Н.Н. Нефедов, В.Ю. Попов, В.Т. Волков - Дифференциальные уравнения. Курс лекций, страница 7

Рассмотрим следующий процесс.2r1r14⎛4⎞,=>H (r ) =.M =⎜ +r⎟x1 = ,H=y1 = y ( x1 ) == ,21 3M43⎝⎠4⎛⎞1−⎜ +r⎟4⎝3⎠H ′(r ) = 0=>r=⎛4⎞ 3H1 = H ⎜ ⎟ = ,⎝ 3 ⎠ 164,3⎡ 1 3⎤x ∈ ⎢0, + ⎥ .⎣ 4 16 ⎦Далее7x2 = ,16116y2 = y ( x2 ) == ,791−16⎛ 16⎞M =⎜ +r⎟⎝ 9⎠r,H=M2=>H (r ) =r⎛ 16⎞⎜ +r⎟9⎝⎠2.16⎛ 16 ⎞ 9⎡ 1 3 9⎤,,H2 = H ⎜ ⎟ =x ∈ ⎢0, + + ⎥ .9⎝ 9 ⎠ 64⎣ 4 16 64 ⎦Итак, мы построили продолжение решения на больший интервал.

Заметим, что на k том шаге описанного процессаH ′(r ) = 0=>r=3kH k = k +1 , k = 0,1, …4∞и∞k3k1 ∞ ⎛3⎞1 1H k = ∑ k +1 = ∑ ⎜ ⎟ == 1.∑4 k =0 ⎝ 4 ⎠4 1− 3k =0k =0 44Замечание 3.Метод последовательных приближений Пикара активно используется причисленном решении задачи Коши. После n итераций получается приближенное решение yn ( x) ,тем более точное, чем больше n.Пример 3.Рассмотрим снова задачу Кошиdy= y2dxy (0) = 111=.x −1 1− xПолучим решение рассматриваемой задачи, применяя метод последовательныхприближений Пикара. Определим итерационный процесс так:dyn= yn2−1 ( x )dxyn (0) = 1 ,n = 1, 2, 3,... .В качестве нулевого приближения возьмем y0 ( x) = 1 .

На каждой итерации задача разрешимаЕе точное решение было получено выше (см. пример 2), и имеет вид y ( x) = −при x ∈ [ 0, H ] и ее решение имеет вид:xyn ( x) = 1 + ∫ yn2−1 (ξ ) d ξ .0Проделаем несколько первых итераций:xy1 ( x) = 1 + ∫ 1 d ξ = 1 + x ,0xxy2 ( x) = 1 + ∫ y12 (ξ ) d ξ = 1 + ∫ (1 + ξ ) d ξ = 1 + x + x 2 +0x20x3,32 x 4 x5 x6 x7+ + + .33 9 630Продолжая этот итерационный процесс, мы все точнее будем приближаться к функции∞1y ( x) = ∑ x n =x < 1.,1− xn=0y3 ( x) = 1 + ∫ y22 (ξ ) d ξ = 1 + x + x 2 + x 3 +Упражнение 1.Найдите точное решение задачи Кошиdy= y3 ,dxy (0) = 1 .Методом последовательных приближений Пикара найдите y1 ( x) и y2 ( x) .

Далее с помощьюТеоремы 1 оцените промежуток существования решения и попробуйте построить продолжениерешения на больший интервал.Замечание 4.Рассмотрим задачу Коши (1)dy= f ( x, y ),dxy ( x0 ) = y0в случае, когда функция f ( x, y ) в окрестности точки ( x0 , y0 ) раскладывается в степенной рядf ( x, y ) = ∑∑ f jk ( x − x0 )j ≥0 k ≥0j( y − y0 )k.Такая функция f ( x, y ) называется аналитической. Справедливо следующее утверждение.Теорема 3. Если функция f ( x, y ) аналитическая в окрестности точки ( x0 , y0 ) , то в некоторойокрестности этой точки существует единственное аналитическое решение задачи Коши (1) вида∞y ( x) = y0 + ∑ ck ( x − x0 ) .k =1kЭтот ряд определяет решение задачи Коши лишь при тех значениях переменной x ,которых он сходится.вокрестноститочки( x0 , y0 )встепеннойРазложивf ( x, y )f ( x, y ) = ∑∑ f jk ( x − x0 )j ≥0 k ≥0j( y − y0 )k, подставив в обе части ряд дляприрядy ( x) и приравнявкоэффициенты при одинаковых степенях x − x0 , получим линейную систему уравнений дляопределения коэффициентов ck .

