Электронные семинары (1125178), страница 6
Текст из файла (страница 6)
(существования и единственности). Задачи Дирихле, Неймана, третьего рода (с ГУ( ), где ( ), ⃗ — единичная внешняя по отношению к области()|5нормаль), а также смешанные краевые задачи во внешней трѐхмерной области однозначноразрешимы.Пример 2 (вне шара).))Это задача Неймана для уравнения Лапласа, но в трѐхмерном случаеона однозначно разрешима.
Будем искать решение в виде суммынайденных ранее ЧР уравнения Лапласа в сферических координатах:(({ |∑ ∑ (( )( ))( )()Из условия равномерного стремления решения к нулю при( )фициенты. Тогда( )()∑ ∑( )(следует, что все коэф-)Эта функция удовлетворяет уравнению Лапласа вне шара и условию на бесконечности.Подставим еѐ в ГУ:() ( ) ( )() ∑ ∑()|∑ ∑()( )( )()()) в ряд Фурье по сферическим функциямОстаѐтся разложить известную функцию (( )() и приравнять соответствующие коэффициенты.)Например, пусть (.
Тогда( )( )()( )()( )()(При разложении подобных функций в ряд Фурье по сферическим функциям удобно сна( ) и тем самым определить , а зачала разложить множители, зависящие от , по( )() при данном .)тем часть, зависящую от , разложить поГУ запишется в виде:() ( ) ( )( )()()|∑ ∑()( )Отсюда, а все остальные коэффициентыкраевой задачи имеет вид:( )()Ответ: (∑ ∑)( )(())()(равны нулю.
Тогда решение).6Пример 3 (в шаровом слое).{ |()(|)Можно искать решение в виде суммы найденных ранее ЧР уравненияЛапласа в сферических координатах:()∑ ∑ (( )( )( ))()Неизвестные коэффициенты определяются подстановкой в ГУ.Но удобнее искать решение в другой форме. Запишем ОР ДУ для функции ( )( )( )() ( )не в виде( )( )( )а в виде( )( )( )( )( )( )( )( )и( ) — два ЛНЗ решения уравнения (3), удовлетворяющие соотгде функцииветствующим однородным ГУ при,:( )( )( )|Исходя из общего вида (4) решений ДУ (3), легко получить, что (с точностью до постоянного множителя)( )( )( )( )()(Дома получить!)Таким образом, будем искать решение краевой задачи в шаровом слое в виде:()∑ ∑ *( )( )( )( )( )( )( )+()Эта функция удовлетворяет уравнению Лапласа в шаровом слое.
Подставив еѐ в ГУ, с( )( )( )учѐтом равенств|, получим:|∑ ∑|∑ ∑( )( )( )(( )( )( )|())( )(())()), () в ряды Фурье по сферическимОстаѐтся разложить известные функции (( )() и приравнять соответствующие коэффициенты.функциямДЗ 8. БК с. 119 № 15(в), 16(а); с.
120 № 17(в), 18(б), 19(а,г).7Семинар 9Задачи Ш.–Л. для оператора Лапласа в цилиндрических координатахВ цилиндрических координатах⏟где(оператор Лапласа имеет вид (дома получить!):*— оператор Лапласа в полярных координатах.Пример 1 (в цилиндре). Найти СЗ и СФ задачи Ш.–Л.:{|||Будем искать СФ в виде:Подставив это выражение в ДУ, получим:Разделим переменные, поделив уравнение на:С учѐтом ГУ |для функцииимеем задачу Ш.–Л.:{|Это задача Ш.–Л. в круге с условием Дирихле (см. семинар 6).
Она имеет следующие СФи СЗ:(√где‖)— k-й положительный корень уравнения(√‖),,)Теперь для функцииС учѐтом ГУ |(√получим:|, имеем задачу Ш.–Л. на отрезке:{Еѐ СЗ и СФ:()‖‖Теперь СЗ исходной задачи Ш.–Л. в цилиндре имеют вида СФ —1‖∫‖∫∫∫⏟∫⏟‖‖∫‖‖‖‖ ‖ ‖Можно показать, что найденные СФ образуют полную ортогональную систему вцилиндре, поэтому других ЛНЗ СФ нет.(Ответ:(√),— k-й положительный корень уравнения,(√‖) , где)(√‖)Аналогично решаются задачи Ш.–Л.
