Н.Н. Нефедов, В.Ю. Попов, В.Т. Волков - Дифференциальные уравнения. Курс лекций, страница 11

Переход от нормальной системы (1) к интегральному уравнению (3) позволяетввести понятие обобщенного решения для системы (1). Предположим, что функции f i ( t , x )непрерывны по t и по x , за исключением, возможно, конечного числа значений t, ограничены, атакже на любой замкнутой ограниченной выпуклой подобласти g ⊂ G удовлетворяют условиюЛипшица по x .Определение. Обобщенным решением задачи Коши (1), (2) называется непрерывное решениеинтегрального уравнения (3).Аналогично доказательству Теоремы 1 можно показать, что при сделанных предположенияхтакое решение существует и единственно.Замечание 7.

Для нормальной системы линейных дифференциальных уравнений•x = A(t ) x + F (t )где матрица A ( t ) и вектор– функция F ( t ) непрерывны на некотором отрезке t ∈ [ a, b]последовательные приближенияt()xn ( t ) = x0 + ∫ A (τ ) xn −1 (τ ) + F (τ ) dτ , n=1,2,…. ,t0x0 ( t ) = x0равномерно сходятся на всем отрезке [ a, b] .Действительно, из непрерывности матрицы A ( t ) и вектор– функции F ( t ) следует, чтоA ( t ) ≡ sup Ax ≤ L , x1 ( t ) − x0 ( t ) ≤ N при всех t ∈ [ a, b] . Аналогично∃ L, N > 0 , такие, чтоx ≤1доказательстве Леммы 2.

получите самостоятельно при t ∈ [ a, b] оценкиxn ( t ) − xn −1 ( t ) ≤ NLt − t0(L b − a )≤N( n − 1)!( n − 1)!n −1n −1n −1,n=1,2,…. ,из которых следует равномерная сходимость функциональной последовательности { xn ( t )} навсем отрезке [ a, b] . Поэтому, в случае линейной системы уравнений можно рассматриватьрешения, определенные сразу на отрезке [ a, b] .Замечание 9. В приложениях часто встречаются линейные однородные дифференциальныеуравнения вида•••a0 ( t ) x + a1 ( t ) x + a2 ( t ) x = 0 ,с аналитическими коэффициентами, у которых a0 ( t0 ) = 0 . Такая точка t0 называется особойточкой уравнения, поскольку в ее окрестности уравнение нельзя разрешить относительностаршей производной. В этом случае, решения представимого в виде степенного ряда может несуществовать, но могут существовать решения, представимые в виде обобщенных степенныхрядов∞x(t ) = ∑ ck ( t − t0 )r +k,k =0где r некоторое (не обязательно целое) число.••1⎞⎛Упражнение 2 (сложное).

Найдите решение уравнения t 2 x + ⎜ t 2 + ⎟ x = 0 в виде обобщенного4⎠⎝∞степенного ряда x(t ) = ∑ ck ( t − t0 )k =0Ответ: x(t ) = c0( −1) t 2 m .t ∑ 2m2m=0 2( m !)∞r +k( c0 ≠ 0 ) .mУбедитесь, что этот ряд сходится при t ≥ 0 .Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядкаЛекция 6§1.Общие свойства.В этой главе рассматриваются ОДУ видаLy ≡ y ( n ) + a1 ( x) y ( n−1) + ...

+ an ( x) y = f ( x)(1)при условии, что все функции ai ( x), i = 1, 2,..., n , а также f ( x) непрерывны на множествеX , где X - некоторое подмножество числовой прямой, например, отрезок, интервал,полупрямая или вся числовая прямая.Функция y ( x) ∈ C n ( X ) называется решение уравнения (1), если при ееОпределение .подстановке (1) обращается в тождество.К уравнению (1) могут быть добавлены начальные условияy ( x0 ) = y10 , y′( x0 ) = y20 , ... , y ( n−1) ( x0 ) = yn0 ,x0 ∈ X .(2)(1)-(2) называется задачей Коши.10.Теорема существования и единственности решения задачи Коши.Теорема 1.Решение задачи Коши (1)-(2) существует и единственно на любом сегменте[a, b] ∈ X .Доказательство основано на теореме о существовании и единственности решения длясистемы ОДУ в случае, когда правая часть непрерывна и удовлетворяет условию Липшица вполосе (см.

