Н.Н. Нефедов, В.Ю. Попов, В.Т. Волков - Дифференциальные уравнения. Курс лекций, страница 9

f ( a ) ≥ f ( b ) и, следовательно,( y ( a ) , e ) − z ( a ) ≥ ( y ( b ) , e ) − z ( b ) или ( y ( b ) − y ( a ) , e ) ≤ z ( b ) − z ( a ) .y ( b ) − y ( a ) = ( y ( b ) − y ( a ) , e ) ≤ z ( b ) − z ( a ) , что и требовалось доказать.ПоэтомуСледствие. Если вектор–функция x ( t ) ∈ C [ a, b ] , то при t ∈ [ a, b ] существует вектор–tфункцияttaa∫ x (τ ) dτ , для модуля которой имеет место оценка ∫ x (τ ) dτ ≤ ∫ x (τ ) dτ .atДоказательство.t•Пусть y ( t ) = ∫ x (τ ) dτ , тогда y ( t ) = x ( t ) , y ( a ) = 0 .

Пусть z ( t ) = ∫ x (τ ) dτ ,aa•тогда z ( t ) = x ( t ) , z ( a ) = 0 . Из Леммы 2 вытекает, чтоttaa∫ x (τ ) dτ = y ( t ) − y ( a ) ≤ z ( t ) − z ( a ) = z ( t ) = ∫ x (τ ) dτ .20 .Доказательство существования решения методом Пикара (последовательныхприближений).Теорема 1.Пусть выполнены условия (У1) и (У2). Тогда для всех( t0 , x0 ) ∈ Gсуществуетединственное решение задачи (1-2), определенное на некотором отрезке t − t0 ≤ H .Доказательство. На основании Леммы 1 решение задачи Коши для системы (1) эквивалентнорешению интегрального уравнения (3), решение которого будем строить методомпоследовательных приближений Пикара.

Последовательные приближения (итерации) xn ( t ) (t − t0 ≤ H , H > 0 - будет определено позже), определим рекуррентно по формулеtxn ( t ) = x0 + ∫ f (τ , xn−1 (τ ) ) dτ ,n = 0,1, 2,... ,(4)t0где в качестве нулевого приближения возьмем начальное значение x0 ( t ) ≡ x0 .Замечание. Для того чтобы функциональная последовательность { xn ( t )} была определена длявсех n = 0,1, 2,... необходимо, чтобы каждая кривая x = xn ( t ) при t − t0 ≤ H целиком лежала вG, иначе, интеграл в правой части (4) не будет определен.Покажем,какэтогоможнодобиться.ВыберемзамкнутыйцилиндрQ = [t0 − h, t0 + h] × x − x0 ≤ r : Q ⊂ G (это всегда возможно, поскольку G открытое множество).Поскольку f ( t , x ) ∈ C (G ) , то f ( t , x ) ≤ M – равномерно ограничена в цилиндре Q.

Выберем⎛ r ⎞H = min ⎜ h, ⎟ и рассмотрим цилиндр Q1 = [t0 − H , t0 + H ] × x − x0 ≤ r : Q1 ⊂ Q (убедитесь в⎝ M⎠этом самостоятельно). Очевидно, что кривая x = x0 ( t − t0 ≤ H ) лежит в Q1. Пусть кривая( t −tx = xn ( t )0≤ H ) лежит в Q1, т.е. xn ( t ) − x0 ≤ r при t − t0 ≤ H . Покажем, что тогда икривая x = xn +1 ( t )( t −txn +1 ( t ) − x0 ≤≤ H ) не выходит из Q1. Действительно0ttt∫ f (τ , x (τ ) ) dτ ≤ ∫ f (τ , x (τ ) ) dτn≤Mnt0t0∫ dτ= M t − t0 ≤ MH ≤t0Mr=r,Mxn ( t ) ∈ C [t0 − H , t0 + H ](завершите доказательствосамостоятельно). Итак, построена функциональная последовательность непрерывных приt − t0 ≤ H функций, причем { xn ( t )} ⊂ Q1 .следовательно каждая из функцийЛемма 3.

Последовательность функций { xn ( t )} сходится равномерно на отрезкеt − t0 ≤ H .Доказательство. Рассмотрим функциональный рядS ( t ) = x0 ( t ) + ( x1 ( t ) − x0 ( t ) ) + ( x2 ( t ) − x1 ( t ) ) + … + ( xn ( t ) − xn −1 ( t ) ) + … ,т.е. Sn ( t ) = xn ( t ) . Для членов этого ряда из (4) и (У1) легко получаются оценки:txn +1 ( t ) − xn ( t ) ≤∫f (τ , xn (τ ) ) − f (τ , xn −1 ) dτ ≤ Lt0t∫ x (τ ) − xn −1ndτ ,n = 0,1, 2,...

