1-9 (А.Г. Ягола - Интегральные уравнения, вариационное исчисление)

§9. Уравнение Вольтерра второго рода.Рассмотрим уравнение Вольтерра второго рода в операторной форме y = λ A y + f ,где оператор A имеет вид:xAy = λ ∫ K ( x, s ) y ( s ) ds , x, s ∈ [a, b] .a.Ядро K ( x, s ) - непрерывно по совокупности переменных на своей треугольнойобласти определения ∆ = {x, s : a ≤ s ≤ x ≤ b} и не равно нулю тождественно.xДокажите: 1) Если y (s ) - непрерывная на [a,b] функция, то z ( x) = ∫ K ( x, s ) y ( s ) ds aнепрерывная на [a,b] функция, т.е. можно рассматривать оператор A как действующий впространствах C[a, b] → C[a, b] или h[a, b] → h[a, b] .2) Интегральный оператор Вольтерра является вполне непрерывным при действии:h[a, b] → C[a, b], h[a, b] → h[a, b] .Покажем, что интегральное уравнение Вольтерра 2 рода можно решать для любогоλ методом последовательных приближений:y n +1 = λ A y n + f , y 0 ∈ C[a, b] , f ( x) ∈ C[a, b] .Как и в предыдущем параграфе определим оператор D: C[a, b] → C[a, b]следующим образом: для любого y∈C[a,b] Dy≡λAy+f и покажем, что оператор D (вообщеговоря, не сжимающий) обладает тем свойством, что некоторая его степень - операторD k - сжимающий (натуральное число k зависит от λ , но не зависит от f (!!!)).Теорема.

Для любого λ существует натуральноe число k такое, что Dk сжимающий оператор.Доказательство. Возьмем две непрерывные функции y1 ( x) и y 2 ( x) . Определимz j = D y j , j = 1,2.z1 ( x) − z 2 ( x) = Dy1 − Dy 2 = λ Ay1 − Ay 2 . Обозначим M = max K ( x, s ) .

Имеет местоx , s∈∆неравенствоxAy1 − Ay 2 = ∫ K ( x, s ) ( y1 ( s ) − y 2 ( s ) )ds ≤ M ( x − a ) y1 − y 2C [ a ,b ].aОтсюдаAy1 − Ay 2C [ a ,b ]≤ M (b − a ) y1 − y 2C [ a ,b ]иDy1 − Dy 2C [ a ,b ]≤ λ M (b − a) y1 − y 2C [ a ,b ].Далееx| D 2 y1 − D 2 y 2 |≤ λ2 ∫ K ( x, s ) (Ay1 − Ay 2 )ds ≤ λM2( x − a ) 2 y1 − y 22!2aC [ a ,b ]иD y1 − D y 22M2≤λ(b − a) 2 y1 − y 22!…22C [ a ,b ]C [ a ,b ]≤λ2M2(b − a ) 2 y1 − y 22!CD n y1 − D n y 2C [ a ,b ]nn M≤λ(b − a) n y1 − y 2n!$!!#!!"C [ a ,b ].(q )nM(b − a ) n .

Для любого λ при n → ∞ qn → 0 . Следовательно,n!q n < 1 . В качестве k выберем минимальное натуральное n , при которомОпределим q n = λпри больших nnnMn(b − a ) n < 1 . Очевидно, что D k - сжимающий оператор. Теорема доказана.n!Теперь мы можем применить теорему о неподвижной точке, доказанную в концепараграфа 7 и получить следствия.Следствие 1. Для ∀ λ однородное уравнение имеет только тривиальное решение.Следствие 2. Оператор Вольтерра не имеет характеристических чисел (и собственныхзначений, если K ( x, s ) ≠ 0 тождественно).Таким образом, оператор Вольтерра является примером вполне непрерывногооператора, не имеющего ни одного собственного значения (оператор Вольтерра вполненепрерывный из h[a,b] в h[a,b], но не самосопряженный!!!).Следствие 3. Решение уравнения Вольтерра 2 рода можно найти методомпоследовательных приближений, который в данном случае называется методом Пикара.Метод последовательных приближений: для любого начального приближения y 0 :λnxy 0 ∈ C[a, b],y n+1 = λ ∫ K ( x, s ) y n ( s ) ds + f ( x), n = 0,1,2,...

, или y n +1 = λ A y n + f .aЕсли y 0 = 0 , то получаем ряд Неймана y = f + λ A f + λ 2 A 2 f + ... + λ n A n f + ... ..