Электронные семинары, страница 10

Если предположить, что( ), то ГУ выполнено автоматически, и остаются условия:( ){ ( )( )Проинтегрировав ДУ с учѐтом НУ, получим:Также мы могли бы угадать решение исходя из его физическогосмысла. Уравнение колебаний в круге описывает поперечные колебания круглой упругой мембраны. Однородное условие Неймана означает, чтокрая не закреплены.

Однородные НУ означают, что в начальныймомент мембрана покоится в положении равновесия. Функциявправой части означает, что к мембране приложена постоянная внешняясила, направленная перпендикулярно плоскости мембраны ираспределѐнная равномерно по ней с плотностьюна единицу массы. Тогда очевидно,что мембрана будет двигаться равноускоренно, не деформируясь, т.е. закон движения.Таким образом, решение исходной начально-краевой задачи имеет вид:()ДЗ 16. БК с. 212–213 № 3, 6, 8, 11; с.

284 № 7, 10.5Семинар 17Уравнение теплопроводности на прямой(){ |( )| |Найти ( ) при,.Если функции ( ) и ( ) непрерывны и ограничены, то классическое решение ( )существует и единственно.Получим решение с помощью преобразования Фурье по , предположив, что функции ,, , , ,абсолютно интегрируемы по на и,при.Введѐм обозначения для Фурье-образов:()(∫√( ))()√∫()( )∫√Возьмѐм преобразование Фурье от левой и правой части уравнения теплопроводности:(∫√⏟)((∫√)√⏟∫)(())Преобразуем оставшийся интеграл, проинтегрировав по частям два раза:(∫√(√⏟))(√⏟|( ))∫√|()√∫()()Тогда( )( )( )Возьмѐм преобразование Фурье от НУ:√⏟∫(())√⏟∫( )( )Таким образом, получилась задача Коши( )( )( ){( )( )для ОДУ первого порядка по , где неизвестная функция зависит также от параметра .Решение этой задачи, как мы знаем (см.

семинар 15), можно записать в виде:1()( )∫ (Чтобы получить функцию (()√√√√∫( )∫( )∫ [∫ [( ))∫ [∫ (∫√√)), сделаем обратное преобразование Фурье:√∫√∫∫(∫√()( )()]())](∫∫())(∫(])∫)∫()∫()()(В предположении, что можно менять порядок интегрирования.)Вычислим внутренние интегралы по . Для этого рассмотрим вспомогательный интеграл:( )∫Вычислим этот интеграл с помощью дифференцирования по параметру.Обоснование возможности дифференцирования ( ) по параметруинтеграла:1) ( ) сходится при:( )∫√2) Подынтегральная функция3) Интеграл∫и еѐ производная понепрерывны.∫сходится равномерно припо признаку Вейерштрасса: |мажорантный интеграл сходится:∫| |под знаком∫∫( )|| ||2Из условий 1)–3) следует возможность дифференцирования ( ) по параметрузнаком интеграла. Тогда( )∫(∫∫()∫(под)∫)( )( )|⏟( )Таким образом, функция ( ) удовлетворяет дифференциальному уравнению:откуда̃| |⏟̃( )Поскольку ( )√ , то√ ,и( ) √Далее, вычислим интеграл()()∫∫(())()()∫√( )Тогда∫(∫)(( √)√)(√)√()()√Теперь получим:()∫( )(√)∫∫()()(√ ())Обозначим()()√3Тогда()( ) (∫⏟)∫∫() ()Эта формула даѐт решение уравнения теплопроводности на прямой.

Она справедлива идля кусочно-непрерывных функций , . Выписанную формулу можно использовать вдальнейшем при решении задач.) называется фундаментальным решением уравнения теплопроводностиФункция (на прямой. Она удовлетворяет задаче:{|()) описывает температуру в точкеФизический смысл: функция (в моментвремени , если в точкев начальный момент времени мгновенно выделилосьопределѐнное количество тепла (,начальная температура нулевая).() приИз графиков функцииразных мы видим, что с течением временитепло, первоначально сосредоточенное водной точке , «расплывается» по всейпрямой.Парадокс бесконечной теплопроводности.В начальный момент временитемпература во всех точках , кроме,равна нулю.

