Н.Н. Нефедов, В.Ю. Попов, В.Т. Волков - Дифференциальные уравнения. Курс лекций

Глава 1.ВведениеЛекция 1§1.Понятие дифференциального уравнения. Основные определения.§2.Общее решение дифференциального уравнения, общий интеграл.§3.Постановка основных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.Дополнительные условия.10 .20 .30.40.§4.Начальная задача (задача Коши).Краевая задача.Периодическая задача.Задача Штурма-Лиувилля (краевая задача на собственные значения).Геометрическая интерпретация обыкновенного дифференциального уравнения.Лекция 2§5.Примеры физических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.Глава 2.§1.Уравнения первого порядкаПростейшие случаи интегрирования дифференциальных уравнений первогопорядка.10 .20.30.40Уравнения с разделяющимися переменными и приводимые к ним.Линейное уравнение первого порядка.Уравнение Бернулли, уравнение Риккати.Уравнения в полных дифференциалах.Лекция 3§2.Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения.10 .20 .30 .40.50.Постановка задачи.

Основной результат.Доказательство существования решения задачи Коши.Единственность решения задачи Коши.Теорема существования и единственности решения задачи Коши в случае, когдаправая часть уравнения непрерывна и удовлетворяет условию Липшица в полосе.Замечания. Примеры. Упражнения.Лекция 4§3.Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметров и начальныхусловий.10.20 .Постановка задачи.Теоремы о непрерывной зависимости решения от параметра.§4.Теоремы сравнения. Метод дифференциальных неравенств.10.20 .30 .40 .Постановка задачи.Теорема Чаплыгина о дифференциальных неравенствах.Теорема Чаплыгина о существовании и единственности решения задачи Коши.Примеры.Лекция 5§5.Теоремы существования и единственности решения задачи Коши длянормальной системы ОДУ.10 .20 .30 .40.Постановка задачи.Доказательство существования решения (метод последовательныхприближений).Доказательство единственности решения.Теорема существования и единственности решения задачи Коши в случае, когдаправая часть непрерывна и удовлетворяет условию Липшица в полосе.§6.Уравнения n –го порядка, разрешенные относительно старшей производной.§7.Замечания, примеры, упражнения.Глава 3.Линейные уравнения n-го порядкаЛекция 6§1.Общие свойства.10 .20.Теорема существования и единственности решения задачи Коши.Некоторые следствия линейности уравнения.§2.Линейное однородное уравнение.§3.Неоднородное линейное уравнение.10 .20 .30 .§4.Общее решение неоднородного уравнения.Функция Коши.Метод вариации постоянных.Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.10 .20 .Глава 4.Общее решение однородного уравнения.Неоднородное уравнение.Системы линейных уравненийЛекция 7§1.Общие свойства.§2.Однородная система.10.20 .10 .§ 3.Линейная зависимость системы вектор-функций.

Определитель Вронского.ФСР однородной системы и ее свойства.Общее решение однородной системы.Неоднородная система.10 .20 .Метод вариации постоянных, матрица Коши.Метод исключения для системы линейных дифференциальных уравнений.§ 4.Некоторые приемы, упрощающие решение линейных дифференциальныхуравнений и систем.§ 5.Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами.10.20 .Однородная система линейных уравнений с постоянными коэффициентами:а) структура ФСР в случае простых собственных значений матрицы системы;б) структура ФСР в случае кратных собственных значений матрицы системы.Неоднородная система линейных уравнений с постоянными коэффициентами.Глава 5.Краевые задачиЛекция 8§1.Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка.10.20 .30 .40.50.Постановка задачи.Формулы Грина.

Тождество Лагранжа.Теорема единственности решения неоднородной краевой задачи.Теорема о достаточных условиях единственности решения неоднороднойкраевой задачи.Функции Грина и ее свойства.Лекция 9§ 2.Нелинейные краевые задачи10 .20 .30 .40.Постановка задачи.Существования решения в случае ограниченной правой части (метод стрельбы).Теорема Нагумо.Примеры.Глава 6.Основы теория устойчивостиЛекция 10§ 1.Постановка задачи.

Основные понятия.§ 2.Однородная система линейных дифференциальных уравнений с постояннымикоэффициентами. Устойчивость тривиального решения.§ 3.Второй метод Ляпунова. Лемма Ляпунова.§ 4.Исследование на устойчивость по первому приближению (первый методЛяпунова). Теорема Ляпунова.§5.Применение теорем Чаплыгина в некоторых задачах теории устойчивости.Лекция 11§ 6.Классификация точек покоя линейной системы двух уравнений с постояннымидействительными коэффициентами.§ 7.Консервативная механическая система с одной степенью свободы.§8.Фазовая плоскость для нелинейного автономного уравнения 2-го порядка.10.20 .30.40 .Постановка задачи.Система первого приближения.Фазовые траектории.Примеры решения задач.Глава 7.Понятие об асимптотических методахЛекция 12§1.Понятие регулярно и сингулярно возмущенных задач.10.20.§ 3.Регулярные возмущения.Сингулярные возмущения.