Теорему 2 из §5 Гл. 2).Действительно, замена y = y1 , y′ = y2 , ... , y ( n−1) = yn приводит к системеdyndy1dy2= y2 ,= y3 , ... ,= f ( x) − a1 ( x) yn − ... − an ( x) y1 ,dxdxdxfi ( x, y1 , y2 ,..., yn ),i = 1, 2,..., n , как легко видеть, непрерывны вправые части которойполосе{ x ∈ [a, b],yi ∈ R} и удовлетворяют условию Липшицаnfi ( x, y1 , y2 ,..., yn ) − fi ( x, y1 , y2 ,..., yn ) ≤ N ⋅ ∑ yk − yk ,с постояннойПример.Обозначим()i = 1, 2,..., nk =1N = max ⎡1, max max ai ( x) ⎤ .[ a ,b ]i⎣⎢⎦⎥Рассмотрим задачу Коши для уравнения второго порядкаy = y1 ,y ′ = y2 ,m( x) y′′ + η ( x) y′ + k ( x) y = f ( x) ,y ( x0 ) = y0 ,y′( x0 ) = v0 .тогда эквивалентная задача Коши для нормальной системыотносительно вектор-функции ψ 1 ( x) = { y1 ( x) , y2 ( x)} имеет вид⎧ y1′ = y2⎧⎪ y1 ( x0 ) = y0⎪.⎨kη1⎨⎪⎩ y2 ( x0 ) = v0⎪⎩ y2′ = − m y1 − m y2 − m fРешение рассматриваемой задачи существует и единственно.20.Некоторые следствия линейности уравнения.Заметим, что оператор Ly ≡ y ( n ) + a1 ( x) y ( n−1) + ...

+ an ( x) yв уравнении (1) являетсялинейным и действует из C n ( X ) в C ( X ) . Сформулируем ряд утверждений, являющихсяследствием линейности указанного оператора.Теорема 2 (принцип суперпозиции).Пусть в уравнении (1)Mf ( x) = ∑ Ci f i ( x) , где Ci - некоторые постоянные, аi =1решения уравнений Lyi = f i ( x),yi ( x) -i = 1, 2,..., M .MТогда функция y ( x) = ∑ Ci yi ( x) является решением уравнения (1).i =1MДоказательство производится путем прямой подстановки функции y ( x) = ∑ Ci yi ( x) в (1):i =1MLy ≡ L ∑ Ci yi ( x ) = C1 Ly1 + C2 Ly2 + ...

+ CM LyM = C1 f1 ( x ) + C2 f 2 ( x) + ... + CM f M ( x ) = f ( x) .i =1Тривиальным следствием доказанной теоремы являются следующие три утверждения.Любая линейная комбинация решений однородного уравненияLy ≡ y ( n ) + a1 ( x) y ( n−1) + ... + an ( x) y = 0также есть решение этого однородного уравнения.Теорема 3.(3)Теорема 4. Разность любых двух решений неоднородного уравнения (1) является решениемсоответствующего однородного уравнения (3).Пусть функция z ( x ) = u ( x ) + iv ( x ) удовлетворяет уравнениюLz = f1 ( x) + if 2 ( x ) .(*)Тогда функции u ( x) и v ( x ) - решения уравненийLu = f1 ( x) и Lv = f 2 ( x) .(**)Верно и обратное утверждение, т.е.

если u ( x) и v ( x ) есть решения уравнений (**), тоz ( x ) = u ( x ) + iv ( x ) является решением (*).Теорема 5.§2.Линейное однородное уравнение.Рассмотрим однородное уравнениеLy ≡ y ( n ) + a1 ( x) y ( n−1) + ... + an ( x) y = 0(3)и выясним структуру его решений. Легко видеть, что множество решений (3) образуетлинейное пространство. В связи с этим возникают вопросы:1. какова размерность этого пространства;2.