Но в любой последующиймомент времени температура во всехточках прямой больше нуля, что означает бесконечную скорость распространения тепла.Такого не может быть. Это погрешность нашей модели, не учитывающейкорпускулярную структуру вещества.Аналогично решается уравнение теплопроводности на плоскости:()(){ |()| |В этом случае надо взять преобразование Фурье по двум переменным:()(√) ∫ ∫()и т.д.Окончательно получим, что решение уравнения теплопроводности на плоскости имеетвид:()∫ ∫() ()∫∫ ∫() ()где4()()∫ ∫ ∫() (()()√— фундаментальное решение уравнения теплопроводности на плоскости.Аналогично в трѐхмерном пространстве:()(){ |()| |()∫)(∫ ∫ ∫) ()где()(()()())√— фундаментальное решение уравнения теплопроводности в пространстве.ДЗ 17.

БК с. 213–214 № 12–16.Другой способ вычисления интеграла ( )Вычислим интеграл( )∫другим способом. Выделим полный квадрат:( )∫∫[(())(() ])∫()∫( )где — прямаяПокажем, чтона комплексной плоскости.∫√∫Рассмотрим интеграл по конечному отрезкупрямой5(/)∫∫и замкнѐм контур интегрирования так, как показанона рисунке.Посколькуподынтегральнаяфункцияаналитична на всей комплексной плоскости, интегралот неѐ по замкнутому контуру равен нулю:( )где∫и— интегралы от функции:и,, соответственно, в указанном на рисунке направлении.:,Рассмотрим∫по отрезкам прямых∫()∫∫откуда| ||∫|∫⏟Заметим, чтопри.

Аналогично можно показать, чтоТогда, перейдя в равенстве (2) к пределу при, получим, что(∫)∫при.√Теперь из (1) следует, что( )√6Семинар 18Уравнение теплопроводности на полупрямойI. Однородные ГУ.1. Условие Дирихле.(||)( )( ){| |Если функции ( ), ( ) непрерывны и ограничены и выполнено условие согласования( ), то классическое решение ( ) существует и единственно при,.Сведѐм задачу на полупрямой к задаче на прямой, доопределив функции ( ), ( ) принечѐтным образом.Лемма 1. Если функция ( ) нечѐтна и определена при, то ( ).( )( )( )Доказательство: ( )( ).( )( ) можно продолжить нечѐтным образом;Поскольку, то функциюпредположим также, что |, тогда функцию ( ) тоже можно продолжитьнечѐтным образом с сохранением непрерывности.

Итак, введѐм функции, определѐнныепри всех:̃( ) { ( )()( )̃( ) {( )Эти функции являются нечѐтными по и непрерывными при.Рассмотрим вспомогательную задачу на прямой:̃( )̃̃( ){ ̃|̃( )| ̃|Решение задачи (2) имеет вид (см. прошлый семинар):̃()∫ ̃( ) (где (()∫∫ ̃() ()) — фундаментальное решение уравнения теплопроводности на прямой:)(√Выразим функцию ̃()) через функции ( ) и (). Рассмотрим интеграл:1∫ ̃( ) ((∫⏟)∫ ̃( ) () ()∫ ( ) (∫∫)( ) (∫∫ ̃( ) (( ) ())( ) (∫)))( ) ()∫( ) [⏟ ()(()])()()() называется функцией Грина задачи ДирихлеФункциядля уравнения теплопроводности на полупрямой.

Она удовлетворяет следующимусловиям:( )( ){ |( )()) описывает температуру вФизический смысл: функция ( точке в момент времени , если прив точке мгновенно, а в точке – такое же выделилось количество теплаколичество тепла поглотилось (при нулевой начальнойтемпературе). Тогда, в силу симметрии, в точкев любой момент времени будетнулевая температура.Аналогично преобразуется второй интеграл, и получается формула:)̃(∫( )()(Поскольку функция(()(√)()( )) нечѐтна по :)((∫()√)()()√то и функция ̃( ), в силу формулы (3), нечѐтна по .

