Электронные семинары, страница 4

Например, возьмѐмАналогично найдѐм функцию( )и. Тогда( )( ), удовлетворяющую ГУ|, при:( )( )( )Очевидно, найденные функции( )и( )( )Пусть теперь. Тогдачит,( )( )( ). Аналогично из ГУ( ) — ЛНЗ.. Из ГУ( )|( )|имеем:получим, что( )( ). Зна.2Но две константы всегда ЛЗ, поэтому не образуют ФСР. Таким образом, приОРДУ (1) придѐтся оставить в прежнем виде:( )Для примера рассмотрим также условие Дирихле. Пусть требуется найти решение ДУ (1)( )( ), удовлетворяющее однородному условию Дирихле ( ) ( ).

Примыдолжны искать его в виде:( )( )( )( )Подставив это выражение в ГУ, получим:откуда. Например,,. Тогда( )( )есть решение ДУ (1) при, удовлетворяющее однородному условию Дирихле( )( ).Прирешение ДУ (1), удовлетворяющее однородному условию Дирихле( )( )( )( ), должно иметь вид:. Подставив эту функцию в ГУ, получим. Например, пусть,,и( )( )Итак, будем искать решение нашей краевой задачи Неймана в кольце в виде:()∑()( )∑ ,*( )∑( )( )( )( )+*( )( )( )( )+-Неизвестные коэффициенты определяются подстановкой в ГУ( )( ).

При этом надо учесть, что||( )( )||. Тогда имеем:|∑[( )|()]( )|∑[( )|()]( ){Разложив правые части в ряды Фурье по тригонометрической системе, найдѐм коэффициенты , , , ,(с учѐтом условия разрешимости (*) они определяются однозначно). Коэффициентостаѐтся произвольным.Пример 3 (в круговом секторе).{ |||( )Внимание! ГУ пообязательно должны быть однородными,иначе данный алгоритм неприменим!3Здесь по переменной уже будут не периодические ГУ, а условия Неймана, поэтому надоискать решение краевой задачи в виде ряда по другим ЧР уравнения Лапласа, удовлетворяющим однородным ГУ: ||.

Найдѐм такие ЧР, имеющие вид:()( ) ( )Подставив это выражение в уравнение Лапласа и разделив переменные, получим:( ))(( )( )( )Для функции( ), с учѐтом ГУ:||, имеем задачу Ш.–Л.:( )( )( )( )Еѐ СЗ и СФ:{(( ))Для функции ( ) имеем ДУ:( )( )( )Его ОР имеет вид:( ){√√Таким образом, получаем ЧР уравнения Лапласа, удовлетворяющие ГУ||:()( )( ){()Решение краевой задачи в секторе ищем в виде их суммы:()∑()∑()( ̅ ) должно быть непрерывно, и,Классическое решение краевой задачи( )следовательно, ограничено в секторе, включая его границу (в т.ч. при), поэтому,,Тогда:()∑Эта функция удовлетворяет всем условиям краевой задачи, кроме неоднородного ГУ:|( ). Неизвестные коэффициенты находятся подстановкой ряда в неоднородное( ).ГУ: |Пример 4 (в кольцевом секторе).| {||( )|( )4Внимание! ГУ по обязательно должны быть однородными, иначе данный алгоритм неприменим!Ищем ЧР уравнения Лапласа, удовлетворяющие однородным ГУ: ||,(и представимые в видеШ.–Л.:( )( ){( )( )Еѐ СЗ и СФ:(()))( ) ( )(( ).

Разделив переменные, получим задачу)Для функции ( ) имеем ДУ:( )( )( )( )Его ОР имеет вид:√√( )(Заметим, что теперь все.)Для удобства решения краевой задачи в кольце, выберем другую ФСР, состоящую из( )( )функций( ),( ), удовлетворяющих соответствующим однородным ГУ прии:( )( )( )|Аналогично примеру 2, имеем:( )( )√√√√√√( )( )Теперь ОР ДУ (2):( )( )( )( )( )Таким образом, получены ЧР уравнения Лапласа, удовлетворяющие однородным ГУ||:()( )( )*( )( )( )( )+()Решение исходной краевой задачи ищется в виде их суммы:()∑()∑*( )( )( )( )+()Неизвестные коэффициенты определяются подстановкой в неоднородные ГУ:|( )с учѐтом того, что( )|( )( )( )|.ДЗ 5.