В силу Теоремы 3 эта система имеет единственное решение.Аналогичная теорема имеет место и для задачи Коши для ОДУ n-го порядка,разрешенного относительно старшей производной:y ( n ) = f x, y, y′,… , y ( n −1) ,()y ( x0 ) = y0 , y′( x0 ) = y1 , …. , y (в случае, когда правая частьn −1)( x0 ) = yn −1(f x, y, y′,… , y ( n −1))является аналитической функцией вокрестности точки ( x0 , y0 , y1 ,… , yn −1 ) .Пример 4.Рассмотрим еще раз задачу Кошиdy= y2dx,y (0) = 11(см. пример 2).1− xПостроим ее решение, используя Теорему 3. Обозначив z ( x ) = y ( x) − 1 , для функцииz ( x ) получим задачу Коши:dz2= ( z + 1) = 1 + 2 z + z 2dxz (0) = 0В окрестности точки (0, 0) выполнены все условия Теоремы 3, что позволяет искатьрешение в виде степенного рядаy ( x) =точным решением которой является функция∞z ( x) = ∑ ck x k .k =1Подставив данный ряд в обе части уравнения, получим2⎛ ∞⎞kck x = 1 + 2∑ ck x + ⎜ ∑ ck x k ⎟ .∑k =1k =1⎝ k =1⎠Выпишем несколько первых слагаемых сумм справа и слева:c1 + 2c2 x + 3c3 x 2 + … = 1 + 2c1 x + 2c2 x 2 + 2c3 x 3 + … + c1 x 2 + 2c1c2 x 3 + … .

.Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , найдемc1 = 1, c2 = 1, c3 = 1, …, ck = 1,… .∞∞k −1∞kx,x <1,1− xk =1x1.−1 =y ( x) = z ( x) − 1 =1− x1− xТаким образом, z ( x) = x + x 2 + x3 + .... =∑xk=следовательно,Лекция 4§3.Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметров иначальных условий.10.Постановка задачи.Простейшим примером параметра, от которого зависит решение задачи Кошиdy= f ( x, y ),dxy ( x0 ) = y0 = μявляется начальное значение.

Выбирая различные значения y0 = μ , получаем семействорешений y ( x, μ ) , зависящее от параметра μ .От различных параметров могут зависеть также и правые части уравнения, т.е.f = f ( x, y , μ ) . При этом часто некоторые величины, входящие в правую часть уравнения,определяются экспериментально и, следовательно, известны с погрешностью. Поэтому вопросо непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от параметров важен и спрактической точки зрения.Покажем, что изучение зависимости решения от параметров, содержащихся в правойчасти и начальных условиях, может быть проведено единым образом.

Действительно, если взадаче Кошиdy= f ( x, y )dxy ( x0 ) = y0 = μсделать замену z = y − μ , то для новой функции z получим задачуdz= f ( x, z + μ ) ≡ f ( x , z , μ ),dxz ( x0 ) = 0в которой от параметра теперь зависит правая часть уравнения. Поэтому далее будемрассматривать следующую задачу Коши с параметром в правой части:dy= f ( x, y , μ ).(1)dxy ( x0 ) = y020.Теоремы о непрерывной зависимости решения от параметра.Рассмотрим задачу (1) при следующих условиях.(У1).

Функция f ( x, y , μ ) определена и непрерывна по совокупности переменных в областиD = {| x − x0 | ≤ a, | y − y0 | ≤ b, | μ − μ0 | ≤ c}и, следовательно, ограничена, т.е. существуетпостоянная M = max | f ( x, y , μ | .D(У2). Функция f ( x, y , μ ) удовлетворяет в области D условию Липшицаf ( x, y1 , μ ) − f ( x, y2 , μ ) ≤ N y1 − y2 ,где постоянная N не зависит от параметра μ на отрезке | μ − μ0 | ≤ c .Теорема 1.Пусть выполнены условия (У1) и (У2).⎧ b ⎫Тогда на отрезке [ x0 , x0 + H ] , где H = min ⎨a, ⎬ , существует единственное решение задачи⎩ M⎭(1), непрерывное по параметру μ при | μ − μ0 | ≤ c .этой теоремы дословно повторяет доказательство теоремы существованияДоказательствои единственности решения задачи Коши (см. §2) и основано на равномерной сходимостифункциональной последовательности{ yn ( x, μ )} :xyn ( x, μ ) = y0 + ∫ f (ξ , yn (ξ , μ ), μ ) dξ .x0Замечание.