.t0В частности, при n = 0x1 ( t ) − x0 ( t ) ≤t∫ f (τ , x ) dτ≤ M t − t0 ≤ MH ;0t0при n = 1x2 ( t ) − x1 ( t ) ≤tt∫ f (τ , x (τ ) ) − f (τ , x ) dτ1≤L0t0∫ x (τ ) − x1t00tdτ ≤ ML ∫ τ − t0 dτ =t02= MLпри n = 2x3 ( t ) − x2 ( t ) ≤t − t0H2≤ ML;22!t∫ f (τ , x (τ ) ) − f (τ , x (τ ) ) dτ21t≤Lt0∫t0tL22x2 (τ ) − x1 (τ ) dτ ≤ Mτ − t0 dτ =∫2! t03Далее, пусть для n = k верноL2 t − t0H3=M≤ ML2.2! 33!xk +1 ( t ) − xk ( t ) ≤ MLk −1Тогда при n = k + 1 получимxk + 2 ( t ) − xk +1 ( t ) ≤t∫f (τ , xk +1 (τ ) ) − f (τ , xk (τ ) ) dτ ≤ Lt0kkt − t0k −1 H≤ ML.k!k!t∫xk +1 (τ ) − xk (τ ) dτ ≤ Mt0tLkkτ − t0 dτ =∫k ! t0k +1k +1Lk t − t0k H.=M≤ MLk ! k +1( k + 1)!Таким образом, методом математической индукции доказано, что при t − t0 ≤ H для всехn = 0,1, 2,...

верноnt − t0Hnxn ( t ) − xn −1 ( t ) ≤ ML≤ MLn −1n!n!n∞HM= ( e LH − 1) сходится. Следовательно, поЗаметим, что числовой ряд ∑ MLn −1n!Ln =1n −1признаку Вейерштрасса функциональный ряд S ( t ) сходится абсолютно и равномерно намножестве t − t0 ≤ H , а значит функциональная последовательность{ x ( t )}nтакже сходитсяравномерно на множестве t − t0 ≤ H .Лемма 4.

Функциональная последовательностьинтегрального уравнения (3).Доказательство. Поскольку все{ x ( t )}{ x ( t )}nсходится к непрерывному решениюнепрерывные вектор–функции, а функциональнаяnпоследовательность { xn ( t )} ⇒ x ( t ) , то x ( t ) ∈ C ( t − t0 ≤ H ) .n →∞Переходя к пределу при n → ∞ в неравенствахxn ( t ) − x0 ≤ r n=1,2,…. , получим, чтоx ( t ) − x0 ≤ r при t − t0 ≤ H , т.е. кривая { x = x ( t )} ⊂ Q1 и интегралt∫ f (τ , x (τ ) ) dτсуществуетt0при t − t0 ≤ H .f ( t , x ) ∈ C ( G ) , то она равномерна непрерывна в цилиндре Ц1, т.е.Поскольку функция∀ ε > 0 ∃δ > 0 , такое что f ( t , x ) − f ( t , y ) < ε для ∀ ( t , x ) , ( t , y ) ∈ Q1 таких, что x − y < δ .{x ( t )} ⇒ x ( t ) на отрезке t − t ≤ H , то для такоговсех t ∈ { t − t ≤ H } выполнено x ( t ) − x ( t ) ≤ δ .Посколькуn0n →∞0nСледовательно,приn>Nt − t0 ≤ Hи{ f ( t, x ( t ) )} ⇒ f ( t, x ( t ) ) на отрезкеnδ > 0 ∃ N > 0 : n > N и приn →∞справедливоf ( t , x ( t ) ) − f ( t , xn ( t ) ) < ε ,т.е.t − t0 ≤ H .Кроме того, равномерная сходимость функциональной последовательности из непрерывныхфункций { xn ( t )} является достаточным условием для перехода к пределу под знаком интегралав выражении (4):tttt0t0x ( t ) = lim xn ( t ) = x0 + lim ∫ f (τ , xn −1 (τ ) ) dτ = x0 + ∫ lim f (τ , xn −1 (τ ) ) dτ = x0 + ∫ f (τ , x (τ ) ) dτ .n →∞n →∞n →∞t0tТ.е.

x ( t ) = x0 + ∫ f (τ , x (τ ) ) dτ – предел последовательных приближений { xn ( t )} удовлетворяетt0интегральному уравнению (3), эквивалентному задаче Коши (1), (2). Существование решениядоказано.30.Доказательство единственности решения.Лемма 5 (Гронуолла).Пусть вектор–функция x ( t ) ∈ C [ a, b ] для ∀ t , t0 ∈ [ a, b]удовлетворяет неравенствуx (t ) ≤ A + Bt∫ x (τ ) dτt0где постоянные A, B ≥ 0 .Тогдаx ( t ) ≤ AeB t − t0.,(5)Для определенности рассмотрим t > t0 .