в частях цилиндра: цилиндрическом слое (тороидепрямоугольного сечения), секторе цилиндра, секторе тороида прямоугольного сечения.Задачи Ш.–Л. для оператора Лапласа в сферических координатахНапомним, что в сферических координатах оператор Лапласа имеет вид (см. семинар 8):(*Пример 2 (в шаре). Найти СЗ и СФ задачи Ш.–Л.:{ |Будем искать СФ в виде:Подставив это выражение в ДУ()Разделим переменные, умножив уравнение на(, получим::)2Для функцииполучим задачу Ш.–Л.
на единичной сфере:{| ||В семинаре 8 получены еѐ СЗ и СФ (сферические функции):‖‖Далее, для функции(*имеем ДУ:()В этом уравнении сделаем замену неизвестной функции:Тогда√(√*√√(*√√√Теперь ДУ принимает вид:√(√Умножим его на √ :)(√√√*((* )Приэто уравнение Эйлера, которое впервые нам встретилось в семинаре 4. Приэто уравнение приводится к уравнению Бесселя порядка(см. семинар 6).Выпишем ОР этого ДУ:({(√))(√)Оказывается, цилиндрические функции полуцелого порядка выражаются через синус икосинус:3√√√(√*(*Тогда(√{√)(√)√√Из условия ограниченности решения при(√(Заметим, что функция(√следовательно,в обоих случаях.)ограничена при√, т.к.при,и).) Тогда с точностью до постоянного множителя имеем:√(√{получим, что)√ГУ|порождает ГУа) При.:, откуда.Тогда— СФ, отвечающая СЗ‖,‖б) При:(√((√√√)(√(√√))|(√)(√))|)√√(√)(√)Положительные корни этого уравнения являются СЗсоответствуют функции(√,Им)√и СФ исходной задачи Ш.–Л.
в шаре.4‖∫‖∫⏟∫∫∫⏟‖∫*‖+‖‖∫[(√∫(√)((‖ ‖√)‖‖(‖‖)√∫)(√,)]Здесь была использована формула для цилиндрической функции ν-го порядка:∫*()+Из уравнения (1) можно выразить:(√(√))√Тогда(√‖)‖(()(√,[)](+(√)Другой вид для квадрата нормы можно получить, если выразить из уравнения (1):(√√)(√)Тогда‖‖Ответ:(√√*,)‖‖)— k-й положительный корень уравнения,(√ )(√,(√+√),,,5‖‖+(*(√)(√*).ДЗ 9. Найти СЗ, СФ и квадрат нормы СФ: БК с. 63 № 7(г), с. 64 № 8(б,в), 9(г),а также в шаре с ГУ:а) |,б) ()|6Семинар 10Пример 1 (в шаровом слое). Найти СЗ и СФ задачи Ш.–Л. в шаровом слое:{ ||Заметим, что для смешанной задачи все СЗБудем искать СФ в виде:()( ) ()Подставив это выражение в ДУ.и разделив переменные,получим:(( ))(()) получим задачу Ш.–Л.
на единичной сфере:()()( )Для функции (()){ (| ||Еѐ СЗ и СФ:()()()( ))( )()( )( )()()(‖‖()Далее, для функции ( ) имеем ДУ:(*((( )))) ( )В семинаре 9 построено его ОР:( )( )√где( )(√ )(√ )(посколькуИз ГУ|).|получимнайденное ( ):( )( )( )( ) (+|√( )( )√Отсюда имеем систему уравнений:( )( ){( )Подставим в неѐ функцию ( ):( ),( ).Подставимсюда( )1√(√{*{(√√)(√(√(√√))(√(√)(√)(√))(√))(√)+*√(√)+( ))Эта однородная СЛАУ относительно неизвестных коэффициентовнетривиальные решенияеѐ определитель равен нулю:√√(√ )(√ )(√ )(√ )||(√ )(√ ),имеетОтсюда*√(√)(√)+(√)*√(√)(√)+(√)( )( )СЗявляются пожительными корнями этого уравнения,( )Присистема (1) является вырожденной, первое уравнение является следствиемвторого.
