Н.Н. Нефедов, В.Ю. Попов, В.Т. Волков - Дифференциальные уравнения. Курс лекций, страница 3

Эта задача весьма важна в приложениях,поскольку такие решения описывают периодические колебательные процессы в реальныхсистемах, например в механических и электрических устройствах.40.Задача Штурма-Лиувилля (краевая задача на собственные значения).Оператором Штурма-Лиувилля называется дифференциальный оператор 2-го порядкаd ⎛dy ⎞Ly = ⎜ p ( x ) ⎟ − q ( x ) y , где коэффициенты p( x) ∈ C1[a, b], p( x) > 0 , q( x) ∈ C[a, b], q( x) ≥ 0 .dx ⎝dx ⎠Поставим вопрос: при каких значениях параметра λ существует нетривиальное решениекраевой задачи ( α12 + α 22 ≠ 0, β12 + β 22 ≠ 0 )Ly + λρ ( x) y = 0⎧,⎨β1 y (b) + β 2 y′(b) = 0⎩α1 y (a) + α 2 y′(a ) = 0,где ρ ( x) ∈ C[a, b], ρ ( x) > 0 .Такая задача называется краевой задачей на собственные значения и собственныефункции для оператора Штурма-Лиувилля (сокращенно – задача Штурма-Лиувилля); числаλn , при которых существуют нетривиальные решения, называются собственнымизначениями, а соответствующие нетривиальные решения – собственными функциями.Пример.Найти собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля⎧ y′′ + λ y = 0, x ∈ ( 0, l ).⎨⎩ y (0) = 0, y (l ) = 0Решение.

В случае λ = − μ 2 < 0 имеем общее решение y ( x) = C1e μ x + C2 e − μ x . Учитываяграничные условия, получаем единственное решение y ( x) = 0 , т.е. собственных функций (исобственных значений) нет.y( x) = C1 x + C2 . С учетомВ случае λ = 0 общее решение рассматриваемого уравненияграничных условий получаем y ( x) = 0 – нет собственных функций.Пусть λ = μ 2 > 0 , тогда общее решение уравнения имеет вид y ( x) = C1 sin μ x + C2 cos μ x .Дополнительные условия дают y (0) = 0 ⇒ C2 = 0 , y (l ) = 0 ⇒ C1 sin μ l = 0 , откуда получаем2⎛πn ⎞, n ∈ N .

Следовательно, искомые собственные значения λn = μ n2 = ⎜⎟ ,l⎝ l ⎠πnx.n ∈ N , а отвечающие им собственные функции имеют вид yn ( x) = C sinlsin μ l = 0 ⇒ μ n =πnВ курсе интегральных уравнений будет доказано следующее утверждение.Теорема (Стеклова).Любая функция f ( x) ∈ C 2 [a, b] , удовлетворяющая однороднымкраевым условиям, представима в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда Фурье поортонормированной с весом ρ ( x) системе собственных функций yn ( x) задачи ШтурмаЛиувилля (с теми же краевыми условиями)∞f ( x ) = ∑ f n yn ( x ) ,n =1bгде коэффициенты Фурье определяются формулой f n = ∫ f ( x) yn ( x ) ρ ( x) dx .a§4.Геометрическая интерпретация ОДУ.Графики решенийотносительно производнойy = y ( x)скалярногоОДУпервогопорядка,разрешенногоy ′ = f ( x, y ) ,(1)называются его интегральными кривыми.

В геометрических терминах данное уравнениевыражает следующий факт: кривая на (x, y)-плоскости является его интегральной кривой в томи только том случае, когда в любой точке (x0, y0) этой кривой она имеет касательную сугловым коэффициентом k = f(x0, y0).Таким образом, зная правую часть уравнения (1), можно заранее построить касательныеко всем интегральным кривым во всех точках: для этого каждой точке (x0, y0) нужносопоставить проходящую через нее прямую с угловым коэффициентом k = f(x0, y0).

Полученноесоответствие между точками плоскости и проходящими через нее прямыми, называется полемнаправлений уравнения (1).Конечно, фактически поле направлений можно построить лишь в виде достаточногустой сетки отрезков с отмеченными на них точками. После этого задача построенияинтегральных кривых становится похожей на отыскание нужного пути в большом парке,снабженном густой сетью стрелок-указателей.Метод изоклин. Построение поля направлений значительно облегчается предварительнымнахождением изоклин – кривых на (x, y)-плоскости, вдоль которых угловой коэффициент kсохраняет неизменное значение. Уравнение изоклин имеет вид f ( x, y ) = k . Вдоль изоклинотрезок,принадлежащийполюнаправлений,переноситсяпараллельносвоемупервоначальному положению: переход к другой изоклине осуществляется изменением k ипостроением отрезка с новым угловым коэффициентом.Например, для уравнения y′ = x 2 + y 2 изоклины описываются уравнением x 2 + y 2 = k ипредставляют собой семейство концентрических окружностей с центром в начале координат.На рисунке изображены изоклины (синим цветом), поля направлений (черные стрелки) иинтегральные кривые (красные линии).Лекция 2§5.Примеры задач, приводящих к ОДУ.Пример 1: нормальное размножение.

