Н.Н. Нефедов, В.Ю. Попов, В.Т. Волков - Дифференциальные уравнения. Курс лекций, страница 14

ПустьF (t ) ≤ F .Тогда для ∀t , t0 ∈ [ a, b] выполнена оценкаA ( t ) ≡ sup Ax ≤ A иx =1A t −tx ( t ) ≤ ⎡⎣ x ( t0 ) + F ( b − a ) ⎤⎦ e 0Решение x ( t ) удовлетворяет интегральному уравнениюДоказательство.ttt0t0(3)( t , t ∈ [ a, b ] ) .x ( t ) = x ( t0 ) + ∫ A (τ ) x (τ ) dτ + ∫ F (τ ) dτ0Оценим сверху x ( t ) :x ( t ) ≤ x ( t0 ) +ttt0t0∫ A (τ ) x (τ ) dτ + ∫ F (τ ) dτ.По условию A ( t ) ≤ A , следовательно, A (τ ) x (τ ) ≤ A x (τ ) . Поэтомуtttt0t0t0x ( t ) ≤ x ( t0 ) + A ∫ x (τ ) dτ + F ∫ dτ = x ( t0 ) + A ∫ x (τ ) dτ + F t − t0 .tx ( t ) ≤ ⎡⎣ x ( t0 ) + F ( b − a ) ⎤⎦ + A ∫ x (τ ) dτ .t0По лемме Гронуолла, получаем, чтоA t −tx ( t ) ≤ ⎡⎣ x ( t0 ) + F ( b − a ) ⎤⎦ e 0 .Следствие 1.x ( t ) ≤ x ( t0 ) eСледствие 2.()Для любого решения линейной ОС (2) F ( t ) = 0 выполняется оценкаA t − t0.(4)Пусть матрица A ( t ) ∈ C [ a, b ] , тогда A ( t ) ≤ A и для решения x ( t ) ОС (2)имеет место оценкаx ( t0 ) e− A t − t0≤ x ( t ) ≤ x ( t0 ) eA t − t0(5)–– рост и убывание функции x ( t ) ограничены экспонентой.Действительно, оценка сверху есть оценка (4).

С другой стороны, та же оценка (4) имеетместо для любых t , t0 ∈ [ a, b] . Поэтому, заменяя t0 на t, а t на t0, получим x ( t0 ) ≤ x ( t ) e A t −t0 ,т.е. x ( t ) ≥ x ( t0 ) e − A t −t0 .Из известной теоремы существования и единственности для нормальных системвытекает следующее утверждение.Теорема 5 (существования и единственности для линейной системы).Решение задачи Коши для системы (1) с начальным условиемx ( t0 ) = x0существует и единственно на любом отрезке [t0 , T ] ⊂ [a, b] .Доказательство.Сформулированный результат следует из того, что функцииGi ( x1 , x2 ,..., xn , t ) = f i (t ) + ai1 (t ) x1 + ai 2 (t ) x2 + ...

+ ain (t ) xnнепрерывны, имеют ограниченные непрерывные частные производные по переменным xi и,следовательно, удовлетворяют условию Липшица в полосе t ⊂ [a, b] , −∞ < xi < ∞ . Поэтомуприменима теорема существования и единственности решения нормальной системы (см.Теорема 2 из §5 Гл. 2, а также замечание 3 §2 Гл. 2), где постоянная ЛипшицаN ≥ max ⎡ max ai , j (t ) ⎤ .⎥⎦i, j ⎢⎣ [ a ,b ]Замечание.Поскольку x ( t ) = 0 очевидно есть решение (2), то решение x ( t ) однороднойлинейной системы с непрерывной матрицей A ( t ) тождественно равно нулю на всем отрезке[a, b] , если оно равно нулю в какой-либо точке этого отрезка.

Это следует как из оценки (5), таки из теоремы 5.§2.Однородная система.10.Линейная зависимость системы вектор-функций. Определитель Вронского.Определение 3.Решения x1 ( t ) ,…, xm ( t ) ОС (2) называются линейно независимыми наотрезке [ a, b] , если в каждой точке t ∈ [ a, b] векторы x1 ( t ) ,…, xm ( t ) линейно независимы.Очевидно, что если m решений x1 ( t ) ,…, xm ( t ) линейно независимы, то m ≤ n . Пустьтеперь задана совокупность n решенийx1 ( t ) , …, xn ( t )(7)ОС (2), определенных на [ a, b] . Составим матрицуX ( t ) = ( x1 ( t ) , …, xn ( t ) ) .Определение 4.(8)ОпределительW (t ) = X (t )(9)называется определителем Вронского совокупности решений x1 ( t ) ,…, xn ( t ) .20 .ФСР однородной системы и ее свойства.Совокупность из n решений однородной линейной системы (2), линейноОпределение 5.независимых на отрезке [ a, b] , называется фундаментальной совокупностью решений (ФСР).Теорема 6.ОпределительВронскогоW (t ) ,составленныйизстолбцовФСР,определенной на отрезке [ a, b] , отличен от нуля во всех точках этого отрезка.Доказательство.Предположим противное.

