1-10 (А.Г. Ягола - Интегральные уравнения, вариационное исчисление), страница 2

Будем считать, что λ фиксировано и перепишемуравнение в виде: (I − λ S ε )y = λTε y + f .1Если по заданному λ выберем ε > 0 так, чтобы λ <, то λ будем “малым”ε (b − a )для оператора S ε , и оператор (I − λ S ε ) будет обратимым: (I − λ S ε ) = I + λ Rε , где Rε интегральный оператор с ядром Rε ( x, s, λ ) .

Введем новую функцию: (I − λ S ε )y = Y .−1В силу обратимости оператора (I − λ S ε ) существует взаимно-однозначное соответствие:y ⇔ Y . Покажем, что уравнение для Y является уравнением с вырожденным ядром:Y = λ Tε ( I + λ Rε ) Y + f .ОтсюдаY = λ (Tε + λTε Rε ) Y + f .Ядро интегрального оператораTε + λ Tε Rε вырождено потому, что ядро оператора Tε вырождено, иb N (ε )N (ε )a k =1k =1∫∑ a k ( x) bk (ξ ) Rε (ξ , s, λ ) dξ =b~~λλ=a(x)b(s,)b(s,),где∑ k kk∫ bk (ξ ) Rε (ξ , s, λ ) dξ .aТем самым мы показали, что любому интегральному уравнению с невырожденнымядром эквивалентно интегральное уравнение с вырожденным ядром.На основании этого можно (но мы не будем это делать) получить результаты,аналогичные полученным выше для уравнений с вырожденными ядрами.Сформулируем теперь 4 теоремы Фредгольма.Теорема 1.

Однородное уравнение(1)bϕ ( x) − λ ∫ K ( x, s) ϕ ( s) ds = 0aи союзное с ним однородное уравнение(2)bψ ( x) − λ ∫ K * ( x, s)ψ ( s) ds = 0a(K (x, s)=K(s, x)) при любом фиксированном λ имеют либо только тривиальные решения,либо одинаковое конечное число линейно независимых решений: ϕ 1 ,..., ϕ n ; ψ 1 ,...,ψ n .Теорема была доказана для интегральных уравнений с вырожденными ядрами.Теорема тривиальна для уравнений с симметрическими ядрами.

В общем случае онадоказывается путем сведения интегрального уравнения с невырожденным ядром кинтегральному уравнению с вырожденным ядром.Теорема 2.. Для разрешимости неоднородного уравнения*(3)bϕ ( x) − λ ∫ K ( x, s ) ϕ ( s) ds = f ( x)aнеобходимо и достаточно, чтобы f (x ) была ортогональна всем линейно независимымрешениям однородного союзного уравнения (2)( f ( x) ⊥ ψ 1 ,ψ 2 ,..., ψ n , если λ характеристическое число).Теорема была доказана для случаев симметрического и вырожденного ядер. Вобщем случае она доказывается путем сведения интегрального уравнения сневырожденным ядром к интегральному уравнению с вырожденным ядром.Теорема 3.

(Альтернатива Фредгольма).Либо неоднородное уравнение (3) разрешимо для любой неоднородности f (x )либо однородное уравнение (1) имеет нетривиальное решение.Теорема была доказана для случаев симметрического и вырожденного ядер. Вобщем случае она доказывается путем сведения интегрального уравнения сневырожденным ядром к интегральному уравнению с вырожденным ядром.Теорема 4. Множество характеристических чисел однородного уравнения (1)не более, чем счетно, с единственной возможной предельной точкой ∞ .Этот результат справедлив для любого вполне непрерывного оператора. Намион был получен для вполне непрерывных самосопряженных операторов, и, тем самым,доказан для случая симметрических ядер.

Для интегральных операторов с вырожденнымиядрами результат тривиален.Замечание. Все эти теоремы мы доказали для случая, когдаK ( x, s ) непрерывная функция по совокупности переменных на [ a, b ] × [ a , b ] ; f (x ) , y (x ) непрерывные на [ a , b] функции; K ( x, s ) , f (x ) , y (x ) - вещественные функции..