Н.Н. Нефедов, В.Ю. Попов, В.Т. Волков - Дифференциальные уравнения. Курс лекций, страница 10

Действительно, пусть {tk } ⊂ M , {tk } → t ' – предельная точка множества M , тогдаk →∞x ( t k ) = y ( tk )ивсилунепрерывностиx ( t ') = lim x ( tk ) = lim y ( tk ) = y ( t ') .k →∞Так какk →∞x (t )функцийиy (t )имеетместоtk < t1 , то t ' < t1 (равенство t ' = t1 невозможно,поскольку x ( t1 ) ≠ y ( t1 ) ). Следовательно, t ' ∈ M , а значит, M – замкнутое множество.По определению M ограничено сверху. Пусть t * = sup M . В силу замкнутости M ,t * ∈ M , x ( t * ) = y ( t * ) .

По Лемме 6. ∃ δ > 0 : t − t * < δ и x ( t ) = y ( t ) , т.е. существует t 2 > t * ,такая, что x ( t2 ) = y ( t2 ) , что невозможно, поскольку t * = sup M . Единственность доказана.Теорема существования и единственности решения задачи Коши в случае, когда40 .правая часть непрерывна и удовлетворяет условию Липшица в полосе.Теорема 2.полосеЕсли вектор–функция f ( t , x ) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица вΠ = { t − t0 ≤ H } × ℜ m , тогда для ∀ ( t0 , x0 ) ∈ Π ∃! x ( t ) – решение задачи (1), (2) наотрезке t − t0 ≤ H .Доказательство теоремы 2 лишь незначительно отличается от доказательства теоремы 1. Аименно, при доказательстве леммы 2 в силу непрерывности x1 ( t ) и x0 ( t ) на отрезке t − t0 ≤ Hимеем оценку x1 ( t ) − x0 ( t ) ≤ N .При n=1:x2 ( t ) − x1 ( t ) ≤t∫f (τ , x1 (τ ) ) − f (τ , x0 ) dτ ≤ Lt0t∫ x (τ ) − x10dτ ≤ NL t − t0 .t0Далее:x3 ( t ) − x2 ( t ) ≤t∫ f (τ , x (τ ) ) − f (τ , x (τ ) ) dτ2t01t≤L∫t02L2 t − t0L2 H 2.x2 (τ ) − x1 (τ ) dτ ≤ N≤N2!2!Методом математической индукции, как и в Лемме 2 докажите, что при t − t0 ≤ Hвыполнены оценки:xn ( t ) − xn −1 ( t ) ≤ LNt − t0( NH ) ,≤L( n − 1)!( n − 1)!n −1n −1n −1n=1,2,….,из которых вытекает равномерная сходимость функциональной последовательности { xn ( t )} наотрезке t − t0 ≤ H .

Завершите доказательство самостоятельно.Аналогично Теореме 3 из §4 по изложенной выше схеме можно получить следующийрезультат, который потребуется нам при рассмотрении нелинейных краевых задачТеорема 3.Пусть функцииЛипшица в полосеfi ( t, y, μ1 , μ2 ,..., μn ){t0 ≤ t ≤ t0 + a,yi ∈ R}принепрерывны и удовлетворяют условиюμi − μi0 ≤ Ci .Тогда решение задачи (1)существует, единственно и непрерывно зависит от параметров μ1 , μ2 , ... , μn при t0 ≤ t ≤ t0 + a ,μi − μi0 ≤ Ci .§6.Уравнения n –го порядка, разрешенные относительно старшейпроизводной.Задача Коши в этом случае выглядит такy ( n ) = fi ( x, y, y′, y′′,..., y ( n −1) )y ( x0 ) = y10y′( x0 ) = y20............(1)y ( n −1) ( x0 ) = yn0−1Путем замены y = y1 , y ′ = y2 ,..., y ( n −1) = yn данная задача сводится к задаче Кошидля нормальной системы ОДУ⎧ y1′ = y2⎪ y′ = y3⎪⎪ 2yi ( x0 ) = yi0 , i = 1, 2,..., n .⎨ ......⎪ y′ = yn⎪ n−1⎪⎩ yn′ = f ( x, y1 , y2 ,..., yn )fi = yi +1 ,i = 1, 2,..., n − 1Очевидно, что функции в правых частях уравненийнепрерывны и удовлетворяют условию Липшица, то для применения к системе теоремысуществования и единственности достаточно потребовать, чтобы функция f ( x, y1 , y2 ,..., yn ) впоследнемуравненииD = 0 ≤ x ≤ a, yi − yi0 ≤ bi ,{}переменным yi , т.е.Теорема 1.такжебылаi = 1, 2,..., nинепрерывнаудовлетворялавпараллелепипедеусловию Липшица поnf ( x, y1 , y2 ,..., yn ) − f ( x, y1 , y2 ,..., yn ) ≤ N ⋅ ∑ | yi − yi | .Пусть функцияf ( x, y1 , y2 ,..., yn ){i =1непрерывна и удовлетворяет условию}Липшица в параллелепипеде D = 0 ≤ x ≤ a, yi − yi0 ≤ bi ,i = 1, 2,..., n .[ x0 , x0 + H ] , гдеТогда задача (1) имеет единственное решение на отрезкеb ⎞⎛H = min ⎜ a, min i ⎟ , M = max f ( x, y1 , y2 ,..., yn ) .1≤ i ≤ n MD⎝⎠§7.Замечания, примеры, упражнения.Замечание 1.