Второе же уравнение нам даѐт:(√( )(√)( ))Тогда один из коэффициентов ,— произволен, а другой выражается через него спомощью данного уравнения. Поскольку мы ищем СФ с точностью до постоянногомножителя, положим( )(√)Тогда(√( ))(√( )Теперь имеем( )и( ))(√( ))(√( ))(√( ))( )√А соответствующие СФ задачи Ш.–Л. в шаровом слое имеют вид:()( ) ( )()Можно показать, что они образуют полную ортонормированную систему в шаровом слое,поэтому других СФ нет.Теперь вычислим квадрат их нормы.2‖∫‖( )∫⏟‖∫(∫∫⏟(∫*‖‖())())+‖( )∫∫(‖ ‖)‖‖(‖‖√ ( )√ ( ) )( )( )∫(√ ( )√( ))Заметим, что(√( )( )(√( ))( ))( )√()является цилиндрической функцией порядка∫( )( )*где,( )((( )+)√ ( ), поэтому для неѐ справедлива формула).Воспользовавшись этой формулой, получим:‖‖[( )( )((( )Из ГУ имеем:( )Тогда( )( )( )(( )( )(√ ( )( )[)(( )(√ ( )√ ( )()( ),( )]).)( )[( )( )(( )( )‖( )],( )(Здесь учтено, что‖)(( )()( )+()( )( ),( )+( )]( )( )3( ),Вычислим√√( )√( )( )|( )( )(√(*|√( )( )(√*(√|( ).( ))( )( ))(√)( )(√)(√( )(√)||( )( )(√)√( )( )[( )(√)( )]|)+√ ( )√ ( )( )(√*))(√( )( ))( )(√))+Из уравнения (2) выразим:( )√(√( )( )(√(√)( )√( )(√( )√(√( )( )(√)( )(√)√[(√( )(√(√)( )(√)( )))( ))(√( )( )( ), получим:Подставив это в выражение для( )√(√)( )( )(√)( ))))]√(√( )⏟(√(√√( )√( )√( )( )( )(√))(√*[( )( ))(√)(√( ))(√( ))+( )( )Подставим найденные√(√)( )]|( ),( )√ ( )( )*√( )(√( ))(√( ))(√( ))(√( ))+( )))( )(√)√(√( )(( )*|)√ ( )( ) в выражение для ‖‖ :4‖( )‖((( ))( )( )+((( ))( )+Окончательно получим:‖( )Ответ:[‖‖()((‖)() ()[)(( ))( )+])(√)](√)[(√( )(√√)(√)](√))(√( ))(√( ))(√)( ))√‖((— k-й положительный корень уравнения(√√‖ ‖((‖)() ((√√( )(√( ))[)( ))(( )()( )()()+])(√( ))ДЗ 10.
Найти СЗ, СФ и квадрат нормы СФ: БК с. 64 № 10(а,б,в).5Семинар 11Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах(⏟)Пример 1 (в цилиндре).|)( )()()||{Это внутренняя задача Неймана для уравнения Лапласа. Будемсчитать, что условие еѐ разрешимости(∬(интеграл берѐтся по полной поверхности цилиндра) выполнено.Ищем решение задачи (0) в виде:()()()где|{()|()|()|()( )||{Пусть каждая из этих двух задач также разрешима (иначе данный способ решения неприменим):∬∬Рассмотрим задачу (I).Запишем уравнение Лапласа для функции() в виде:Сначала найдѐм ЧР уравнения Лапласа в цилиндре вида()() ( )удовлетворяющие однородным ГУПодставим(|.) в уравнение Лапласа:1() ( )() ( )) ( ):Разделим переменные, поделив уравнение на (()( )()( )) получим задачу Ш.–Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
