Электронные семинары, страница 3

Заметим, что коэффициентостаѐтся произвольным,что соответствует тому, что решение задачи Неймана определено с точностью до произвольной аддитивной постоянной.Замечание: система для определения коэффициентов ,упростится, если ОР ДУ( )()( )( )записать в виде( )( )( )( )( )( )( )( )где функции( )и( ) образуют ФСР ДУ (3), причѐм функция( ) удовлетво( )ряет однородному ГУ при, а функция( ) удовлетворяет однородному ГУ при, т.е.

в нашей задаче — условиям Неймана:( )|При( )( )( )такая ФСР существует:( )( )|( )()4В самом деле, можно проверить, что данные функции удовлетворяют ДУ (3), ГУ (4) и являются ЛНЗ.ПриФСР, удовлетворяющая однородным ГУ Неймана (4), к сожалению, не существует, поэтому ОР ДУ оставим в старом виде:( )Теперь решение задачи ( ) ищется в виде:()() ∑ ( ) ( )∑() ( )Поскольку()∑((при подстановке в неоднородные ГУ:( )|))( ), получим:||∑( )∑|∑( )∑{откуда сразу имеем:Например, пусть( ),( ). Тогда имеем систему уравнений:∑∑{Заметим, что правые части этих уравнений уже разложены в ряды Фурье по, состоящие в данном случае из конечного числа слагаемых. Приравнивая соответствующиекоэффициенты рядов Фурье, находим:И тогда решением задачи ( ) будет функция (**):()где— произвольная постоянная.Задача ( ) решается аналогично задаче ( ), и в итоге получается решение исходной задачи ( ) в виде()()().5Краевые задачи с другими ГУ решаются аналогично, причѐм для них решение всегда существует и единственно, т.е.

нет необходимости проверять условие разрешимости.ДЗ 3. БК с. 117 № 6.6Семинар 4Пример 1 (прямоугольный параллелепипед).|( )|( )|( )|( ) ( )()|(){ |Будем искать решение задачи (0) в виде:где функции ,иявляются решениямиследующих краевых задач:||{ |{|||()|()|()()|||()( )|||( )||()|( ){ |В самом деле, если функции , ,являются решениями задач (I), (II), (III), соответственно, то функцияудовлетворяет всем условиям исходной задачи (0).Рассмотрим задачу (I). Сначала найдѐм ЧР уравнения Лапласав прямоугольном||параллелепипеде, удовлетворяющие однородным ГУ: ||, и представимые в виде:()( ) ( )Тогда уравнение Лапласапринимает вид:( )( )( )( ) ( )( )( )где.

Разделим переменные:( )( )( )( )|С учѐтом однородных ГУ: |( ) получим задачу Ш.–Л. в прямоугольнике:( )( )|{ |||||, для функции1Путѐм разделения переменных эта задача сводится к двум задачам Ш.–Л. на отрезках(по и по ) с условиями Дирихле. Еѐ СЗ и СФ:(‖‖)(∫∫∫()())∫∫∫‖‖‖‖Для функции ( ) имеем ДУ:( )( )( )Заметим, что в данном случае все.С учѐтом замечания, сделанного в конце семинара 3, удобно записать ОР ДУ (1) в виде:( )( )( )( )( )( )( )( ),( ) удовлетворяют ДУ (1), являются ЛНЗ, функция ( ) ( ) удогде функции( )влетворяет соответствующему однородному ГУ при, а функция( ) удовлетворяет соответствующему однородному ГУ при, т.е.

в нашем случае — условиям Дирихле:( )( )( )( )Легко проверить, что функции( )( )( )( )()√√удовлетворяют всем перечисленным выше условиям.Таким образом, имеем ЧР уравнения Лапласа, удовлетворяющие однородным ГУ||||:()()( )( ) [()]( )√√Ищем решение задачи (I) в виде их суммы:()∑ ∑[∑∑()()√(√)]()( )Функция (*) (при условии, что ряд можно дифференцировать почленно два раза) удовлетворяет всем условиям задачи (I), кроме неоднородных ГУ:|( )|( )Коэффициентыиопределяются подстановкой ряда (*) в неоднородные ГУ:|∑∑(√)()( )|∑∑{Разложим функцииугольнике:(√(),()()) в ряд Фурье по СФ() задачи Ш.–Л.

в прямо-2()(∑∑‖‖‖‖()∫∫()()∫∫()())(∑∑)Тогда, приравнивая соответствующие коэффициенты рядов Фурье в уравнениях (2), получим:√√Подставив найденные коэффициенты в ряд (*), получим решение задачи (I). В силу теоремы существования и единственности, других решений нет.Задачи (II) и (III) решаются аналогично.

Решение исходной задачи (I) есть сумма решенийзадач (I), (II), (III):Замечание: в случае задачи Неймана исходная задача (0) может быть разрешима, а задачи(I), (II), (III) могут быть неразрешимы. Тогда описанный алгоритм для решения задачи (0)не подходит.Уравнение Лапласа в полярных координатахОт декартовых координат () на плоскости перейдѐм к полярным координатам ():,. При этом оператор Лапласа преобразуется следующим образом(дома проверить):()Найдѐм ЧР уравнения Лапласа на плоскости, представимые в полярных координатах ввиде:()( ) ( )Подставим это выражение в уравнение Лапласа:( )( )( ( )) ( )Умножим уравнение на(( ) ( )и разделим переменные:( ))( )( )( )Для функции ( ) получим задачу Ш.–Л.