Тогда, в силу леммы 2, ̃|Условия задачи (2) присовпадают с условиями задачи ( ), поэтому функция ̃(совпадает с решением задачи (1) при:()∫)̃(√)|∫( )()∫∫()(Замечание: можно показать, что эта формула остаѐтся в силе при( )и |не выполнены.).)( ), даже если условия2Пример 1. Решить начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности наполупрямой:||{| |Заметим, что условие согласования начального и граничного условия не выполняется.Тем не менее, воспользовавшись формулой (4), получим:()∫()∫()∫[ ()(∫()])√√(∫)√∫√√∫√()⏟ √∫√ ⏟√∫√√Обозначим:( )√∫— функция ошибок.Свойства функции ошибок: нечѐтность( )( ),монотонность,( ).Теперь(√Аналогично:(∫(∫))(∫√)(√))(∫()√√)Тогда()(√)3Из графиков решения при разных видно,что в начальный момент времени решениеимеет разрыв первого рода на границе, апри всехоно непрерывно.

В этомсостоит сглаживающее свойство уравнениятеплопроводности.2. Условие Неймана.()||( ){| |Задача решается аналогично, но нужно сделать чѐтное продолжение функций ( ) и( ) на всю прямую. Тогда и решение соответствующей задачи на всей прямой ̃( )также будет чѐтной функцией.( ), то ( )Лемма 2. Если функция ( ) — чѐтная и.( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )Доказательство:( ).В силу леммы 2 чѐтная функция ̃( ) удовлетворяет условию ̃ |является решением задачи на полупрямой. Окончательный ответ:()∫( )()∫∫()(и при)()()() — функция Грина задачи Неймана для уравнениягдетеплопроводности на полупрямой. Она удовлетворяет условиям:( )( ){( ) |( )()() описывает температуру вФизический смысл: функция точкев момент времени , если прив точкахимгновенно выделилось количество тепла(при нулевойначальной температуре).

Тогда, в силу симметрии, в точкевлюбой момент времени потока тепла не будет.II. Неоднородные ГУ.1. Условие Дирихле.( )|( )|( ){| |Будем искать решение в виде:4( )( )( )( ).где ( ) — достаточно гладкая функция, удовлетворяющая условию |( ). Предположим, что функция ( ) ограничена и имеет непрерывнуюПусть ( )производную. Тогда для функции ( ) получим задачу с однородным ГУ:( )( )||( )( ){| |2. Условие Неймана.( )|( )|( ){| |Будем искать решение в виде:( )( )( )( ).где ( ) — достаточно гладкая функция, удовлетворяющая условию |( )( ). Предположим, что функция( ) имеет непрерывнуюПустьпроизводную.

Тогда для функции ( ) получим задачу с однородным ГУ:( )( )||( )( )( )|{|ДЗ18. БК с. 214 № 17–19.5Семинар 19Уравнение колебаний на прямойРассмотрим начальную задачу для уравнения колебаний на прямой:( )( ){ ||( )Заметим, что условие на бесконечности для выделения единственного решения ставить ненадо, т.к. решение и так будет единственным (это будет показано далее).В предположении, что классическое решение существует, получим его методоминтегрирования по фазовой плоскости (можно его получить и другим способом,например, через преобразование Фурье, как для уравнения теплопроводности,см. семинар 17).На фазовой плоскостивозьмѐм), гдепроизвольную точку (. Проведѐмчерезнеѐдвепрямые(характеристики уравнения колебаний):( )и.

Очевидно, чтои. Эти прямые ) ипересекают осьв точках ((), соответственно. Проинтегрируем( )( )уравнениеколебанийпофазовомутреугольнику:∬()∬()Теперь преобразуем интегралы таким образом, чтобы выразить значение функцииточке через известные функции , , .Для этого используем формулу Грина:∮∬(в*где — область на плоскости, ограниченная замкнутым контуром , обходимом вположительном направлении.Применим эту формулу к фазовому треугольнику, положиви:∬()∫(⏟∮(⏟,∫()⏟+⏟∫(⏟⏟,( )(∫⏟)(∫⏟)∫( )1[ ( )( )][ ( )( )( )⏟⏟( )(( )]( ))откуда( )( )(( ))(Если переобозначить)выполняется равенство∫( )∬(), а на прямой(∫∫∫()()—))((( )( )∫(Здесь мы учли, что на прямойравенство.)Теперь:( )∫())на , на и(( )∫)на ,∫на , то(∫( )∫)∫(( ))Эта формула даѐт классическое решение начальной задачи для уравнениятеплопроводности на прямой.