1-7 (А.Г. Ягола - Интегральные уравнения, вариационное исчисление)
Описание файла
Файл "1-7" внутри архива находится в папке "А.Г. Ягола - Интегральные уравнения, вариационное исчисление". PDF-файл из архива "А.Г. Ягола - Интегральные уравнения, вариационное исчисление", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
§7. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке.Пусть D – оператор, вообще говоря, нелинейный, действующий из банаховапространства B в себя.Оператор D называется сжимающим (или сжимающимОпределение.отображением),еслисуществуетконстантаq:0≤q<1,такая,чтоDy1 − Dy 2 ≤ q y1 − y 2 .∀ y1 , y 2 ∈ BОчевидно, что сжимающий оператор является непрерывным.Определение. Элемент y называется неподвижной точкой оператора D, еслиDy = y .Ниже мы докажем, что у сжимающего оператора, действующего в банаховомпространстве, есть и при том единственная, неподвижная точка. Напомним, что банаховопространство – это полное нормированное пространство, и при доказательстве мы будемиспользовать полноту пространства B.Сначала докажем одно вспомогательноеутверждение.
Будем называть рядом следующую бесконечную сумму:∞z1 + z 2 + ... + z n + ... = ∑ z nz n ∈ B, n = 1,2,... ,n =1Nа его частичной суммой: S N = ∑ z n .Как обычно, определим сходимость ряда какn =1сходимость последовательности частичных сумм: если S N → S , S N , z n ∈ B , то говорят,N →∞что ряд сходится, а S называется его суммой.Поскольку пространство B полное, то необходимым и достаточным условиемсходимости ряда является критерий Коши: ∀ ε > 0 ∃N∀n ≥ N ∀pn+ p∑zk≤ε .k = n +1znТеоремаВейерштрассасходимостиряда).(признакПусть≤ a n , a n ≥ 0, n = 1,2,...
( a n - последовательность неотрицательных чисел). Тогда из∞∞n =1n =1сходимости числового ряда ∑ a n следует сходимость ряда ∑ z n .Доказательство.Из неравенства треугольника и условия теоремы следуетn+ pn+ pn+ pk = n +1k = n +1k = n +1∑ z k ≤ ∑ z k ≤ ∑ ak .Запишем критерий Коши как необходимое условие сходимости числового ряда изak: для ∀ ε > 0 ∃N∀n ≥ N ∀pn+ p∑ak≤ ε .
Из этого неравенства и неравенства,k = n +1полученного в начале доказательства теоремы, следует, что, начиная с этого номера,n+ p∑zk≤ ε , т.е. выполняется критерий Коши как достаточное условие сходимости ряда вk = n +1банаховом пространстве B.Теорема (о неподвижной точке).
Пусть D – сжимающий оператор. Тогдасуществует, и притом единственная, точка y ∈ B такая, что Dy = y . Эта точка может бытьнайденаметодомпоследовательныхприближений(простойитерации):y n+1 = Dy n , n = 0,1,2,... , y0 ∈ B - произвольная фиксированная точка из B (начальноеприближение), причем y n → y : Dy = y .Доказательство.1) Единственность. Пусть существуют две неподвижные точкиy1 иy2 :Dy1 = y1 , Dy 2 = y 2 , y1 ≠ y 2 . Тогда 0 < y1 − y 2 = Dy1 − Dy 2 ≤ q y1 − y 2 < y1 − y 2 , и мыприходим к противоречию.
Единственность доказана.2) Существование. Построим последовательность методом последовательныхприближений (методом простой итерации): зададим произвольное начальноеприближение y0 ∈ B и построим последовательность y n+1 = Dy n , n = 0,1,2,... . Докажемсходимость последовательности y n+1 . Вместо изучения сходимости последовательностимы будем изучать сходимость ряда y n +1 = ( y n +1 − y n ) + ( y n − y n −1 ) + ... + ( y1 − y 0 ) + y 0 .$!#!"общийчлен рядаТогда: y n+1 − y n = Dy n − Dy n−1 ≤ q y n − y n −1 ≤ ...
≤ q n y1 − y0 , 0 ≤ q < 1 . Отсюда общий$!#!"=constчлен ряда мажорируется членом бесконечно убывающей геометрической прогрессии , а,тем самым, y n сходится по признаку Вейерштрасса: y n → y, y ∈ B .Покажем, что Dy = y , т.е. y – неподвижная точка. Пусть это не так: Dy = ~y, ~y ≠ y.~~Тогда 0 < y − y ≤ y − y + y − y = Dy − Dy + y − y ≤ q y − y + y − y → 0 , изn +1n +1n +1nnn +1n→∞чего следует, что y − ~y = 0 или y = ~y . Теорема доказана.Теорема. Пусть D - оператор, отображающий банахово пространство B в себя, исуществует натуральное число k такое, что D k - сжимающий оператор. Тогда существуетединственная неподвижная точка оператора D (такая, что Dy = y ), причем y может бытьнайденометодомпоследовательныхприближений:длялюбогоy0 ∈ By n +1 = D y n , n = 0,1,... , y n → y .Доказательство. 1) Возьмем любой элемент y 0 и получим последовательность:y0y1 … y k −1yky k +1 …y 2 k −1y 2k , …↑↑↑↑↑D y0D k −1 y 0 D k y 0 D k +1 y 0 … D 2 k −1 y 0Рассмотрим подпоследовательности:y 0 , y k , y 2 k ,...
→ y (т.к. D k - сжимающий).↑D 2k y 0y1 , y k +1 , y 2 k +1 ,... → y ( y то же, т.к. D k -сжимающий, и его неподвижнаяточка не зависит от выбора начального приближения в методе последовательныхприближений).………y k −1 , y 2 k −1 , y3k −1 ,... → y .Вернемсякисходнойпоследовательности:онасостоитизkподпоследовательностей, каждая из которых сходится к y . Отсюда легко следует(докажите!!!), что и вся последовательность сходится к y .
Очевидно, что элемент yявляется неподвижной точкой оператора D k .2) Докажем, что неподвижные точки операторов D и D k совпадают. Пустьy = Dy . Подействуем слева и справа оператором D (k − 1) раз: y = D k y , т.е.неподвижная точка оператора D является неподвижной точкой оператора D k : y = D k y .В силу того, что D k - сжимающий оператор, а, следовательно, имеет только однунеподвижную точку, оператор D неподвижная точка оператора D единственна (если онасуществует).ДокажемобратноеDy = D( D ) y = D ( D y ) → y ,k nnkn →∞утверждение:посколькупустьметодy = Dk y .простойТогдаитерациирассмотрим:сходитсякнеподвижной точек независимо от начального приближения. В результате y = D y .Теорема доказана..