Электронные семинары (1125178)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Семинар 1Вывод уравнений математической физики. Постановка краевых задачОсновные уравнения математической физики:— уравнение теплопроводности (описывает распространение тепла, диффузию, движение вязкой жидкости);— уравнение колебаний (описывает малые механические колебания струны, газа, твѐрдого тела);— уравнение Лапласа (описывает стационарную теплопроводность, стационарную диффузию, стационарное течение идеальной жидкости, электростатику);— уравнение Гельмгольца (описывает гармонические волны).Здесь — неизвестная функция; постоянные коэффициенты , и функция—даны; — точка в пространстве, на плоскости или на прямой, — время.Рассмотрим вывод уравнения математической физики на примере уравнения теплопроводности.Уравнение теплопроводности⃗[∫∫⃗Пустьтрѐхмернаяобласть,ограниченнаястью , заполнена веществом с удельной теплоѐмкостью, плотностьюи коэффициентом теплопроводности. Пусть— температура в точкевмомент времени .

Будем считать, что все функции достаточно гладкие.Рассмотримподобласть,ограниченнуюстью . Изменение внутренней энергии в областизавремя :]∫[∫]∫Закон Фурье:⃗⃗⃗— поток тепла (он направлен от более нагретого участка к менее нагретому и пропорционален градиенту температуры). Величина потока — это количество тепла, протекающего через единичную площадку в единичный момент временив направлении вектора ⃗⃗⃗ .Согласно закону Фурье, за времячерез поверхность наружу вышло количество тепла1∫(⃗⃗⃗∫∫∫⃗)(∫(⃗⃗⃗∫))где ⃗ — единичная внешняя нормаль к поверхности и использована теорема Остроградского–Гаусса.Если в областиесть внешние источники (или поглотители) тепла, то за времяонивыделили количество тепла∫∫где— удельная мощность источников тепла (количество тепла, выделяемоевнешними источниками в единичном объѐме в единицу времени).Закон сохранения энергии:∫∫∫∫∫∫()Отсюда:∫∫[()]()]По формуле среднего значения:∫∫[[()]где,.Будем стягивать областьк некоторой фиксированной точкеустремимк нулю, тогда()Пусть теперь,,.

ТогдаОбозначим(коэффициент температуропроводности),(при этом)и,и. ПолучимЭто и есть уравнение теплопроводности. Оно выполняется во всех внутренних точкахобласти в любой момент времени .Если распределение температуры стационарно, т.е. температура в каждой точке не изменяется со временем,и, то получим уравнение Пуассона:2В частном случае, когда, имеем уравнение Лапласа:Для выделения единственного решения уравнения теплопроводности ставятся дополнительные условия: начальное и граничное.НУ: |— задана температура в каждой точке области в начальный моментвремени.ГУ: ставится на границе области . Рассмотрим ГУ трѐх типов.1) |— ГУ первого рода или условие Дирихле: на границе поддерживаетсязаданная температура (здесь — точка поверхности ,— заданная функция).|2)— ГУ второго рода или условие Неймана.

Выясним его физическийсмысл. Если мы умножим левую и правую части этого равенства на коэффициент, то получим()||т.е., где⃗— проекция вектора ⃗⃗⃗(⃗⃗⃗ ⃗ )на единичную внешнюю нормаль ⃗ к поверхности . Таким образом, условие Неймана означает, что задан поток тепла через границу . В частности, однородноеусловие Неймана|означает, что граница теплоизолирована.3) ()|— ГУ третьего рода. Оно описывает теплообмен сокружающей средой. В самом деле, если температура окружающей среды равна ,то поток тепла с поверхности (имеющей температуру ) в окружающую среду (внаправлении внешней нормали) описывается законом Ньютона:, где — коэффициент теплообмена.| (мы будем считать, что на границе нет доПосколькудолжен быть равенполнительных источников тепла), то|откуда получаем, а это и есть ГУ третьего рода, где()|Если мы устремим здеськ нулю, то получим однородное условие Неймана|: теплообмен отсутствует.

Если же устремим к бесконечности, то получим условие Дирихле |Заметим, что коэффициент: идеальный тепловой контакт.в ГУ третьего рода неотрицателен.3Таким образом, для уравнения теплопроводности в ограниченной областиначально-краевая задача:ставится̅|+ граничное условие на .̅ (в области вместе с еѐ границей ),Требуется найти функциюпри.(В стационарном случае — для уравнения Пуассона или Лапласа — начальное условие неставится.)Теперь запишем уравнение теплопроводности в декартовых координатах:()Если областьимеет форму бесконечного цилиндра с осью, т.е.геометрия области не зависит от координаты , и функция , а такжеграничные и начальные условия не зависят от , то в силу симметрии итемпература не будет зависеть от .

