Электронные семинары

Семинар 1Вывод уравнений математической физики. Постановка краевых задачОсновные уравнения математической физики:— уравнение теплопроводности (описывает распространение тепла, диффузию, движение вязкой жидкости);— уравнение колебаний (описывает малые механические колебания струны, газа, твѐрдого тела);— уравнение Лапласа (описывает стационарную теплопроводность, стационарную диффузию, стационарное течение идеальной жидкости, электростатику);— уравнение Гельмгольца (описывает гармонические волны).Здесь — неизвестная функция; постоянные коэффициенты , и функция—даны; — точка в пространстве, на плоскости или на прямой, — время.Рассмотрим вывод уравнения математической физики на примере уравнения теплопроводности.Уравнение теплопроводности⃗[∫∫⃗Пустьтрѐхмернаяобласть,ограниченнаястью , заполнена веществом с удельной теплоѐмкостью, плотностьюи коэффициентом теплопроводности. Пусть— температура в точкевмомент времени .

Будем считать, что все функции достаточно гладкие.Рассмотримподобласть,ограниченнуюстью . Изменение внутренней энергии в областизавремя :]∫[∫]∫Закон Фурье:⃗⃗⃗— поток тепла (он направлен от более нагретого участка к менее нагретому и пропорционален градиенту температуры). Величина потока — это количество тепла, протекающего через единичную площадку в единичный момент временив направлении вектора ⃗⃗⃗ .Согласно закону Фурье, за времячерез поверхность наружу вышло количество тепла1∫(⃗⃗⃗∫∫∫⃗)(∫(⃗⃗⃗∫))где ⃗ — единичная внешняя нормаль к поверхности и использована теорема Остроградского–Гаусса.Если в областиесть внешние источники (или поглотители) тепла, то за времяонивыделили количество тепла∫∫где— удельная мощность источников тепла (количество тепла, выделяемоевнешними источниками в единичном объѐме в единицу времени).Закон сохранения энергии:∫∫∫∫∫∫()Отсюда:∫∫[()]()]По формуле среднего значения:∫∫[[()]где,.Будем стягивать областьк некоторой фиксированной точкеустремимк нулю, тогда()Пусть теперь,,.

ТогдаОбозначим(коэффициент температуропроводности),(при этом)и,и. ПолучимЭто и есть уравнение теплопроводности. Оно выполняется во всех внутренних точкахобласти в любой момент времени .Если распределение температуры стационарно, т.е. температура в каждой точке не изменяется со временем,и, то получим уравнение Пуассона:2В частном случае, когда, имеем уравнение Лапласа:Для выделения единственного решения уравнения теплопроводности ставятся дополнительные условия: начальное и граничное.НУ: |— задана температура в каждой точке области в начальный моментвремени.ГУ: ставится на границе области . Рассмотрим ГУ трѐх типов.1) |— ГУ первого рода или условие Дирихле: на границе поддерживаетсязаданная температура (здесь — точка поверхности ,— заданная функция).|2)— ГУ второго рода или условие Неймана.

Выясним его физическийсмысл. Если мы умножим левую и правую части этого равенства на коэффициент, то получим()||т.е., где⃗— проекция вектора ⃗⃗⃗(⃗⃗⃗ ⃗ )на единичную внешнюю нормаль ⃗ к поверхности . Таким образом, условие Неймана означает, что задан поток тепла через границу . В частности, однородноеусловие Неймана|означает, что граница теплоизолирована.3) ()|— ГУ третьего рода. Оно описывает теплообмен сокружающей средой. В самом деле, если температура окружающей среды равна ,то поток тепла с поверхности (имеющей температуру ) в окружающую среду (внаправлении внешней нормали) описывается законом Ньютона:, где — коэффициент теплообмена.| (мы будем считать, что на границе нет доПосколькудолжен быть равенполнительных источников тепла), то|откуда получаем, а это и есть ГУ третьего рода, где()|Если мы устремим здеськ нулю, то получим однородное условие Неймана|: теплообмен отсутствует.

Если же устремим к бесконечности, то получим условие Дирихле |Заметим, что коэффициент: идеальный тепловой контакт.в ГУ третьего рода неотрицателен.3Таким образом, для уравнения теплопроводности в ограниченной областиначально-краевая задача:ставится̅|+ граничное условие на .̅ (в области вместе с еѐ границей ),Требуется найти функциюпри.(В стационарном случае — для уравнения Пуассона или Лапласа — начальное условие неставится.)Теперь запишем уравнение теплопроводности в декартовых координатах:()Если областьимеет форму бесконечного цилиндра с осью, т.е.геометрия области не зависит от координаты , и функция , а такжеграничные и начальные условия не зависят от , то в силу симметрии итемпература не будет зависеть от .

