, слишком узок и потому не позволяет существенно упростить область. Втрѐхмерном случае нет аналога теоремы Римана.Замечание 3. Использование метода конформных отображений для построения функцииГрина в случае ГУ других типов связано с дополнительными трудностями.,̃Пример 4 (задача Дирихле в полосе).

Найти функцию Грина внутренней задачиДирихле для уравнения Лапласа в полосе.Функция Грина должна удовлетворять следующим условиям:() − ())|{ (()Пусть— произвольная точка внутри полосы . В соответствии с теоремойРимана, отобразим полосу конформно на единичный круг так, чтобы точкаперешлав центр круга.Im ( )Re 1. Сначала сделаем экспоненциальное отображение:4При этом | |изменяется от 0 до ,изменяетсяотдо . Значит, полосаотобразится на верхнюю() перейдѐт вполуплоскость Im. При этом точкаточку.2. Теперь верхнюю полуплоскость отобразим на единичныйкругтак, чтобы точкаперешла в центр круга.

Для этогосделаем дробно-линейное отображение:−−которое переведѐт границу полуплоскости, прямую Im, в границу круга —окружность | |, а точку— в центр круга. Здесь , , — неизвестныепараметры.Поскольку точка переходит в точку, то.Далее, при дробно-линейном отображении сохряняется симметрия относительноокружностей и прямых. Поэтому точка , симметричная точкеотносительно прямойIm, перейдѐт в точку, симметричную точкеотносительно окружности| |. Отсюда.И из условия, что прямая Imпереходит в окружность | |, получим:| − |−| | || || | || − |−поскольку расстояние между точками иравно расстоянию между точками и ,когда точка лежит на прямой Im.Отсюда, где— произвольное вещественное число (это угол поворота кругаотносительно его центра, он может быть любой).

Для простоты возьмѐм. Тогда.Значит, отображение−−переводит верхнюю полуплоскость Imв единичный круг | |, при этом точкапереходит в центр круга.3. Композиция отображенийдаѐт нам отображение−−( )−−()переводящее полосув единичный круг | |так, что точкапереходит в центр круга.):Теперь в единичном кругенам надо найти функцию Грина ̃ (̃() − (),̃()|| |) для произвольной(Это проще, чем находить ̃ (, поэтому мы ипотребовали, чтобы точкаперешла в центр круга.)Функция Грина в областиимеет вид:̃()( )| |где( )в .) в ГУ ̃ (Подставив функцию ̃ ()|| |, получим5|| |Тогда̃(,и)| |— функция Грина задачи Дирихле в единичном круге (с особенностью в точкеФункция Грина в исходной области имеет вид:(̃( ( ) ))Вычислим:−|−Аналогично,−|Тогда()| ( )||(()−||−−||(()( − )( − )−()( − )−( − )Итак, функция Грина задачи Дирихле в полосе( − )−()()( − )−( − )−−)−)−||−)((−−−|).( −))−−( − )−( − )−()( − )()( − ):ДЗ 14.Построить функцию Грина задачи Дирихле:а) в полушаре;б) в полуплоскости;в) в полосе, сделав конформное отображение на полуплоскость ивоспользовавшись результатом предыдущего пункта;г) в круге радиуса , сделав конформное отображение на единичный круг, прикотором точка переходит в центр круга;д) в квадранте,(на плоскости) двумя способами: методом зеркальныхотображений и методом конформных отображений.В след.