Н.Н. Нефедов, В.Ю. Попов, В.Т. Волков - Дифференциальные уравнения. Курс лекций, страница 12

+ an ( x) y = 0либо тождественно равен нулю на отрезке [ a, b] , и тогда эти решения линейно зависимы, либоне обращается в ноль ни в одной точке отрезка [ a, b] ; в этом случае рассматриваемые решениялинейно независимы.Определение 3.Совокупность любых n (число n - порядок уравнения) линейнонезависимых на отрезке [ a, b] решений уравнения (3),называется фундаментальнойсистемой решений (ФСР) однородного линейного дифференциального уравнения.Следствие. Определитель Вронского, составленный из функций, входящих в ФСР, отличен отнуля.Теорема 8 (о существовании ФСР).Всякое линейное однородное дифференциальноеуравнение с непрерывными коэффициентами имеет ФСР.Доказательство.

Зададим произвольный числовой, отличный от нуля, определитель:a11 ...a1k ...a1nΔ=a21...a2 k ...a2 n....................an1 ...ank ...ann≠0Построим n решений y1 ( x),… , yn ( x) следующих задач Коши:Ly = 0⎧⎪ y (x ) = a ,1k⎪⎪ k 0k = 1, 2,..., n⎨ y′k ( x0 ) = a2 k ,⎪ .......................⎪ ( n −1)⎪⎩ yk ( x0 ) = ank .Составим определитель Вронского для этих решений. Очевидно, что W ( x0 ) = Δ ≠ 0 .Следовательно, решения y1 ( x),… , yn ( x) линейно независимы, т.е. образуют ФСР, что итребовалось доказать.Замечание.

Так как существует множество способов задать определитель Δ, фигурирующий вдоказательстве теоремы 8, то ФСР однородного линейного дифференциального уравненияопределена неединственным образом.Теорема 9.Пусть y1 ( x),… , yn ( x) - ФСР линейного однородного уравненияLy ≡ y ( n ) + a1 ( x) y ( n −1) + ... + an ( x) y = 0 .Тогда любое решениеz ( x)этого уравнения представимо в видеnz ( x) = ∑ Ci yi ( x ) , гдеi =1C1 ,… , Cn - некоторые постоянные.Доказательство.

Пусть z ( x) - решение задачи КошиLz = 0⎧⎪ z( x ) = z 0 ,01⎪⎪0′=z(x)z⎨02,⎪.......................⎪⎪⎩ z ( n −1) ( x0 ) = zn0 .(9)nПокажем, что можно выбрать постоянные C1 ,… , Cn так, что z ( x) = ∑ Ci yi ( x ) .i =1Подставив это выражение в начальные условия в (9), получим систему⎧C1 y1 ( x0 ) + C2 y2 ( x0 ) + ... + Cn yn ( x0 ) = z10⎪C1 y1′( x0 ) + C2 y2′ ( x0 ) + ... + Cn yn′ ( x0 ) = z20⎪⎨....................⎪−−−nnn(1)(1)(1)⎪⎩C1 y1 ( x0 ) + C2 y2 ( x0 ) + ...

+ Cn yn ( x0 ) = zn0 ,определитель которой W ( x0 ) ≠ 0 , т.е. система имеет решение C10 ,… , Cn0 . Составим функциюnz 0 ( x) = ∑ Ci0 yi ( x) и заметим, что она также является решением задачи Коши (9). Но по теоремеi =11 решение задачи Коши (9) единственно, следовательно,nz ( x) ≡ z 0 ( x) = ∑ Ci0 yi ( x),x ∈ [ a, b] ,i =1что и требовалось.Замечание.

Выражениеnz ( x) = ∑ Ci yi ( x ) , где набор функцийi =1y1 ( x),… , yn ( x)есть ФСР,дает общее решение однородного линейного уравнения. Доказанная теорема утверждает, чтоФСР образует базис в пространстве решений однородного линейного уравнения.§3.Неоднородное линейное уравнение.10.Общее решение неоднородного уравнения.Рассмотрим уравнениеLy ≡ y ( n ) + a1 ( x) y ( n−1) + ... + an ( x) y = f ( x)Пусть y ( x) - некоторое частное решение (1).(1)Теорема 10.Любое решение y ( x)неоднородного линейного дифференциальногоуравнения (1) представимо в виде суммы его частного решения y ( x) и общего решения z ( x )соответствующего однородного уравнения, т.е.ny ( x) = y ( x) + z ( x) ≡ y ( x) + ∑ Ci yi ( x) ,i =1010nгде y1 ( x),… , yn ( x) есть ФСР, а C ,… , C - произвольные постоянные.Доказательство. Пусть y ( x) - любое решение уравнения (1).