Тогда W ( t0 ) = 0 в некоторой точке t0 ∈ [ a, b ] .Рассмотрим систему n линейных однородных уравнений относительно C = {c1 , … , c n } :X ( t0 ) C = 0(10)Так как определитель этой системы W ( t0 ) = 0 , то существует нетривиальное решение C ≠ 0системы уравнений (10). Это означает, что столбцы матрицы X ( t0 ) – векторы x1 ( t0 ) ,…, xn ( t0 ) –линейно зависимы, что противоречит определению ФСР.Теорема 7.Пусть матрица A ( t ) непрерывна на отрезке [ a, b] , и в какой-либо точкеt0 ∈ [ a, b ] векторы x1 ( t0 ) ,…, xn ( t0 ) линейно независимы.Тогда система решений (7) линейно независима на отрезке [ a, b] .Доказательство.Докажем, что при каждом фиксированием t ∈ [ a, b] равенство X ( t ) C = 0выполняется лишь при C = 0 .

Предположим противное, т.е. пусть при некотором t1 ∈ [ a, b]существует такой вектор C ≠ 0 , что X ( t1 ) C = 0 . Тогда линейная комбинация x ( t ) = X ( t1 ) Cрешений (7) есть решение системы (2), удовлетворяющее условию x ( t1 ) = 0 . СогласноСледствию 2 из теорем 4, 5 x ( t ) ≡ 0, t ∈ [ a, b ] . В частности, для t = t00 = x ( t0 ) = X ( t0 ) C ,т. е. векторы x1 ( t0 ) ,…, xn ( t0 ) линейно зависимы, что противоречит условию теоремы.Определитель Вронского W ( t ) совокупности решений (7) отличен от нуляСледствие 1.во всех точках отрезка [ a, b] (на котором эти решения определены), если он отличен от нуляхотя бы в одной точке отрезка [ a, b] .проделайте самостоятельно.ДоказательствоМожно непосредственно показать, что определитель Вронского может обращаться внуль лишь сразу на всем отрезке [ a, b] .

Для этого продифференцируем определитель ВронскогоW ( t ) , пользуясь правилом дифференцирования определителя:n•W ( t ) = ∑ Wk ,где Wk( k = 1, 2,..., n )k =1— определитель, отличающийся от W лишь•k -ой строкой: вместо•строки x1k , … , xnk в нем стоит строка из производных x1k ,…, xnk :Wk ( t ) =x11 , …… , x1nx11 ,……………, x1nx1k −1 ,… , xnk −1x1k −1 ,……………, xnk −1••x1k , …… , xnk=nnx11 , …… , x1n∑ a ( t ) x , ……, ∑ a ( t ) xj =1kjj1x1n , …… , xnnkjj =1jnn= ∑ a (t )j =1kjx1n , ……………, xnnx1k −1 ,… , xnk −1x1j , …… , xnjx1n , …… , xnnx11 , …… , x1n= a (t )kkx1k −1 ,… , xnk −1x1k , …… , xnk=x1n , …… , xnn= akk ( t ) W ( t ) .Следовательно,•nnk =1k =1W ( t ) = ∑ Wk = ∑ akk ( t )W ( t ) = S ( t ) W ( t ) ,(11)nгде S ( t ) = ∑ akk ( t ) ≡ Tr A ( t ) ≡ Sp A ( t ) – след матрицы A(t ) .k =1Решая уравнение (11) как уравнение с разделяющимися переменными, получим формулуЛиувилля:t∫ S (τ )dτW ( t ) = W ( t0 ) et0(12).Из (12) следует, что если существует точка t0 ∈ [a, b] , в которой W ( t0 ) = 0 , то W ( t ) ≡ 0 наотрезке [ a, b] .Следствие 2.Любое решение x ( t ) однородной системы (2) есть линейная комбинациястолбцов ФСР:nx ( t ) = ∑ c k xk ( t ) = X ( t ) C .Действительно, в точке t0 ∈ [ a, b ]k =1nx ( t0 ) = ∑ c k xk ( t0 ) = X ( t0 ) C(13)k =1Рассмотрим два решения ОС (2): x ( t ) иn∑ c x ( t ) .