БК с. 116 № 2(б,в), 3(а,г); с. 117 № 4(в), 5(в).5Дополнительный материалЗадачи с неоднородными ГУ поПример 5 (в секторе). Рассмотрим задачу, аналогичную разобранной в примере 3, но снеоднородными ГУ на всей границе:( )|( )|( )( ){ |Будем искать решение задачи (0) в виде()( )( )где функции ( ) и ( ) — решения следующих краевых задач:( )||( )(){ |||( )( ){ |В самом деле, сумма решений задач (I) и (II) удовлетворяет всем условиям задачи (0).Задача (II) решена в примере 3.

Рассмотрим задачу (I). Найдѐм ЧР уравнения Лапласа,удовлетворяющие однородному ГУ |и представимые в виде()( ) ( )Подставив это выражение в уравнение Лапласа и разделив переменные, получим:(( ))( )( )( )Для функции ( ), с учѐтом ГУ |, получим задачу:( )( )( )( ){( )ПриОР ДУ (3) имеет вид:√√( )В силу ограниченности приимеем. Тогда из условия ( )получаем. Тогда ( )— тривиальное решение.ПриОР ДУ (3) имеет вид:( )В силу ограниченности приимеем. Тогда из условия ( )получаем. Тогда ( )— тривиальное решение.ПриОР ДУ (3) имеет вид:( )(√)(√)Если | | | |, эта функция не будет иметь предела при, поэтому для построения классического решения краевой задачи не подходит.Краевую задачу (0) в данном случае нужно решать с помощью функции Грина, либо сделав замену неизвестной функции, которая приводит к однородным ГУ по .6Пример 6 (в кольцевом секторе).

Рассмотрим задачу, аналогичную разобранной в примере 4, но с неоднородными ГУ на всей границе:|( )( )|( )|( )( )|{Будем искать решение задачи (0’) в виде()( )( )где функции ( ) и ( ) — решения следующих краевых задач:|{( )( )|||||( )( )|( )( )|{В самом деле, сумма решений задач (I’) и (II’) удовлетворяет всем условиям задачи (0’).Задача (II’) решена в примере 4. Рассмотрим задачу (I’). Найдѐм ЧР уравнения Лапласа,удовлетворяющие однородным ГУ: ||, и представимые в виде()( ) ( )Подставив это выражение в уравнение Лапласа и разделив переменные, получим:(( ))( )( )( )Для функции ( ), с учѐтом ГУ||, получим задачу:( )( )( )( )Это задача Ш.–Л. на отрезке со смешанными ГУ, все еѐ СЗвид:( )(√)(√)Подставляем в ГУ:( )(√)(√){√√( )(√)(√){( )( ).

Тогда ОР ДУ (4) имеет( )Эта однородная СЛАУ имеет нетривиальные решения при условии:7(√| √√)(√√(√)(√)[)(√(√)|)(√)(√)]√(√)Отсюда(√())Определим коэффициенты и . Поскольку определитель однородной СЛАУ (5) равеннулю, второе уравнение является следствием первого, а одним из решений первого уравнения будет(√)(√)Тогда( )(√)(√)(√)(√)(√)Для функции ( ) имеем ДУ:( )( )общее решение которого, с учѐтом ГУ по , удобно записать в виде( ))√√ (Тогда( )()( )( )(√)[√√()]Эти функции удовлетворяют уравнению Лапласа в кольцевом секторе и однородным ГУ:||Тогда решение краевой задачи (I’) будем искать в виде:()∑( )()∑(√)[√√()]Неизвестные коэффициенты определяются подстановкой в неоднородные ГУ:|( )|( )8Семинар 6Задачи Ш.–Л.