Легко видеть (в силулинейности), что функция z ( x ) = y ( x) − y ( x ) удовлетворяет однородному уравнению. Тогдаny ( x) − y ( x) = ∑ Ci yi ( x) , что и доказывает утверждение теоремы.i =120.Функция Коши.Если нам известна ФСР однородного уравнения, то можно построить частное решениесоответствующего неоднородного уравнения, удовлетворяющее нулевым начальным условиям.Рассмотрим следующую задачу Коши:Ly = 0a <ξ < x<b⎪⎧.⎨( n −1) )(ξ ) = 1⎪⎩ y (ξ ) = 0, y′(ξ ) = 0, ,...., yИзвестно, что ее решение существует и непрерывно вместе с производными зависит отпараметра ξ . Обозначим K ( x, ξ ) - решение этой специальной задачи.Примеры.1)2)⎧ y′ − y = 0,==> y ≡ K ( x, ξ ) = e x −ξ ;⎨=y1ξ⎩ ( )y ′′ + y = 0⎧,==> y ≡ K ( x, ξ ) = sin( x − ξ ) .⎨⎩ y (ξ ) = 0, y′(ξ ) = 1Определение.K ( x, ξ ) , являющаяся решением специальной задачи КошиФункцияa <ξ < x <b⎧ Lx K ( x, ξ ) = 0⎨( n −1)⎩ K (ξ , ξ ) = 0, K x′ (ξ , ξ ) = 0, , ....

, K x (ξ , ξ ) = 1называется функцией Коши уравнения (1).xТеорема 11.y ( x) = ∫ K ( x, ξ ) f (ξ ) dξ ,Функциягде K ( x, ξ ) - функция Кошиx0уравнения (1), является решением задачи Коши для неоднородного уравнения (1) с нулевыминачальными условиями, т.е.x ∈ [ a, b ]⎧ Ly = f ( x),.⎨( n −1)x0 ∈ [a, b]⎩ y ( x0 ) = y′( x0 ) = ... = y ( x0 ) = 0,xy ( x) = ∫ K ( x, ξ ) f (ξ ) dξДоказательство.

Мы должны убедиться в том, что функцияx0удовлетворяет уравнению и указанным нулевым начальным условиям. Непосредственнопроверяется:начальные условияty = ∫ K ( x, ξ ) f (ξ ) dξan ( x) ×⇒y ( x0 ) = 0⇒y′( x0 ) = 0⇒y′′( x0 ) = 0⇒y ( n −1) ( x0 ) = 0t0xy′ = K ( x, x) f ( x) + ∫ K x′ ( x, ξ ) f (ξ )dξan −1 ( x) ×=0x0xy′′ = K x′ ( x, x) f ( x) + ∫ K x′′( x, ξ ) f (ξ )dξan − 2 ( x) ×=0x0...........................................................a1 ( x) ×y( n −1)=K( n − 2)xx( x, x) f ( x) + ∫ K x( n −1) ( x, ξ ) f (ξ )dξ=0x0x1×y ( n ) = K x( n −1) ( x, x) f ( x) + ∫ K x( n ) ( x, ξ ) f (ξ )d ξ=1x0Умножая an − k ( x) на y ( k ) ( x) и складывая полученные равенства, имеемxLy = f ( x) + ∫ Lx K ( x, ξ ) f (ξ )d ξ = f ( x) ,x0=0xт.е.

функцияy ( x) = ∫ K ( x, ξ ) f (ξ ) dξудовлетворяет уравнению (1) и нулевым начальнымx0условиям. Теорема доказана.Примеры.1)2)⎧ y′ − ay = f ( x)⎨⎩ y (0) = 0⎧ y′′ + y = f ( x)⎨⎩ y (0) = 0, y′(0) = 0xy ( x) = ∫ e a( x −ξ ) f (ξ ) d ξ⇒0xy = ∫ sin( x − ξ ) f (ξ ) d ξ .⇒030.Метод вариации постоянных.Теорема 12 .Пусть y1 ( x) , ... , yn ( x) – ФСР однородного уравненияLy ≡ y ( n ) + a1 ( x) y ( n −1) + ...