Тогда получим двумерное уравнение теплопроводности:Γ— в поперечном се()чении цилиндра.Если же область имеет форму тонкого стержня, параллельного оси, с теплоизолированной боковой поверхностью, т.е. изменениемтемпературы в поперечном сечении можно пренебречь,то уравнение теплопроводности будет одномерным:ДЗ 1. БСТ гл. II № 1, 4, 11; гл. III № 6, 9; гл. IV № 3.Дополнительный материалДиффузия⃗∫[⃗Пусть теперь— концентрация вещества в точкев момент времени .Закон диффузии:⃗⃗⃗где ⃗⃗⃗ — поток вещества,— коэффициент диффузии.Изменение количества вещества в областиза время:]∫[ ∫Количество вещества, которое вышло через поверхность]∫за время∫за счѐт диффузии:4∫(⃗⃗⃗∫∫∫⃗)∫(∫(⃗⃗⃗))Если в областиесть внешние источники (или поглотители) вещества, то за времяони выделили количество вещества∫∫где— удельная мощность источников вещества (количество вещества, выделяемое внешними источниками в единичном объѐме в единицу времени).Закон сохранения вещества:∫∫∫∫∫∫Применив формулу среднего значения и устремив()Если, то(,), получимЗначит, диффузия описывается тем же уравнением, что и теплопроводность.Стационарная диффузия () описывается уравнением Пуассона:При— уравнением Лапласа:Начальное условие: |— задана начальная концентрация.Граничное условие.1) |— на границе поддерживается заданная концентрация.2) |— на границе задан поток вещества.Уравнение малых продольных колебаний стержня упр упр стержень в равновесиистержень не в равновесиистержня, заключѐнный между сечениямииПусть тонкий упругийстержень в положении равновесия (когда он не деформирован) имеет длину .Направим осьвдольстержня и поместим началокоординат на левом концестержня.Рассмотрим малый участок.5Пусть точки стержня могут колебаться вдоль оси(но каждое поперечное сечениестержня колеблется как единое целое).

Обозначим черезотклонение сечениястержня, находившегося в положении равновесия в точке , от этого положения равновесия в момент времени .При отклонении стержня от положения равновесия удлинение выделенного участкастержня равно. По закону Гука сила упругости, действующаяв сечении , пропорциональна относительному удлинению и равна (по абсолютной величине)упргде, — площадь сечения,— модуль Юнга.Пусть ̃— линейная плотность внешних сил, приложенных к стержню,— линейная плотность стержня (в положении равновесия).

Запишем второй закон Ньютона:где — импульс, — приложенная сила.Применительно к выделенному участку стержня это будет выглядеть так:∫упр∫упр̃Отсюда∫∫̃т.е.∫∫()∫̃Применив формулу среднего значения и перейдя к пределу при̃()Если,, то̃Обозначив,̃, получим:, получим:Это уравнение колебаний на отрезке.Поскольку по это уравнение второго порядка, то ставятся два начальных условия:||Т.е. заданы начальные отклонения и скорости точек стержня.Граничные условия:1) |— левый конец движется по заданному закону. Это условие Дирихле.В частности, при, имеем неподвижно закреплѐнный конец.6|2) Левый конец свободен: упр.

Тогда, откуда|Если же на левый конец действует заданная внешняя сила, то|,и, откудаупр|Это условие Неймана.3) Левый конец закреплѐн на пружине с коэффициентом упругости| , откуда|упрупр()|Если другой конец пружины двигают по закону|( |), откуда( |упр(. Тогда|,и, то), и)|Это граничное условие третьего рода.Аналогичные граничные условия ставятся на правом конце.Таким образом, для уравнения колебаний на отрезке ставится следующая начальнокраевая задача:||+ граничные условия прии.Уравнение малых поперечных колебаний струны Рассмотрим натянутую (сила натяжения ) струнудлины , которая может совершать колебания в поперечном направлении (в плоскости).

Направим осьвдоль струны. Пусть— отклонениеки струны от положения равновесия. Рассмотримучасток струны, расположенный между точками и. Вычислим его длину:∫ √С другой стороны:√Если колебания струны малы, то угол близок к нулю. Будем считать малыми колебаниями такие, при которых можно пренебречь членами порядкапо сравнению с и считать, что7∫т.е.

длина струны при малых колебаниях не изменяется. Но тогда и сила натяжения не изменяется и равна для любой точки струны. Запишем второй закон Ньютонадля выделенного участка струны в проекции на ось(екция силы натяжения∫)()где— линейная плотность струны,ложенных к струне (по оси).

Отсюда∫∫. При этом будем считать, что про. Тогда∫— линейная плотность внешних сил, при∫Применив формулу среднего значения и перейдя к пределу приЕсли, получим:, тоПоложим,. ТогдаПолучили опять уравнение колебаний на отрезке.Начальные условия:||— заданы начальные отклонения и скорости точек струны.В частности, если,, то в начальный момент покоящаяся струна отклонена отположения равновесия (гитара). Если,, то начального отклонения нет, ноструне придали начальный импульс (скорость), например, при ударе молоточком (пианино).Граничные условия:1) Левый конец закреплѐн: |.Левый конец движется по заданному закону: |.|2) Левый конец свободен: |.|К левому концу приложена силапо оси:|3) Левый конец закреплѐн на пружине:||(Левый конец закреплѐн на пружине, которую двигают по закону|.( |) ()|)|.:Аналогичные граничные условия ставятся на правом конце струны.8Уравнение малых колебаний газа в сосуде⃗⃗Пусть— давление,— скорость,— плотность газа,— плотность внешних сил.Рассмотрим подобласть.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов семинаров