Результат теоремы очевидным образом обобщается на случай, когда правая частьзависит от нескольких параметров, т.е. μ = {μ1 , μ2 ,..., μm } , среди которых μi = y0 .Теорема 2. Пусть функция f ( x, y , μ ) непрерывна и при каждом | μ − μ0 | ≤ c удовлетворяетусловию Липшица в полосе [ x0 , x0 + a ], y ∈ R .Тогда задача (1) имеет единственное решение на отрезке [ x0 , x0 + a ] , непрерывное попараметру μ .Для доказательства этой теоремы достаточно повторить доказательство теоремы 2 из §2.§4.Теоремы сравнения.

Метод дифференциальных неравенств.10.Постановка задачи.Теоремы сравнения, лежащие в основе принципа сравнения, играют важную роль висследовании различных классов нелинейных задач как для обыкновенных дифференциальныхуравнений, так и для уравнений в частных производных. Они гарантируют существование (апри некоторых естественных требованиях и единственность) решения задач при условиисуществования так называемых верхних и нижних решений. Этот подход в исследованиинелинейных дифференциальных уравнений носит также название метода дифференциальныхнеравенств и является развитием идей метода «вилки» решения нелинейных конечныхуравнений.Указанный метод будет продемонстрирован нами на примере решения задачи Коши дляскалярного ОДУ первого порядка.

Эта задача впервые с точки зрения методадифференциальных неравенств была рассмотрена С.А. Чаплыгиным в начале 20-х годовпрошлого века и положила начало одному из наиболее эффективных методов качественнойтеории нелинейных дифференциальных уравнений. Отметим, что важность этих результатовподчеркивалась одним из основоположников курса дифференциальных уравнений нафизическом факультете МГУ академиком А.Н. Тихоновым, по инициативе которого теоремыЧаплыгина были включены в основной учебник для студентов-физиков [1].Рассмотрим скалярную задачу Коши видаdy0< x≤a= f ( x, y )(1)dxy (0) = y0 .Основной особенностью задачи (1) является то, что она рассматриваетсянафиксированном промежутке времени 0 ≤ x ≤ a и значение a входит в постановку задачи.

Такаяпостановка является естественной для приложений, где задача (1) может выступать в качествематематической модели. Классическая теорема существования (см. Теорему 1 из предыдущейлекции) и единственности, являющаяся локальной и гарантирующая существование решения внекоторой достаточно малой окрестности начальной точки, как правило, становится малопригодной.Напомним формулировки двух теорем, доказанных в предыдущей лекции (см. Теоремы1 и 2 из §2, лекция 3).Теорема 1.Пустьфункцияf ( x, y )определенаинепрерывнавпрямоугольникеD = {0 ≤ x ≤ a, y − y0 ≤ b} и, следовательно, существует постоянная M = max f ( x, y ) .

Пусть,Dкроме того, функция f ( x, y ) удовлетворяет в области D условию Липшица по переменной y :f ( x, y1 ) − f ( x, y2 ) ≤ N y1 − y2 .⎛ b ⎞Тогда на промежутке 0 ≤ x ≤ min ⎜ a, ⎟ задача Коши (1) имеет единственное решение.⎝ M⎠Очевидно, что при больших значениях M сформулированная теорема дает слишкомгрубую оценку промежутка существования решения. Это особенно ярко проявляется для так1f ( x, y ) , где μ называемых сингулярно возмущенных задач, когда правая часть имеет видμмалый параметр.

В этом случае M ∼1μи, следовательно, промежуток существования решения,гарантированный этой теоремой, имеет оценку H ~ μ , т.е. является асимптотически малым.Теорема 2.Пусть функция f ( x, y ) определена, непрерывна и удовлетворяетЛипшица по переменной y в полосе {0 ≤ x ≤ a, − ∞ < y < +∞} .условиюТогда на промежутке 0 ≤ x ≤ a задача Коши (1) имеет единственное решение.Данная теорема уже не является локальной, однако класс функций f ( x, y ) ,удовлетворяющих сформулированным в ней условиям, достаточно узкий. Поэтому во многихслучаях более эффективным для исследования задачи (1) является метод дифференциальныхнеравенств Чаплыгина. Изложение этого подхода начнем со следующего классическогорезультата.20.Теорема Чаплыгина о дифференциальных неравенствах.Теорема 3 (сравнения, Чаплыгина).Пусть существует классическое решение y( x) задачи (1) и существует функция z ( x) такая,чтоdzz ( x) ∈ C1 ( 0; a ] ∩ C [ 0; a ] ,z (0) < y0 и< f ( x, z ( x)), x ∈ ( 0; a ] .dxТогда при всех x ∈ [0; a] имеет место неравенство z ( x) < y( x) .Доказательство.