Н.Н. Нефедов, В.Ю. Попов, В.Т. Волков - Дифференциальные уравнения. Курс лекций, страница 2

Убедитесь в••••том, что сделав замены x1 = x , x2 = x , уравнению x + 2γ 0 x + ω02 x = 0 можно сопоставитьэквивалентную систему дифференциальных уравнений⎧•⎪ x1 = x2 ,⎨•⎪⎩ x2 = −2γ 0 x2 − ω02 x1.Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения.В нашем курсе мы, как правило, будем обозначать значения неизвестной функции либобуквой x , тогда независимой переменной будет t , либо буквой y , тогда независимойпеременной будет x . Мы будем также использовать сокращенные обозначения⎛ • ••⎞или J n y = y, y′, y′′,… , yx( n ) .J n x = ⎜ x, x, x, … , xt( n ) ⎟ ,⎝⎠В этом случае произвольное ОДУ с одной неизвестной функцией может быть записано в видеF t, J n x = 0 ,илиF x, J n y = 0(())()Определение 3.Порядком дифференциального уравнения называетсяпорядок входящей в него производной.F x, J 2 y ≡ F ( x, y, y′, y′′ ) = 0–ОДУ 2-го порядка.Например,(наивысший)Определение 4.Уравнением,называется ОДУ видаразрешеннымотносительно(старшейпроизводной,)y ( n ) ( x) = f x, J n −1 y .Определение 4а.

ОДУ, разрешенное относительно старшей производной, правая частькоторого не содержит явно независимой переменной, называется автономным, т.е.y ( n ) ( x) = f J n −1 y .()Определение 5.Нормальной системой ОДУ называют систему дифференциальныхуравнений первого порядка вида⎧ y′1 = f1 ( x, y1 , , yn ),⎪ ′⎪ y 2 = f 2 ( x, y1 , , yn ),,⎨,⎪⎪⎩ y′n = f n ( x, y1 , , yn )или векторной формеy′( x) = f ( x, y ) ,⎛ y1 ( x ) ⎞⎜⎟y2 ( x ) ⎟⎜,y ( x) =⎜ … ⎟⎜⎜⎟⎟⎝ yn ( x ) ⎠где⎛ y1′ ( x ) ⎞⎜⎟y2′ ( x ) ⎟⎜,y′( x) =⎜ … ⎟⎜⎜⎟⎟⎝ yn′ ( x ) ⎠⎛ f1 ( x, y1 , , yn ) ⎞⎜⎟f ( x, y1 , , yn ) ⎟.f ( x, y ) = ⎜ 2⎜⎟…⎜⎜⎟⎟⎝ f n ( x, y1 , , yn ) ⎠Замечание. Если правая часть нормальной системы ОДУ не содержит явно независимойпеременной, то ее называют динамической системой.Подчеркнем характерную особенность обыкновенных дифференциальных уравнений,отличающую их от прочих уравнений, содержащих производные неизвестных функций: всенеизвестные должны быть функциями одного вещественного аргумента; все они и ихпроизводные должны входить в уравнение только в виде своих значений в одной и той жепеременной точке, которая также может фигурировать в уравнении.Примеры дифференциальных уравнений, не являющихся ОДУ:1)•x ( t ) = x ( 2t ) ;•x ( t ) = x ( t − 1) –разностное уравнение;2)3)•уравнение с запаздывающим аргументом или дифференциально-tx ( t ) = ∫ x (τ ) dτ –интегро-дифференциальное уравнение.t0Определение 6.Если в ДУ неизвестная функция зависит от нескольких переменных, тотакое уравнение называют дифференциальным уравнением в частных производных.Примеры дифференциальных уравнений в частных производных.1)( A ( r ) , grad u ( r ) ) = F ( r , u ) – уравнение в частных производных 1-го порядка.2)∂ 2u ( r , t )– уравнение колебаний (волновое= div ( k ( r , u, t ) grad u ( r , t ) ) + F ( r , u , t )∂t 2уравнение) – уравнение в частных производных 2-го порядка.3)∂u ( r , t )–уравнениедиффузии,= div ( k ( r , u , t ) grad u ( r , t ) ) + F ( r , u , t )∂t(теплопроводности, Шрёдингера и т.д.) – уравнение в частных производных 2-гопорядка.4)div ( k ( r , u ) grad u ( r ) ) = − F ( r , u ) – уравнение Пуассона (Лапласа, если F ≡ 0 )уравнение в частных производных 2-го порядка.5)∂f ( r , v , t )∂f e ⎛1⎞ ∂f+ v + ⎜ E + ⎣⎡v , B ⎦⎤ ⎟ = 0∂t∂r m ⎝c⎠ ∂vуравнение в частных производных 1-го порядка.–– уравнение Власова-Максвелла –§2.Общее решение дифференциального уравнения, общий интеграл.Определение 7.Решением ДУобращающих уравнение в тождество.называютфункцию,илисовокупностьфункций,Определение 8.Частное решение ДУ– конкретная функция, удовлетворяющаяуравнению.Например, для ОДУ y′′( x) + 4 y( x) = 0 частными решениями будут функции y1 = π sin 2 x ,y2 = 2 cos 2 x , y3 = 3sin ( 2 x + π / 4 ) , y4 = 4 cos ( 2 x − π / 6 ) и т.д.Множество решений ОДУ n -го порядка зависит от n произвольных постоянных.Например, множество решений уравнения y′ = f ( x) есть y = F ( x) + C , где F ( x) — некотораяпервообразная функции для f ( x ) , C – произвольная постоянная.Множество решений уравнения в частных производных 1-го порядка определено сточностью до произвольной функции.∂u ∂uНапример, множеством решений уравнения−= 0 является u = f ( x + y) (проверьте∂x ∂yсамостоятельно), где f – произвольная дифференцируемая функция, например u = ( x + y ) m ,u = cos( x + y) , u = sin e x+ y и т.д.Определение 9.Общимрешениемдифференциальногоуравненияназываетсясовокупность всех его решений.Например, общим решением ОДУ y′′( x) + 4 y( x) = 0 является функция y = C1 sin 2 x + C2 cos 2 x ,или (что одно и то же) y = A sin ( 2 x + ϕ ) , где C1 , C2 , A , ϕ– произвольные постоянные.Определение 10.Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называютинтегрированием ОДУ.Определение 11.Еслиуравнение()Φ x, y , C = 0 ,гдеC = ( C1 , C2 ,…, Cn )–векторпроизвольных параметров, определяет все множество решений соответствующего ДУ, то егоназывают общим интегралом данного ДУ, а полученное из него параметрическое семействорешений также называют общим решением.Замечание.