Можно доказать разрешимость задачи Коши лишь при выполнении (У1), т.е.f ( t , x ) ∈ C (G ) (теорема Пеано). Однако, в этом случае решение не обязательно единственно.Замечание 2. В формулировке теоремы условие (У2) можно заменить более сильным условиемдифференцируемости правой части f ( t , x ) по x и ограниченности частных производных∂f i ( x, y )в любой замкнутой ограниченной подобласти g ⊂ G . В частности, эти условия будут∂x j∂f i ( x, y )выполнены, если∈ C ( G ) . При доказательстве теоремы единственности мы∂x jпользовались лишь тем, что правая часть f ( t , x ) удовлетворяет условию Липшица по x влюбом замкнутом, ограниченном цилиндре, а не в любой замкнутой ограниченной подобластиg ⊂ G . Самостоятельно докажите, что из ограниченности частных производных следуетвыполнение условий Липшица в любом замкнутом, ограниченном цилиндре Q ⊂ G .Подсказка: используйте выпуклость цилиндра и примените формулу конечных приращенийЛагранжа.Замечание 3.

Метод последовательных приближений Пикара обеспечивает существованиерешения x = ϕ ( t ) задачи Коши (1), (2) на некотором отрезке [t0 − H , t0 + H ] , т.е. теорема 1 носитлокальный характер.Замечание 4. Возможность продолжения решения.Рассмотрим решение (1) x = ϕ1 ( t ) (простроенное методом Пикара), с начальнымизначениями t1 = t0 + H , ϕ1 ( t1 ) = ϕ ( t0 + H ) = x1 . Это решение существует на некотором отрезке[t1 − H1 , t1 + H1 ] .Возьмем функцию x = ψ ( t ) , определенную на отрезке [t0 − H , t1 + H1 ] :⎧⎪ ϕ ( t ) , t ∈ [t0 − H , t0 + H ] ,ψ (t ) = ⎨⎪⎩ϕ1 ( t ) , t ∈ [t0 − H , t1 + H1 ] .Очевидно, что x = ψ ( t ) будет решением задачи Коши (1), (2) , т.е. мы получили продолжениерешения x = ϕ ( t ) с отрезка [t0 − H , t0 + H ] на больший отрезок [t0 − H , t1 + H1 ] .Далее, построив решение (1)ϕ2 ( t2 ) = ϕ1 ( t1 + H1 ) = x2 ,[t0 − H , t2 + H 2 ] и т.д.получимx = ϕ2 ( t )продолжениес начальными условиямирешениянаещеt2 = t1 + H1 :большийотрезокАналогично можно строить продолжение в сторону убывания t.В результате такого процесса будет построено решение задачи Коши (1), (2),определенное на некотором максимальном интервале ( a, b ) и такое, что любое егопродолжение совпадает с ним самим.

Такое решение называется непродолжаемым.В дальнейшем нам понадобится следующее свойство непродолжаемых решений:Пусть g – произвольная замкнутая ограниченная подобласть области G : g ⊂ G ,Теорема 4.x = ϕ ( t ) – непродолжаемое решение задачи Коши (1), (2), определенное при t ∈ (T1 , T2 ) . Тогда∃ t1 , t2 (T1 < t1 < t2 < T2 ) , такие, что при t < t1 и t > t2 точка P ( t , ϕ ( t ) ) ∉ g .Доказательство.1)Докажем существование числа t2 .Пусть T2 = +∞ .

Т.к. g – ограниченное множество, то координаты точек P ( t , ϕ ( t ) ) ∈ gограничены, т.е. ∃ T > 0 : t < T . Положим t2 = T и получим, что при t > t2 точка P ( t , ϕ ( t ) ) ⊄ g .2)T2 – конечное число. Поскольку g – замкнутая ограниченная подобласть области G, то⎧d⎪ , d < +∞ρ ( g , ∂G ) = d > 0 . Пусть g1 : ρ ( g1 , g ) ≤ ⎨ 2.