Пусть M = max x ( t ) . Тогда из (5)Доказательство.t∈[ a ,b ]следует оценкаtx ( t ) ≤ A + B ∫ Mdτ = A + BM ( t − t0 ) .t0Подставляя в эту оценку в правую часть неравенства (5), получимtx ( t ) ≤ A + B ∫ ⎡⎣ A + BM ( t − t0 ) ⎤⎦ dτ = A + AB ( t − t0 ) + B2( t − t0 )M22t0Полученную оценку опять подставим в правую часть (5):2t ⎡t − t0 ) ⎤(2x ( t ) ≤ A + B ∫ ⎢ A + AB ( t − t0 ) + B M⎥ dτ =2⎥⎦t0 ⎢⎣= A + AB ( t − t0 ) + AB2( t − t0 )2!2( t − t0 )+B M333!.Повторим эту подстановку n раз:nn +1⎛⎞t − t0 )(n ( t − t0 )n +1.x ( t ) ≤ A ⎜ 1 + B ( t − t0 ) + … + B⎟+ B M⎜⎟+n!n1!()⎝⎠Переходя к пределу при n → ∞ получим x ( t ) ≤ Ae B t −t0 .Следствие. Пусть вектор–функция x ( t ) ∈ C [ a, b ] для ∀ t , t0 ∈ [ a, b] удовлетворяет неравенствуx (t ) ≤ Bt∫ x (τ ) dτ, где постоянная B ≥ 0 .

Тогда x ( t ) ≡ 0 .t0Пусть выполнены условия (У1) и (У2).Лемма 6.Тогда, если x ( t ) и y ( t ) два решения задачи Коши (1), (2), определенные на некоторыхинтервалах, и совпадающие в некоторой точке t1 : x ( t1 ) = y ( t1 ) = x1 , то x ( t ) = y ( t ) в некоторойокрестности t − t1 ≤ h этой точки.Доказательство.Поскольку x ( t ) и y ( t ) – решения системы (1), тоtx ( t ) = x1 + ∫ f (τ , x (τ ) ) dτ ,t1ty ( t ) = x1 + ∫ f (τ , y (τ ) ) dτ .t1Тогда их разность u ( t ) = x (t ) − y (t ) удовлетворяет интегральному уравнениюtu ( t ) = x (t ) − y (t ) = ∫ ⎡⎣ f (τ , x (τ ) ) − f (τ , y (τ ) ) ⎤⎦ dτ .(6)t1Пусть цилиндрмножество).Q1 = { t − t1 ≤ h1 × x − x1 ≤ r} ⊂ G (это всегда возможно, поскольку G открытоеПоскольку x ( t ) и y ( t ) непрерывные функции, то ∃ h2 > 0 , такое, что приt − t1 ≤ h2 имеет местоx ( t ) − x1 ≤ r , y ( t ) − x1 ≤ r(7)Выберем h = min ( h1 , h2 ) .

Тогда цилиндр Q = { t − t1 ≤ h × x − x1 ≤ r} ⊂ G и при t − t1 ≤ hвыполнены неравенства (7). В силу следствия из Леммы 4 из (6) следует, чтоtu ( t ) = x (t ) − y (t ) ≤ ∫ f (τ , x (τ ) ) − f (τ , y (τ ) ) dτ .(8)t1Из неравенств (7) следует, что точки (τ , x (τ ) ) , (τ , y (τ ) ) , принадлежат цилиндру Q ,который является замкнутым, ограниченным множеством. Поэтому можно воспользоватьсяусловием Липшицаtttt1t1t1u ( t ) = x (t ) − y (t ) ≤ ∫ f (τ , x (τ ) ) − f (τ , y (τ ) ) dτ ≤ L ∫ x (τ ) − y (τ ) dτ = L ∫ u (τ ) dτи на основании следствия из леммы 5 получить, что u ( t ) = 0 , т.е.

x ( t ) = y ( t ) при t − t1 ≤ h .Пусть выполнены условия (У1) и (У2). Тогда, если x ( t ) и y ( t ) два решенияЛемма 7.задачи Коши (1), (2), определенные на интервале t ∈ ( a, b ) и x ( t0 ) = y ( t0 ) при t0 ∈ ( a, b ) , тоx ( t ) = y ( t ) при ∀t ∈ ( a, b ) .Доказательство.Предположимобратное,т.е.пустьt1 ∈ ( a, b )существует(дляопределенности будем считать, что t1 > t0 ), такое, что x ( t1 ) ≠ y ( t1 ) .M = {t : t ∈ ( a, b ) ∧ t < t1 ∧ x ( t ) = y ( t )} и докажем, что оноРассмотрим множествозамкнуто.