+ an ( x) y = 0 .nТогда функция y ( x) = ∑ ci ( x) yi ( x) будет решением неоднородного уравнения (1), еслиi =1c i ( x) удовлетворяют системе линейных уравнений⎧ n ′( j)⎪∑ ci ( x) yi ( x) = 0,⎪ i =1⎨ n⎪ c ′ ( x) y ( n −1) ( x) = f ( x)ii⎪⎩∑i =1j = 0,1, 2,..., n − 2(10)Доказательство. Система (10) однозначно разрешима относительно ci′ ( x ) , так какопределитель этой системы есть определитель Вронского W ( x) ≠ 0 . Заметим, что вектор –функцииψ 1 ( x) = y1 ( x) , ...

, y1( n −1) ( x) , ... , ψ n ( t ) = yn ( x) , ... , yn( n −1) ( x){}{}образуют ФСР решений для системы уравненийψ ′ = A( x)ψ .Нетрудно показать (сделайте это самостоятельно), что если ci′ ( x ) удовлетворяют уравнениям(10), то функцияnz ( x ) = ∑ ci ( x )ψ i ( x )i =1является решением неоднородной системыz ′ = A( x) z + F ( x) ,где10⎛ 0⎜01⎜ 0A( x) = ⎜ ………⎜00⎜ 0⎜ −a ( x) −a ( x) −a ( x)n −1n−2⎝ n……………⎞⎟0 ⎟… ⎟,⎟0 ⎟− a1 ( x) ⎟⎠0F ( x) = {0, … , 0, f ( x)} .nni =1i =1Но тогда первая координата вектора z ( x) , т.е. функция y ( x) = ∑ ci ( x)ψ i1 ( x) = ∑ ci ( x) yi ( x)есть решение (1).Замечание 1 (физический смысл функции Коши).Ly ( x) = δ ( x − ξ 0 )⎫⎬( n −1)y ( x0 ) = 0, y′( x0 ) = 0,… , y ( x0 ) = 0 ⎭– функция влияния мгновенногососредоточенного в т. ξ0 , на точку x.по определениюx⇒y ( x) =∫K ( x, ξ )δ (ξ − ξ 0 )dξδ − функции=x0единичногоисточникаK ( x, ξ 0 ) .("импульсная"функция),Замечание 2.Для уравнения с постоянными коэффициентами функция Коши можетбыть найдена по формуле (докажите самостоятельно)y1 (ξ )y2 (ξ ) ...

yn (ξ )1K (x, ξ ) =W (x )y1′ (ξ )y2′ (ξ )...yn ′ ( ξ )............y1(n −2) (ξ ) y2(n −2) (ξ ) ... yn(n −2) (ξ )y1(x )§ 4..y2 (x )...yn (x )Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.Рассмотрим теперь частный случай линейного дифференциального уравнения линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами(1п)Ly = y ( n ) + a1 y ( n −1) + ... + an y = f ( x ),ai = const10.Общее решение однородного уравнения.Нетривиальные частные решения однородного уравненияLy = y ( n ) + a1 y ( n −1) + ... + an y = 0,ai = const(2п)λxбудем строить в виде y ( x ) = Ce , где C ≠ 0 и λ - постоянные (метод Эйлера).

Подставляя в(2п) получим:L ⎡⎣Ce λ x ⎤⎦ = C ⎡⎢⎣ λ n + a1λ n −1 + ... + an ⎤⎥⎦ e λ x ≡ CM (λ )eλ x = 0 ⇒ M (λ ) = 0Определение.Многочлен M (λ ) = λ n + a1λ n −1 + ... + an , называется характеристическиммногочленом уравнения (1п), а уравнение(3п)M (λ ) = λ n + a1λ n −1 + ... + an = 0называется характеристическим уравнением для (1п).Очевидно, что характеристическое уравнение имеет ровно n корней (с учетомкратности). Рассмотрим несколько возможных вариантов.1.Характеристическое уравнение (3п) имеет n различных (простых) корней λ1 , λ2 ,...

λn :M (λk ) = 0 . Каждому корню λk соответствует функция yk ( x) = eλk x , k = 1, 2,..., n , котораяявляется решением однородного уравнения (2п), так как в силу (3л) имеет местоM (λk ) = 0L ⎡⎣ e λk x ⎤⎦ = M (λk )e λk x = 0 .⇒Теорема 13.Пусть корни характеристического многочлена (3п) простые.Тогда функции yk ( x) = eλk x , k = 1, 2,..., n образуют ФСР уравнения (2п).Доказательство.