Определенное в 11 общее решение является более узким, по сравнению с 9,поскольку возможны еще особые решения, которые не входят в это семейство ни при какихзначениях параметров.2dyПример.Рассмотрим уравнение= y 3 . Проверьте, что его общим решением являетсяdx3⎛ x+C ⎞функция y = ⎜⎟ , а функция y = 0 будет особым решением. Графическая иллюстрация⎝ 3 ⎠приведена на рис. 1.32dy⎛ x+C ⎞Рис. 1.= y3 , y = ⎜⎟ , y=0dx⎝ 3 ⎠В ряде случаев задача интегрирования ОДУ первого порядка сводится к исследованиюсоответствующей неявной функции с помощью первого интеграла.Определение 12.Функция F ( x, y ) , определенная в области G ⊂ R 2 и не равная в нейпостоянной функции, называется первым интегралом ОДУ первого порядка, если для любогорешения y = ϕ ( x ) этого уравнения, график которого лежит в области G , и для любыхx ∈ ( a, b) существует такая постоянная C такая, что F ( x, ϕ ( x )) = C .Определение первого интеграла естественным образом переносится на системы,например, на динамические системы.Определение 13.Функция V ( x), {V : R n → R} , определенная и непрерывная в областиD ⊂ R n и не равная постоянной, называется первым интегралом динамической системыdx= f ( x)dtв области D , если для любого решения x = ϕ (t ) этой системы существует постоянная C такая,что V ( x (t )) = C для всех t ∈ ( a, b) .Аналогично формулируется определение первого интеграла для уравнения n − гопорядка.Определение 14.((Если для любого решения ОДУ y = ϕ ( x ) существует функция F x, J ( p ) y)())такая, что F x, J ( p )ϕ ( x ) = const при всех x , то такая функция F x, J ( p ) y называется первыминтегралом ОДУ.В физических задачах первыми интегралами могут быть энергия, импульс, моментинерции, масса, заряд и т.д.

Некоторые примеры даны в таблице.1.УравнениеОбщий интегралОбщее решениеy′ = f ( x)y − ∫ f ( x ) dx − C = 0y = ∫ f ( x ) dx + CЧастноерешениеxy=∫ f (ξ )dξПервыйинтегралF = consty − ∫ f ( x ) dxx02.y′ = −3.xy••x + ω02 x = 0y 2 + x2 − C = 0y 2 + x2 = Cy2 + x2 = 1x − C1 cos ω0t + C2 sin ω0t = 0 x = C1 cos ω0t + C2 sin ω0t x = cos ω0tили x − A sin (ω0t + ϕ ) = 0или x = A sin (ω0t + ϕ )y2 + x22⎛•⎞2 2⎜ x ⎟ + ω0 x⎝ ⎠Об интегрировании ОДУ в квадратурах.Выражение общего решения или полногоинтеграла через элементарные функции и интегралы от них (берущихся или не берущихся вэлементарных функциях) называют интегрированием данного ОДУ в квадратурах.Интегрирование в квадратурах допускают лишь уравнения некоторых простейших типов.Большинство же ОДУ можно решать только приближенно или исследовать их качественнымиметодами, то есть методами, позволяющими выяснять свойства решений без явного ихотыскания.