как построить базис.Сформулируем еще два определения.Определение 1.Функции y1 ( x),… , ym ( x ) называются линейно зависимыми на отрезке[a, b ] , если в существует набор постоянных C1 ,… , Cm , среди которых хотя бы одна отлична отнуля, что выполнено равенствоC1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) + ...

+ Cm ym ( x) = 0∀x ∈ [ a, b] .(4)Если (4) выполняется лишь в случае C1 = C2 = … = Cm = 0 , то функции y1 ( x ),… , ym ( x )линейно независимы на отрезке [a, b ] .Пусть y1 ( x),… , yn ( x) - совокупность n − 1 раз дифференцируемых на отрезке [a, b ]функций (не обязательно решений уравнения (3)).Определение 2.Определителем Вронского системыnфункцийy1 ( x),… , yn ( x)называется определительy1 ( x ) … …yn ( x )y1′ ( x ) … …yn′ ( x )(5)W ( x) ≡ W [ y1 , y2 ,..., yn ] =…… ……y1( n −1) ( x ) … … yn( n −1) ( x )Теорема 6.

Пусть функции y1 ( x),… , yn ( x) линейно зависимы на отрезке [a, b ] .Тогда определитель Вронского этой системы функций W ( x) ≡ W [ y1 , y2 ,..., yn ] ≡ 0,x ∈ [ a, b] .Доказательство. По предположению существует ненулевой набор констант, для которогоC1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) + ... + Cn yn ( x) = 0,x ∈ [ a, b] .

Дифференцируяимеет место тождествоn − 1 раз, получимC1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) + ... + Cn yn ( x) = 0⎧⎪C1 y1′( x) + C2 y2′ ( x) + ... + Cn yn′ ( x) = 0⎪⎨....................⎪−−−(n1)(n1)(n⎪⎩C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) + ... + Cn yn 1) ( x) = 0x ∈ [ a, b ]Если рассматривать записанные тождества как систему уравнений относительнонеизвестных C1 ,… , Cn , она имеет нетривиальное решение (в силу предположения о линейнойзависимости). Следовательно, W ( x ) ≡ 0, x ∈ [a, b] , что и требовалось доказать.Теорема 7. Пусть теперь функции y1 ( x),… , yn ( x) - линейно независимые на отрезке [a, b ]решения однородного уравнения (3).Тогда определитель Вронского этой системы функций W ( x) ≡ W [ y1 , y2 ,..., yn ] ≠ 0, ∀x ∈ [a, b] .x0 ∈ [ a, b ] такая, чтоРассмотрим следующую алгебраическую систему относительно неизвестныхДоказательство.W ( x0 ) = 0 .Предположим обратное, т.е.

пусть существует точкаC1 ,… , Cn :C1 y1 ( x0 ) + C2 y2 ( x0 ) + ... + Cn yn ( x0 ) = 0⎧⎪C1 y1′( x0 ) + C2 y2′ ( x0 ) + ... + Cn yn′ ( x0 ) = 0⎪(6)⎨....................⎪⎪⎩C1 y1( n −1) ( x0 ) + C2 y2( n −1) ( x0 ) + ... + Cn yn( n −1) ( x0 ) = 0Так как ее определитель W ( x0 ) = 0 , то существует нетривиальное решение C10 ,…, Cn0 .Рассмотрим функциюy( x) = C10 y1 ( x) + C20 y2 ( x) + ...

+ Cn0 yn ( x) = 0 ,(7)которая является решением однородного уравнения (3). Дифференцируя (7) и учитываясоотношения (6), получимy( x0 ) = 0, y′( x0 ) = 0, ... , y ( n−1) ( x0 ) = 0 .(8)Далее, в силу теоремы единственности решения (Теорема 1) существует единственное решениеy( x) ≡ 0 , удовлетворяющее условиям (8), что означает (см.

(7)) линейную зависимость функцийy1 ( x),… , yn ( x) , что противоречит условию теоремы. Теорема доказана.Из доказанных теорем 6 и 7 вытекаетСледствие. Определитель Вронского некоторой системы решений однородного уравненияLy ≡ y ( n ) + a1 ( x) y ( n −1) + ...