для оператора Лапласа в полярных координатахПример 1 (в круге). Найти СЗ и СФ задачи Ш.–Л.:—||()|{Мы знаем, что для таких ГУ все СЗесть только у задачи Неймана.Будем искать СФ в виде((((Посколькучим:(( ) ((), причѐм СЗ, то, подставив эту функцию в ДУ((, полу-(Разделим переменные:( )((Для функции ((({((Еѐ СЗ и СФ:((получаем задачу Ш.–Л.:(((Для функции ( получим ДУ:((((В этом уравнении без ограничения общности можно считатьа) если, то это уравнение Эйлера:(((Его ОР:(.{В силу ограниченности решения привольный множитель , получим:(, имеем. Тогда, опуская произ-{б) если, то сделаем замену √(√(√, тогда)и, аналогично,1(Теперь ДУ принимает вид:(Это уравнение называется уравнением Бесселя n-го порядка.

Любое его решениеназывается цилиндрической функцией n-го порядка. ОР можно записать в виде:((где ( — функция Бесселя n-го порядка, ( — функция Неймана n-го порядка.Все цилиндрические функции — квазипериодические.Приу всех цилиндрических функций амплитуда убывает пропорционально, а период стремится к .√При малых :(((имеем(Из условия ограниченности решения при.

Тогда, опуская произвольный множитель , получим:т.е.((√ )((Теперь подставим функцию (1) |Отсюда получим:(Поскольку для задачи Дирихле все СЗняться равенство(√ )в ГУ., то((√), и должно выпол-2(Функция Бесселя((см. рисунок):(имеет счѐтное число положительных нулей).

Им будут соответствовать СЗ(:√образом, функции ( , удовлетворяющие условию Дирихле (((√(((,(. Таким, имеют вид:)Тогда получаем систему СФ задачи Дирихле в круге:((((√((((√((()((√()()Они образуют ортогональную систему в круге:∫(∫(((Можно показать, что эта система полна. Поэтому других СФ у задачи Ш.–Л. нет. Всилу теоремы Стеклова любую достаточно гладкую функцию (можно разложить в ряд Фурье по СФ задачи Ш.–Л.

в круге:((∑ ∑где‖‖Вычислим ‖‖‖∫ (∫‖ :∫(∫Мы знаем, что ‖‖(√(Сделаем замену: √(‖‖∫(∫⏟(‖(‖. Вычислим ‖(∫⏟‖‖ :‖‖‖‖‖). Тогда√ (‖‖Если (формула:(∫(— произвольная цилиндрическая функция n-го порядка, то справедлива3(∫(*(( +)(Вывод формулы см. в БК или в конце семинара.) Используя эту формулу, получаем:‖‖((√[)(√Для условия Дирихле‖((√‖(()(√)((()], откуда()(Индекс 1 здесь означает ГУ первого рода.)Тогда‖‖Ответ:‖2)‖(‖‖(√‖() (— k-й положительный корень уравнения((√()((√()((√‖(√(((√),;)) (|Отсюда получим:(а).Тогда({ГУ (удовлетворяет только функция (при.((((Обозначим:— СЗ,— СФ. Очевидно,‖ ‖б).Тогда((√ )Подставив в ГУ (, получим:√ (√ )Это уравнение имеет счѐтное число положительных корней (они соответствуют(точкам локального экстремума функции ( , см. рисунок):,Тогда4((√()(√Из формулы (1) с учѐтом условия‖‖((Ответ:(;(√)((()получим:()— k-й положительный корень уравнения(√),(√),;(((√(((()(‖‖‖‖3) ((√((√(()(((√()()) ()|В этом случае все СЗ(√((где(, поэтому)— k-й положительный корень уравнения √(√)Из формулы (1) с учѐтом этого уравнения можно получить два различных выражения для квадрата нормы:‖‖Ответ:(()((√(()(— k-й положительный корень уравнения √)(√)(√((√) (),;((√(((()(√(((((√)()5‖‖((((√)((√)(() () (Пример 2 (в круговом секторе).