Пусть x — количество особей в некоторойбиологической популяции (например, количество рыб в пруду). При нормальных условиях:достаток пищи, отсутствие хищников и болезней, — скорость размножения пропорциональначислу особей:•x = kx,k > 0.Решение с начальным условием x(t0 ) = x0 имеет вид x(t ) = x0eотношениеx(t + T )= ekTx (T )k ( t −t0 ). Заметим, что при всех T > 0не зависит от x0 и t . Для населения Земли известен период удвоения T ≈ 40 лет, и можноln 2определить коэффициент k из соотношения ekT = 2 , т.е.

k =.TПример 2: радиоактивный распад. Пусть x – количество радиоактивного вещества. Тогдаскорость распада будет пропорциональна количеству этого вещества, т.е.:•x = kx,k <0 .Как и в примере 1, решением с начальным условием x(t0 ) = x0 будет функция x(t ) = x0e ( 0 ) .Время, необходимое для уменьшения количества радиоактивного вещества вдвое, называется1ln 2периодом полураспада и определяется из уравнения e kT = , т.е.

T = −. Для радия-226 он2kсоставляет 1620 лет, для урана-238 – 4,5 ⋅109 лет.k t −tПример 3: взрыв. В физико-химических задачах часто встречается ситуация, когда скоростьреакции пропорциональна концентрации обоих реагентов. В задачах динамики популяций внекоторых случаях скорость прироста также пропорциональна не количеству особей, аколичеству пар, т.е.•x = kx 2 ,k >0 .В данном случае рост решения происходит гораздо быстрее экспоненциального, и величинаx(t ) неограниченно возрастает за конечное время: интегральная кривая решения с начальнымусловием x(0) = x0 описывается формулой⎧⎪⎪x(t ) = ⎨⎪⎩⎪11,⋅k 1 −tkx00,и имеет вертикальную асимптоту ("момент взрыва")x0 ≠ 0x0 = 0t=1.kx0Пример 4: уравнения Лагранжа для механических систем. Рассмотрим систему из Nсвободных материальных точекс массами m j , j = 1, 2,..., N .

Пусть в некоторойAjдекартовой инерциальной системе координат (т. е. в такой, где справедлив второй законНьютона) радиус-вектор точки A j есть rj = rj ( t ) . Тогда ее скорость и ускорение вычисляются•••как производные от rj (t ) : v j = rj ( t ) , a j = rj ( t ) . Допустим, что сумма всех внешних ивнутренних сил, приложенных кA j , есть вектор-функция•⎛Fj = Fj ⎜ t , r , r⎝⎞⎟,⎠где⎛⎞r = ⎜ r1 , r2 , … , rN ⎟ .

Тогда данная механическая система описывается, согласно второму закону⎝⎠Ньютона, задачей Коши для системы ОДУ:•••⎛⎞(1)m j rj = F j ⎜ t , r , r ⎟ ,⎝⎠•rj (t0 ) = rj0 , rj (t0 ) = v j0j = 1, 2,..., N .Таким образом, второй закон Ньютона дает общий метод описания механических систем спомощью дифференциальных уравнений.Пусть на систему наложены связи (например, точки соединены жесткими стержнямипренебрежимо малой массы и т.

п.) Тогда 3N -мерная точка r , изображающая мгновенноеположение всей системы, уже не может принимать произвольное положение в пространствеR3N, а в каждый момент времени t принадлежит некоторому множеству Kt ⊂ R3N,называемому конфигурационным многообразием данной механической системы.Мы будем предполагать, что конфигурационное многообразие допускает следующееописание. Пусть t0 ∈ R, r0 ∈ Kt . Тогда должны существовать окрестность U ⊂ R точки t0 иокрестность V ⊂ R3N точки r0 такие, что для любого t ∈U любая точка r ∈ Kt ∩ V однозначнозаписывается в виде0r = r (t, q ) ,где функция r ( t , q ) определена по переменнойnR(2)q = ( q1 , q2 ,..., qn ) на открытом множестве Q ⊂(n ≤ 3N), дважды непрерывно дифференцируема по совокупности переменных и∂r ( t , q )имеет максимально возможный ранг n .∂qвектора q , которые по заданным t ∈U и r ∈ Kt ∩ V находятсяневырождена, т.е. (3 N × n) - матрица ЯкобиКоординаты( q1 , q2 ,..., qn )однозначно, называются локальными обобщенными, или лагранжевыми координатами точки r.

Выбор локальных обобщенных (или просто обобщенных) координат, конечно, неоднозначен.Число n называется размерностью конфигурационного многообразия.Для системы со связями в правых частях уравнения (1) появляются неизвестные заранеесилы реакции связей. Если связи идеальны, (т. е. соответствующие силы реакции не производятработы), то задача, тем не менее, остается динамически определенной, так как уравнения связей(2) дают необходимую дополнительную информацию. Однако практически бывает удобнорассматривать вместо (1), (2) эквивалентную ей систему уравнений Лагранжа второго рода,записанную непосредственно в обобщенных координатах ( q1 , q2 ,..., qn ) и не содержащую силреакции связей.

Вывод уравнений Лагранжа дается в курсе теоретической механики, здесь мытолько опишем алгоритм построения этих уравнений, состоящий из трех шагов.1) Выражение кинетической энергии системы через обобщенные координаты:⎛⎞m jv∂ rj ∂ rj • ⎟1⎛ ⎞ 1⎜T =∑= ∑ m j ⎜ rj ⎟ = ∑ m j ⎜+q22 j =1 ⎝ ⎠2 j =1 ⎜ ∂t∂q ⎟⎟j =1⎝⎠N2) Вычисление обобщенных сил:2jN•2N2N∂ rjj =1∂qiQi = ∑ F ji = 1, 2,..., n .,3) Выписывание уравнений Лагранжа:d ∂T ∂T−= Qi ,dt ∂ q• ∂ qiii = 1, 2,..., n .Пример 5: гармонический осциллятор и математический маятник.