Тогда получим двумерное уравнение теплопроводности:Γ— в поперечном се()чении цилиндра.Если же область имеет форму тонкого стержня, параллельного оси, с теплоизолированной боковой поверхностью, т.е. изменениемтемпературы в поперечном сечении можно пренебречь,то уравнение теплопроводности будет одномерным:ДЗ 1. БСТ гл. II № 1, 4, 11; гл. III № 6, 9; гл. IV № 3.Дополнительный материалДиффузия⃗∫[⃗Пусть теперь— концентрация вещества в точкев момент времени .Закон диффузии:⃗⃗⃗где ⃗⃗⃗ — поток вещества,— коэффициент диффузии.Изменение количества вещества в областиза время:]∫[ ∫Количество вещества, которое вышло через поверхность]∫за время∫за счѐт диффузии:4∫(⃗⃗⃗∫∫∫⃗)∫(∫(⃗⃗⃗))Если в областиесть внешние источники (или поглотители) вещества, то за времяони выделили количество вещества∫∫где— удельная мощность источников вещества (количество вещества, выделяемое внешними источниками в единичном объѐме в единицу времени).Закон сохранения вещества:∫∫∫∫∫∫Применив формулу среднего значения и устремив()Если, то(,), получимЗначит, диффузия описывается тем же уравнением, что и теплопроводность.Стационарная диффузия () описывается уравнением Пуассона:При— уравнением Лапласа:Начальное условие: |— задана начальная концентрация.Граничное условие.1) |— на границе поддерживается заданная концентрация.2) |— на границе задан поток вещества.Уравнение малых продольных колебаний стержня упр упр стержень в равновесиистержень не в равновесиистержня, заключѐнный между сечениямииПусть тонкий упругийстержень в положении равновесия (когда он не деформирован) имеет длину .Направим осьвдольстержня и поместим началокоординат на левом концестержня.Рассмотрим малый участок.5Пусть точки стержня могут колебаться вдоль оси(но каждое поперечное сечениестержня колеблется как единое целое).

Обозначим черезотклонение сечениястержня, находившегося в положении равновесия в точке , от этого положения равновесия в момент времени .При отклонении стержня от положения равновесия удлинение выделенного участкастержня равно. По закону Гука сила упругости, действующаяв сечении , пропорциональна относительному удлинению и равна (по абсолютной величине)упргде, — площадь сечения,— модуль Юнга.Пусть ̃— линейная плотность внешних сил, приложенных к стержню,— линейная плотность стержня (в положении равновесия).

Запишем второй закон Ньютона:где — импульс, — приложенная сила.Применительно к выделенному участку стержня это будет выглядеть так:∫упр∫упр̃Отсюда∫∫̃т.е.∫∫()∫̃Применив формулу среднего значения и перейдя к пределу при̃()Если,, то̃Обозначив,̃, получим:, получим:Это уравнение колебаний на отрезке.Поскольку по это уравнение второго порядка, то ставятся два начальных условия:||Т.е. заданы начальные отклонения и скорости точек стержня.Граничные условия:1) |— левый конец движется по заданному закону. Это условие Дирихле.В частности, при, имеем неподвижно закреплѐнный конец.6|2) Левый конец свободен: упр.

Тогда, откуда|Если же на левый конец действует заданная внешняя сила, то|,и, откудаупр|Это условие Неймана.3) Левый конец закреплѐн на пружине с коэффициентом упругости| , откуда|упрупр()|Если другой конец пружины двигают по закону|( |), откуда( |упр(. Тогда|,и, то), и)|Это граничное условие третьего рода.Аналогичные граничные условия ставятся на правом конце.Таким образом, для уравнения колебаний на отрезке ставится следующая начальнокраевая задача:||+ граничные условия прии.Уравнение малых поперечных колебаний струны Рассмотрим натянутую (сила натяжения ) струнудлины , которая может совершать колебания в поперечном направлении (в плоскости).

Направим осьвдоль струны. Пусть— отклонениеки струны от положения равновесия. Рассмотримучасток струны, расположенный между точками и. Вычислим его длину:∫ √С другой стороны:√Если колебания струны малы, то угол близок к нулю. Будем считать малыми колебаниями такие, при которых можно пренебречь членами порядкапо сравнению с и считать, что7∫т.е.

длина струны при малых колебаниях не изменяется. Но тогда и сила натяжения не изменяется и равна для любой точки струны. Запишем второй закон Ньютонадля выделенного участка струны в проекции на ось(екция силы натяжения∫)()где— линейная плотность струны,ложенных к струне (по оси).

Отсюда∫∫. При этом будем считать, что про. Тогда∫— линейная плотность внешних сил, при∫Применив формулу среднего значения и перейдя к пределу приЕсли, получим:, тоПоложим,. ТогдаПолучили опять уравнение колебаний на отрезке.Начальные условия:||— заданы начальные отклонения и скорости точек струны.В частности, если,, то в начальный момент покоящаяся струна отклонена отположения равновесия (гитара). Если,, то начального отклонения нет, ноструне придали начальный импульс (скорость), например, при ударе молоточком (пианино).Граничные условия:1) Левый конец закреплѐн: |.Левый конец движется по заданному закону: |.|2) Левый конец свободен: |.|К левому концу приложена силапо оси:|3) Левый конец закреплѐн на пружине:||(Левый конец закреплѐн на пружине, которую двигают по закону|.( |) ()|)|.:Аналогичные граничные условия ставятся на правом конце струны.8Уравнение малых колебаний газа в сосуде⃗⃗Пусть— давление,— скорость,— плотность газа,— плотность внешних сил.Рассмотрим подобласть.