Качественные и приближенные методы составляют основное содержаниесовременной теории обыкновенных дифференциальных уравнений.Пример 1.ДвижениематериальнойточкимассыmподдействиемсилыF ( r ) = { Fx ( x ) , Fy ( y ) , Fz ( z )} , которая зависит только от положения точки (не зависит явно отвремени), а каждая декартова проекция силы зависит только от соответствующей проекциирадиуса–вектора. Уравнения движения имеют вид••m r = F (r )или в координатах••••••m x = Fx ( x ) ,m y = Fy ( y ) ,m z = Fz ( z ) .Общее решение этих уравнений может быть получено в квадратурах.

Рассмотрим,например первое из них и проделаем следующие выкладки••m x = Fx ( x )222•1 d ⎛•⎞1dx221⎛•⎞⎛•⎞x=Fx=>dx=Fxdx=>x x = Fx ( x ) x =>()()⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ x ⎟ = ∫ Fx ( x ) dx + C1xx2 dt ⎝ ⎠mdtmmm⎝ ⎠⎝ ⎠• ••1/ 2•⎛2⎞x = ± ⎜ ∫ Fx ( x ) dx + C1 ⎟⎝m⎠1/ 2=>dx⎛2⎞= ± ⎜ ∫ Fx ( x ) dx + C1 ⎟dt⎝m⎠t + C2 = ± ∫=> dt = ±dx1/ 2⎛2⎞⎜ ∫ Fx ( x ) dx + C1 ⎟⎝m⎠.Если заданы начальные условия••x ( t0 ) = x0 , x ( t0 ) = x 0 ,то решение задачи Коши выражается в квадратурах и имеет видdx1/ 2⎛2⎞⎜ ∫ Fx ( x ) dx + C1 ⎟⎝m⎠xt − t0 = ± ∫dξ.1/ 2ξ• ⎞x0 ⎛ 2⎜ ∫ Fx (η ) dη + x02 ⎟⎜mx⎟⎝ 0⎠Пример 2.Решение уравнения y′ = y 2 − x нельзя записать в виде интеграла от элементарнойфункции, т.е.

в квадратурах.§3.Постановка основных задач для обыкновенных дифференциальныхуравнений. Дополнительные условия.Наряду с ОДУ для постановки задач используют начальные и граничные условия,количество и вид которых определяются «физической» постановкой задачи.10.Начальная задача (задача Коши) (Огюстен Луи Коши (1789-1857) - французский математик):(n)y ( x) = f x, J n −1 y(J n −1 y ( x0 ) = Y 0)–начальные условия( y( x ) = Y , y′( x ) = Y ,…, y(000001n −1)( x0 ) = Yn0−1Пример 1.Рассмотрим задачу Коши:2⎫dy3= y3 ⎪⎛ x+3⎞⇒y=dx⎬⎜⎟ – решение задачи существует и единственно.3⎝⎠y (0) = 1 ⎭⎪Пример 2.Рассмотрим задачу Коши:2⎫dy3= y3 ⎪⎛ x⎞y = 0 – решение задачи существует, но не единственно.dx⎬ ⇒ y=⎜ ⎟ ,⎝3⎠⎪y (0) = 0 ⎭20.Краевая задача (2-х точечная):y′′( x) = f ( x, y, y′ ) ,граничные условия первого рода (задача Дирихле):граничные условия второго рода (задача Неймана):x ∈ ( a, b )y ( a ) = ya ,y′(a ) = ya ,y (b) = yb ;y′(b) = yb ;граничные условия третьего рода:y′(a) + α y ( a ) = ya ,y′(b) + β y (b) = yb ;периодические граничные условия:y (a) = y ( b ) ,y′(a) = y′ ( b )Пример 1.Рассмотрим краевую задачу:2⎫d y= 1, x ∈ ( 0,1) ⎪2dx⎬ ⇒ y = x (1 − x ) – решение задачи существует и единственно.y (0) = 0, y (1) = 0 ⎪⎭Пример 2.Рассмотрим краевую задачу:2⎫d y= 1, x ∈ ( 0,1) ⎪2dx⎬ – решение задачи не существует.y′(0) = 0, y ′(1) = 0 ⎪⎭)Пример 3.Рассмотрим краевую задачу:2⎫d y= 0, x ∈ ( 0,1) ⎪2dx⎬ ⇒ y = C – задача имеет бесконечное множество решений.y ′(0) = 0, y ′(1) = 0 ⎪⎭30.Периодическая задача.В общем случае задача о периодических решениях – это•задача о нахождении T -периодического решения уравнения x = f ( t , x ) с T -периодической попеременной t правой частью: f ( t , x ) = f ( t + T , x ) .