2-2 (А.Г. Ягола - Интегральные уравнения, вариационное исчисление)

2. Понятие вариации функционала.Мы будем изучать функционалы, действующие из линейного нормированногопространства E в пространство вещественных чисел R1. В качестве пространства E мыбудем рассматривать следующие пространства:1) C [a, b] – пространство непрерывных на [a, b] функций, в котором определена нормаy C[ a ,b ] = max y ( x) .x∈[ a ,b ](1)2) C [a, b] – пространство функций, непрерывных вместе со своими первымипроизводными на [a, b]. Норма в этом пространстве определяется какy C (1) [ a ,b ] = max y ( x) + max y ' ( x) .x∈[ a ,b ]x∈[ a ,b ]Можно ввести эквивалентную норму:y C (1) [ a ,b ] = max{ yC [ a ,b ], y ' C (1 ) [ a ,b ] }(сходимость по обеим введенным нормам одна и та же - равномерная сходимость наотрезке [a, b] как функций, так и их первых производных).

Мы будем пользоваться толькопервой нормой.3) C(p)[a, b] – пространство функций, непрерывных вместе со своими p-ми производнымивключительно на [a, b], нормированное с помощьюpyC ( p ) [ a ,b ]= ∑ max y ( k ) ( x) .k = 0 x∈[ a ,b ]Сходимость по норме этого пространства – равномерная сходимость на отрезке [a, b] спроизводными до p-го порядка включительно.Итак, функционал V [ y ] : E → R 1 , где в качестве E мы будем рассматривать тольковведенные выше функциональные пространства или их подмножества E ' ⊆ E , тогдаV : E ' → R1 .bПриведемпримерфункционала:V [ y ] = ∫ 1 + ( y ' ( x)) 2 dx-длинакривой,aописываемой функцией y(x). V : C (1) [a, b] → R 1Определение.

Функционал V [ y ] называется непрерывным в точке y 0 ∈ E , если∀ε > 0∃δ > 0такое,чтодля∀y ∈ E : y − y 0 ≤ δвыполняетсянеравенствоV [ y] − V [ y0 ] ≤ ε .Аналогично можно дать определение непрерывности функционала в точке y 0 ∈ E ' ,если функционал рассматривается только на множестве E ' . Функционал называетсянепрерывным на всём пространстве E (множестве E ' ), если он непрерывен в каждойточке E (E ' ) .Определение. Будем называть (замкнутым) шаром с центром в точке y0 и радиусомr > 0 множество точек:S r ( y 0 ) = { y ∈ E : y − y 0 ≤ r} .Напомним, что точка y0 является точкой локального минимума (максимума)функционала V[y}, если найдется r > 0 такое, что V[y}≥ V[y0} (V[y}≤ V[y0}) для любогоy ∈ S r ( y 0 ) .

В дальнейшем речь будет идти об отыскании только локальных минимумовили максимумов (локальных экстремумов), причем слово «локальный» мы будемопускать.Пусть y 0 ∈ E - произвольная фиксированная точка, h ∈ E - произвольный элементE. Рассмотрим функцию вещественной переменной t Φ(t ) ≡ V [ y 0 + th] , t – вещественноечисло.dОпределение. Если существует Φ' (t ) t = 0 = V [ y 0 + th]t = 0 для любого h ∈ E , то этаdtпроизводная называется вариацией функционала V в точке y0 и обозначается δV ( y 0 , h) .V [ y 0 + th] − V [ y 0 ] = tδV ( y 0 , h) + O( t ) .Для того, что был более понятен смысл введенного понятия, вспомнимматематический анализ и рассмотрим случай, когда V : R n → R 1 (функция многихdпеременных).

Тогда Φ' (t ) t = 0 = V [ y 0 + th]t = 0 называется производной функции V поdtнаправлению h.Теперь определим, что такое дифференцируемый функционал. Функционал V[y]называетсядифференцируемымвточкеy0,еслидлялюбогоh∈EV [ y 0 + h] − V [ y 0 ] = dV ( y 0 , h) + O( h ) , где dV ( y 0 , h) - линейный и непрерывный по hфункционал (который иногда называют сильной вариацией в отличие от δV ( y 0 , h) ,называемого в этом случае слабой вариацией).Заметим, что точно такое же определение дифференцируемости вводилось и вкурсе математического анализа для функций многих переменных V : R n → R 1 . При этомдоказывалось, что, если функция многих переменных дифференцируема в точке y0, то вэтой точке существуют производные по всем направлениям.

Обратное, вообще говоря,неверно. Точно такая же ситуация и в вариационном исчислении - если существуетсильная вариация, то существует вариация (слабая вариация). Обратное неверно.Мы будем использовать только данное выше определение вариацииdδV ( y 0 , h) = V [ y 0 + th]t = 0 .dtТеорема (необходимое условие экстремума). Пусть y 0 ∈ E - точка экстремумаV [ y ] и существует δV ( y 0 , h) для всякого h ∈ E . Тогда δV ( y 0 , h) = 0 .Доказательство. Пусть y 0 для определённости точка минимума функционалаV [ y ] , для максимума доказательство аналогично.

Тогда существует шар S r ( y 0 ) , r > 0 ,rтакой что V [ y ] ≥ V [ y 0 ] для любого y ∈ S r ( y 0 ) . Если t ≤, то y 0 + th ∈ S r ( y 0 ) иhV [ y 0 + th] ≥ V [ y 0 ] . Определим Φ(t ) = V [ y 0 + th] . Тогда для тех же t выполненонеравенство Φ(t ) ≥ Φ(0) . По условию теоремы Φ(t ) дифференцируема в точке t=0, а,следовательно, Φ' (t ) t = 0 = 0 . Т.е. δV ( y 0 , h) = 0 , что и требовалось доказать.При тех же предположениях Теорема справедлива и в случае, когда функционалрассматривается на множестве E ' ⊆ E ..