В силу (13) эти два решения удовлетворяютkk =1kодному и тому же начальному условию при t = t0 . Следовательно, на основании теоремы 5nx ( t ) = ∑ c k xk ( t ) = X ( t ) C при любом t ∈ [ a, b] .k =1Определение 6.Общим решением системы линейных уравнений (1) называется множествовсех решений этой системы.30.Общее решение однородной системы.Теорема 8.Пусть x1 ( t ) ,…, xn ( t ) — ФСР системы (2).Тогда общее решение однородной системы имеет видnx ( t ) = ∑ c k xk ( t ) = X ( t ) C ,(14)k =1где C - произвольный вектор.Следствие.Множество всех решений (2) образует n-мерное векторное (линейное)пространство, базисом которого может служить любая ФСР.Доказательство.

При любых c1 , …, c n выражение (14) представляет собой решение ОС (2), ав силу Следствия 2 любое решение ОС (2) может быть записано в виде (14). Поэтому (14) естьобщее решение (2). Сумма двух решений (2) и произведение решения (2) на число есть сноварешения этой системы. Кроме того, любая ФСР линейно независима и любое решение через неелинейно выражается.

Следовательно, множество всех решений (2) образует n–мерное векторноепространство, базисом которого служит любая ФСР.Замечание.Из теоремы существования следует, что для любой ОС всегда существуетФСР. Для ее построения достаточно задать произвольно n линейно независимых векторовxk ( t ) , k = 1, 2,..., n , удовлетворяющие условиямa1 ,…, anи рассмотреть решенияxk ( t0 ) = ak , k = 1, 2,..., n . В силу теоремы 7 функции xk ( t ) , k = 1, 2,..., nСледствие.

(принцип суперпозиции).Пустьx0 ( t )образуют ФСР.- частное решение неоднороднойсистемы (1), а функции x1 ( t ) , …, xn ( t ) образуют ФСР соответствующей однородной системы(2), тогда общее решение (1) имеет вид:nx ( t ) = x0 ( t ) + ∑ c k xk ( t ) = x0 ( t ) + X ( t ) C ,(15)k =1где C - произвольный вектор.В самом деле, при любых c1 , …, c n формула (15) представляет собой решение (1).Наоборот, если x ( t ) - какое-либо решение (1), то x ( t ) − x0 ( t ) - решение системы (2), и потеореме 8 оно может быть записано в видеnx ( t ) − x0 ( t ) = ∑ c k xk ( t ) = X ( t ) C , гдеC -k =1произвольный вектор.

Следовательно, любое решение x ( t ) системы уравнений (1) представимов виде (15).Покажем, что решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений(1) сводится к нахождению ФСР соответствующей однородной системы (2).§2.Неоднородная система.Метод вариации постоянных. Матрица Коши.10 .Теорема 9.Пусть матрица A ( t ) и вектор F ( t ) непрерывны на отрезке[ a, b ]иизвестна ФСР однородной системы (2).Тогда общее решение неоднородной линейной системы (1) находится с помощью квадратур.Доказательство (метод вариации постоянных или метод неопределенных коэффициентовЛагранжа).Пусть x1 ( t ) , …, xn ( t ) – ФСР системы (2).

Составим ее фундаментальную матрицу, т.е.матрицу из столбцов, образующих ФСР X ( t ) = ( x1 ( t ) , …, xn ( t ) ) . Так как каждый столбец этойматрицы является решением (2), то справедливо матричное уравнение•X (t ) = A (t ) X (t )(16)Заметим, что определитель фундаментальной матрицы X ( t ) = W ( t ) ≠ 0 t ∈ [ a, b ] , и будемискать решение системы (2) в видеnx ( t ) = ∑ c k ( t ) xk ( t ) = X ( t ) C ( t )(17)k =1Подставляя выражение (17) в (2), получим••X (t ) C (t ) + X (t ) C (t ) = A (t ) X (t ) C (t ) + F (t )(18)В силу (16) уравнение (18) примет вид•X (t ) C (t ) = F (t )(19)Так как X ( t ) ≠ 0 и матрица X ( t ) ∈ C [ a, b ] , то существует обратная матрица X −1 ( t ) ∈ C [ a, b] .Тогда•C ( t ) = X −1 ( t ) F ( t ) ,откудаtC ( t ) = ∫ X −1 (τ ) F (τ )dτ + C0(20)t0где C0 — произвольный постоянный вектор.

Подставляя (20) в формулу (17), получимtx ( t ) = X ( t ) C0 + X ( t ) ∫ X −1 (τ ) F (τ )dτ .(21)t0Докажем, что (21) есть общее решение неоднородной системы (1). Так как C0 —произвольный постоянный вектор, то выбирая C0 = 0 , получим частное решение системы (1)tx0 ( t ) = X ( t ) ∫ X −1 (τ ) F (τ )dτt0С другой стороны, X ( t ) C0 общее решение ОС (2) и (21) можно переписать в виде (15)x ( t ) = x0 ( t ) + X ( t ) C0(22)( C0 - произвольный вектор).