1-1 (А.Г. Ягола - Интегральные уравнения, вариационное исчисление)

Профессор А.Г.ЯголаИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ(общий курс)Данный курс читается на физическом факультете МГУ им.М.В.Ломоносова в 4-ом семестре и сопровождается семинарскими занятиями.По окончании курса студенты сдают экзамен.Студенты физического факультета МГУ Н.Богданкевич, Н.Грачев,Е.Скрипка, А.Цуканов, С.Ягола оказали мне большую помощь при подготовкелекций для размещения в ИНТЕРНЕТ. Пользуюсь случаем, чтобы выразить иммою самую искреннюю признательность.ЛитератураОсновная:1. Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. – М.:Физматлит, 2002.2.

Эльсгольц Л.Э. Вариационное исчисление. – М.: УРСС, 2000.3. Владимиров В.С., Вашарин А.А. Сборник задач по уравнениямматематической физике. – М.: Физматлит, 2001.Дополнительная:1. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. – М.:Физматлит, 2001.Глава 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.1.

Введение.Уравнение называется интегральным, если неизвестная функция входитв уравнение под знаком интеграла. Разумеется, мы не будем рассматриватьинтегральные уравнения в такой общей постановке, а ограничимся изучениемтолько одномерных линейных интегральных уравнений следующего вида:1) Уравнение Фредгольма 2-го рода:by ( x) = λ ∫ K ( x, s ) y ( s )ds + f ( x), x, s ∈ [a, b],aгде K(x,s) – заданная непрерывная по совокупности аргументов функция,называемая ядром интегрального уравнения; f(x) – заданная непрерывнаяфункция, называемая неоднородностью уравнения (если f ≡ 0 , то уравнениеназывается однородным); λ – вещественный параметр; y(x) – неизвестнаяфункция, которую мы будем считать непрерывной.Мы кратко также рассмотрим обобщение на многомерный случай(важное для курса методов математической физики, который будет читаться вследующем семестре).12) Уравнение Фредгольма 1-го рода:b∫ K ( x, s) y (s )ds =f ( x), x, s ∈ [a, b],aгде, как и выше, K(x,s) – ядро интегрального уравнения, заданная непрерывнаяпо совокупности аргументов функция; f(x) – заданная непрерывная функция,называемая неоднородностью уравнения (если f ≡ 0 , то уравнение называетсяоднородным); y(x) – неизвестная непрерывная функция.3) Уравнение Вольтерра 2-го рода:xy ( x) = λ ∫ K ( x, s ) y ( s )ds + f ( x), x, s ∈ [a, b],aобозначения те же, что и для уравнения Фредгольма 2-го рода.

K(x,s) – функция,непрерывная по совокупности аргументов в треугольной области∆ = ( x, s : a ≤ s ≤ x ≤ b) . Понятно, что, если доопределить нулем K(x,s) в области([a,b]x[a,b])\Δ (вне треугольной области), то можно рассматривать уравнениеВольтерра 2-го рода как частный случай уравнения Фредгольма 2-го рода(возможно с ядром, терпящим разрыв в точках отрезка прямой x=s, x и s наотрезке [a,b]). Тем не менее, уравнение Вольтерра обладает рядом интересныхсвойств, благодаря которым мы будем его изучать специально.4) Уравнение Вольтерра 1-го рода:x∫ K ( x, s) y (s )ds =f ( x), x, s ∈ [a, b],aобозначения те же, что и выше.Примеры интегральных уравнений, возникающих при исследованиидифференциальных уравнений, будет приведены позже после введения понятийфункции Коши и функции Грина в параллельно читаемом курсе обыкновенныхдифференциальных уравнений. Очень большое количество интегральныхуравнений 1-го рода появляется при рассмотрении так называемых обратныхзадач, возникающих в физике в тех случаях, когда непосредственное измерениефизических характеристик невозможно или, по крайней мере, затруднительно.Например, все суждения об удаленных астрофизических объектах делаются наосновании измерений на поверхности Земли или на искусственных спутниках.При определении геофизических исследований проще и дешевле проводитьизмерения на земной поверхности, чем проводить непосредственные измеренияглубоко залегающих объектов.

Прекрасный пример – компьютернаятомография, позволяющая производить «неразрушающий контроль» состояниямозга человека.Некоторые примеры интегральных уравнений встречались вматематических курсах и ранее. Например, интегральное уравнениеf ( x) = 1 / 2π+∞∫ exp(ixs) y( s)ds, x ∈ (−∞, + ∞),−∞не являющееся интегральным уравнением Фредгольма, решается с помощьюинтегрального преобразования Фурье:y ( s ) = 1 / 2π+∞∫ exp(−ixs) f ( x)dx, s ∈ (−∞, + ∞).−∞Рассмотрим простейший пример уравнения Вольтерра 1-го рода:2x∫ y( s)ds =f ( x), x, s ∈ [a, b].aЗдесь K ( x, s ) ≡ 1. Будем предполагать, что решение y(s) – непрерывная на[a,b] функция. При исследовании интегральных уравнений нас будутинтересовать три следующих основных вопроса. Во-первых, существованиерешения.

Казалось бы, что решение существует в случае, если f(x) – непрерывнодифференцируемаяфункция:тогдаНонепрерывнойy ( x) = f ′( x).дифференцируемости недостаточно! На самом деле, интеграл в левой частиуравнения обращается в нуль при x=a. Поэтому для разрешимости нужнопотребовать дополнительно выполнение условия f(a)=0.Во-вторых, нас будет интересовать единственность решения. Очевидно,что при сформулированных выше условиях решение не только существует, но иединственно.В-третьих, нас будет интересовать устойчивость решения, т.е. будут лиизменения решения «малыми» при «малых» изменениях неоднородности f(x).Для того, чтобы говорить о «малости» изменений неоднородности, о близостифункций, нам сначала нужно познакомиться с некоторыми понятиями теориилинейных нормированных пространств.3.