Теорема Тихонова.Асимптотическое разложение решения по малому параметру.10.Регулярно возмущенная задача.Сингулярно возмущенная задача.20.Глава 8.Дифференциальные уравнения в частных производныхпервого порядкаЛекция 13§1.Линейные однородные уравнения.10.20.30.40.§2.Характеристическая система, характеристики, первые интегралы.Теорема о взаимосвязи первого интеграла характеристической системы ирешения линейного однородного уравнения.Теорема об общем решении линейного однородного уравнения.Задача Коши – постановка и схема решения в двумерном и общем случаях.Квазилинейные уравнения.10.20.Теорема о решении квазилинейного уравнения.Задача Коши – постановка и схема решения.Глава 9.Численные методыЛекция 14§1.Основные понятия.10.20.30.40.50.60.70.Понятие разностной схемы.Разностная схема Эйлера для начальной задачи.Разностная схема для краевой задачи.Сходимость разностной схемы.Аппроксимация разностной схемы.Порядок аппроксимации разностной схемы Эйлера и разностной схемы длякраевой задачи.Устойчивость разностной схемы.§2.Теорема о связи аппроксимации, устойчивости и сходимости разностной схемы.§3.Устойчивость схемы Эйлера.§4.Понятие о методе прогонки.Глава 1.

ВведениеЛекция 1§1.Понятие дифференциального уравнения. Основные определения.Определение 1.Дифференциальным уравнением (ДУ) называют уравнение, в которомнеизвестная функция находится под знаком производной или дифференциала.Определение 2.Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то уравнениеназывают обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).Примеры.1)Задачу отыскания всех первообразных y( x) для заданной функции f ( x) ∈ C [ a, b] можноdy= f ( x) . Как известно из курса математического анализа, этоdxуравнение имеет на [ a, b ] однопараметрическое семейство решений вида y ( x, C ) = F ( x ) + C ,записать в виде ОДУ y′ ≡где F ( x ) – одна из первообразных функции f ( x) , а C ∈ R – вещественный параметр.2)Замечательным свойством функции y ( x) = e x является равенство ее своей производной,что позволяет для этой функции записать ОДУ вида y′ = y , решениями которого будут всефункции вида y ( x) = Ce x .

Проверьте это самостоятельно.3)Поскольку первая производная координаты по времени в механике называетсяскоростью, то ОДУ, описывающее прямолинейное равномерное движение со скоростью v ,•dxвыглядит как x ≡= v , а его решение, удовлетворяющее начальному условию x ( t0 ) = x0 ,dtимеет вид x ( t ) = x0 + v ( t − t0 ) .Аналогично, ОДУ для прямолинейного равноускоренного движения с ускорением a••d 2xзаписывается в форме x ≡ 2 = a , а его решение, удовлетворяющее начальным условиямdt4)a ( t − t0 )x ( t0 ) = x0 , x ( t0 ) = v0 имеет вид x ( t ) = x0 + v0 ( t − t0 ) +.25)Если в уравнении окружности x 2 + y 2 = R 2 переменные2•xиy считатьдифференцируемыми функциями x = x ( t ) , y = y ( t ) параметра t , то после дифференцированияобеих частей равенства получится ОДУ семейства всех окружностей с центром в началекоординат:dyxdxdyxdx + ydy = 0 ,илиили=− .x +y=0,dxydtdtЛегко проверить, что одним из решений этих уравнений является пара функций x = R sin t ,y = R cos t .

Видно, что это пара функций является также решением следующей системыдифференциальных уравнений:⎧•⎪ x = y,⎨•⎩⎪ y = − x.6)••Уравнение малых линейных свободных колебаний без затухания имеет вид x + ω02 x = 0 .Проверьте,чтоегорешениемявляетсяфункцияx ( t ) = C1 cos ω0t + C2 sin ω0t ,или•••x ( t ) = A sin (ω0t + ϕ ) . Убедитесь в том, что сделав замены x1 = x , x2 = x , уравнению x + ω02 x = 0можно сопоставить эквивалентную систему дифференциальных уравнений⎧•⎪ x1 = x2 ,⎨•⎪⎩ x2 = −ω02 x1.7)••Уравнение•x + 2γ 0 x + ω02 x = 0 ,малыхлинейных0 < γ 0 < ω0 .свободныхПроверьте,затухающихчтоегоколебанийрешениемимеетявляетсявидфункцияx ( t ) = e −γ 0t ( C1 cos ωt + C2 sin ωt ) , или x ( t ) = Ae−γ 0t sin (ωt + ϕ ) , где ω = ω02 − γ 02 .