2-1 (А.Г. Ягола - Интегральные уравнения, вариационное исчисление)

Глава 2. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.1. Введение.В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумовили минимумов) функционалов. Сразу отметим, что такие задачи относятся к числуважнейших задач современной математики и исследуются во многих математическихкурсах таких, как, например, «Экстремальные задачи», «Оптимальное управление»,«Линейное программирование», «Выпуклое программирование» и некоторых других.Вариационное исчисление является классическим разделом математики, основывариационного исчисления заложены еще в 17-ом веке.Функционалы, которыеисследуются в вариационном исчислении, будут описаны ниже.Напомним, что функционал – это оператор, множеством значений которого состоитиз чисел.

Мы будем рассматривать только вещественные функционалы, множествамизначений которых являются вещественные числа. В дальнейшем вместо «вещественныйфункционал» мы будем говорить просто «функционал». Простейший пример - интегралb∫ y ( x)dx .aКаждой функции y(x), интегрируемой по Риману на отрезке [a, b], сопоставляется число –значение интеграла.Типичной задачей вариационного исчисления является задача Дьедонне: средивсех замкнутых плоских кривых заданной длины найти ту, которая ограничиваетнаибольшую площадь. Хорошо известно, что это окружность..