Очевидно, что g ⊂ g1 ⊂ G .⎪⎩ 1, d = +∞d2и ( t0 , x0 ) ∈ g , то цилиндр4⎛ r ⎞ВыбравполучимцилиндрQ1 = {[t0 − h, t0 + h ] × x − x0 ≤ r} ⊂ g1 .H = min ⎜ h, ⎟ ,⎝ M⎠Q = {[t0 − H , t0 + H ] × x − x0 ≤ r} ⊂ g1 . Из доказательства теоремы существования следует, чтоПравая часть f ( t , x ) ∈ C ( g1 ) ⇒ f ( t , x ) ≤ M . Если h 2 + r 2 ≤существует решение системы уравнений (1) с начальным значением ( t0 , x0 ) , определенное приt − t0 < H .Покажем, что число t2 = T2 − H удовлетворяет условиям теоремы. Действительно, еслибы при некотором t0 > T2 − H = t2 точка P0 ( t0 , ϕ ( t0 ) ) ∈ g , то решение ϕ ( t ) с начальными(t ,ϕ ( t ) )условиями00было бы определено по крайне мере на интервале t ∈ ( t0 − H , t0 + H ) ,который ⊂ (T1 , T2 ) , поскольку x = ϕ ( t ) – непродолжаемое решение.

В частности, t0 + H ≤ T2 , илиt0 ≤ T2 − H , что противоречит неравенству t0 > T2 − H .Замечание 5.Метод последовательных приближений Пикара является хорошимприближенным методом решения задачи Коши. После n итераций получается приближенноерешение xn ( t ) , тем более точное, чем больше n.Пример. Методом последовательных приближений найдем решение задачи Коши дляоднороднойсистемылинейныхдифференциальныхуравненийспостояннымикоэффициентами:dx= Ax ,dtx ( t0 ) = x0 .Последовательные приближения в этом случае будут иметь вид:x0 ( t ) = x0ttt0t0x1 ( t ) = x0 + ∫ Ax0 (τ ) dτ = x0 + ∫ Ax0 dτ = x0 + ( t − t0 ) Ax0tx2 ( t ) = x0 + ∫ Ax1 (τ ) dτ = x0 + ( t − t0 ) Ax0t0( t − t0 )+22A2 x0…………………………………………………………………..kn⎛ n ( t − t0 ) k k ⎞t − t0 ) k(xn ( t ) = ∑A x0 = ⎜ ∑A ⎟ x0 , A0 = E .⎜⎟k!k =0⎝ k =0 k !⎠Поскольку для систем линейных уравнений последовательные приближения сходятсяравномерно на любом отрезке t ∈ [ a, b] , где правая часть системы непрерывна по t, в данномслучае правая часть от t не зависит, то построенная выше функциональная последовательностьсходится к решению задачи Коши при всех значениях t.⎛ n ( t − t0 ) k k ⎞xn ( t ) = Bn ( t ) x0 .ОбозначимтогдаПолагаяA ⎟ = Bn ( t ) ,⎜∑⎜ k =0 k !⎟⎝⎠x0 = ei ≡ {δ i1 , δ i2 … , δ im } , i = 1, 2, … m ,получим, что существуетlim ( Bn ( t ) )i , i, j = 1, 2… m .jn →∞Предел такой матричной последовательности называют матричной экспонентой иобозначаютeA( t −t0 )∞=∑k =0( t − t0 )kAk .k!Теперь решение задачи Коши можно записать в виде x ( t ) = e ( 0 ) x0 .

Ряд для матричнойэкспоненты быстро сходится, что дает хороший приближенный метод решения задачи Кошидля однородной линейной системы ОДУ с постоянной матрицей. Приближенно матричнуюэкспоненту можно вычислить по формулеA t −teA( t −t0 )n≈∑k =0( t − t0 )k!kAk .⎛ eλ1t 0 ⎞⎛λ 0 ⎞J1t=eУпражнение 1. Покажите, что если J1 = ⎜ 1,то⎜⎟λ2t ⎟⎝ 0 λ2 ⎠⎝ 0 e ⎠⎛ eλt teλt ⎞⎛λ 1 ⎞J 2tУпражнение 2. Покажите, что если J 2 = ⎜⎟ , то e = ⎜λt ⎟⎝0 λ⎠⎝ 0 e ⎠⎛ α −β ⎞J 3tα t ⎛ cos β tУпражнение 3. Покажите, что если J 3 = ⎜⎟ , то e = e ⎜⎝β α ⎠⎝ sin β t− sin β t ⎞⎟cos β t ⎠Замечание 6.