с периодическими ГУ:( )( ){()( )Еѐ СЗ и СФ (см. семинар 2 и таблицу из семинара 3):( ){‖‖()Для функции ( ) получим ДУ:3( ))(( )( )( )( )Это уравнение Эйлера. Его ОР имеет вид (дома проверить):( ){Таким образом, мы получили ЧР уравнения Лапласа на плоскости:()( )( )Заметим, что функции{((и))неограничены припри.Пример 2 (в круге).{ |⃗( )Здесь ⃗ — единичная внешняя нормаль к кругу.Имеем задачу Неймана, она разрешима( )( ), т.е. ∫.∫∫При этом решение определено с точностью до произвольнойаддитивной постоянной.Заметим, что с учѐтом направления внешней нормали ГУ Неймана можно переписать ввиде:( )|Ищем решение в виде суммы найденных выше частных решений уравнения Лапласа наплоскости:()(∑)∑ [()()]) должна удовлетворять уравнению Лапласа внутри круга, значит, она неФункция (прерывна и, следовательно, ограничена в круге; тогда,,,Значит,()(∑)( )Эта функция удовлетворяет уравнению Лапласа в круге (при условии, что ряд можнодважды дифференцировать почленно).Подставляем в ГУ:(∑|∑)()( )( )4Разложим функцию ( ) в ряд Фурье по тригонометрической системе функций( )∑(где∫( )( ):)(в силу условия разрешимости),∫ ( )∫ ( )Подставляем этот ряд в уравнение (3):(∑)∑()Приравняв коэффициенты при соответствующих членах ряда Фурье, получим:Подставив найденные коэффициенты в ряд (**), получим решение задачи Неймана в круге.

Коэффициентостаѐтся произвольным.Например, пусть ( ). Это выражение преобразуется к виду( ). Проверим условие разрешимости:( )— выполнено.∫∫Функция уже разложена в ряд Фурье по тригонометрической системе, который состоит изодного слагаемого. Подставим еѐ в уравнение (3):(∑)Приравнивая коэффициенты, находим:Решение краевой задачи имеет вид (**):(где)— произвольная константа.ДЗ 4. БК с. 117 № 7, с. 116 № 1(б,в,г).5Семинар 5Внешние краевые задачи для уравнения Лапласа на плоскостиРассмотрим краевую задачу во внешней области,которая является дополнением донекоторой ограниченной области.

В неограниченной области для выделенияединственного решения не достаточно поставить ГУ,⃗необходимо также задать поведение неизвестной функ) на бесконечности. В качестве условия на бесции (конечности во внешних краевых задачах для уравненияЛапласа на плоскости рассмотрим условие ограниченности решения (обычно именно ограниченные решения имеют физический смысл). Тогдакраевая задача во внешней области имеет вид:{Требуется найти функцию ()в ̅ .Т. (существования и единственности). а) задачи Дирихле, третьего рода (с ГУ( ), где ( ), ( ), ⃗ — единичная внешняя по отношению к об()|ластинормаль), а также смешанные краевые задачи во внешней области однозначноразрешимы;б) внешняя задача Неймана разрешима.

При этом еѐ решение определено с∫точностью до произвольной аддитивной постоянной.Замечание. Вместо условия ограниченности для решений уравнения Лапласа на плоско()сти можно ставить условие регулярности на бесконечности:.Пример 1 (вне круга).( ){ || |Ищем решение в виде суммы ЧР уравнения Лапласа на плоскости:()∑ [()(Эта функция будет удовлетворять уравнению Лапласа при) ограничена приПоскольку функция (, то,()∑Коэффициенты,(,)].,Тогда:)находятся из ГУ: |( ).1Пример 2 (в кольце).{ |⃗( )( )|Это внутренняя задача Неймана. Условие разрешимости:⃗ ∫∫(∫[|( )∫()|)( )]( )Решение краевой задачи для уравнения Лапласа в кольце можно искать в виде:()∑ [()()]Неизвестные коэффициенты определяются подстановкой в ГУ.Но система для определения коэффициентов упростится, если мы перегруппируем слагаемые (ср.

краевые задачи в прямоугольнике и прямоугольном параллелепипеде). Когдамы на прошлом семинаре искали ЧР уравнения Лапласа в полярных координатах, мы записывали ОР ДУ( )( )( )( )в виде( ){В кольце нам удобно выбрать другую ФСР. Запишем ОР ДУ (1) в виде:( )( )( )( )( )( )( )( ),( ) удовлетворяют ДУ (1) и являются ЛНЗ, функция ( ) ( )где функции( )( ) удовлеудовлетворяет соответствующему однородному ГУ при, а функциятворяет соответствующему однородному ГУ при, т.е. в нашем случае — условиямНеймана:( )( )|Найдѐм функцию( )( )( )|( ) при. Поскольку она удовлетворяет ДУ (1), она имеет вид:( )Подставив это выражение в ГУОтсюда( )( )|, получим:.