Н.Н. Нефедов, В.Ю. Попов, В.Т. Волков - Дифференциальные уравнения. Курс лекций, страница 4

Составим уравненияЛагранжа для двух конкретных механических систем, изображенных на рисунке.Гармонический осциллятор – это грузик на гладком стержне, поддерживаемый с двух концовпружинами. Для него в качестве единственной обобщенной координаты q можно взятьдекартову координату q = x ; для маятника естественно выбрать q = ϕ . Тогда уравнения (2)для этих систем запишутся в видеосциллятор:r = ( x, 0, 0 ) ;маятник:r = ( l sin ϕ , 0, −l cos ϕ ) .Для маятника эта функция взаимно однозначна при ϕ ∈ (−π , π ) или при ϕ ∈ (0, 2π ) (двелокальные системы координат).Кинетическая энергия этих механических систем вычисляется по формулам21 ⎛i⎞осциллятор:T = m⎜ x⎟ ;2 ⎝ ⎠21⎛i⎞T = ml 2 ⎜ ϕ ⎟ ,2⎝ ⎠маятник:а обобщенные силы – по формуламосциллятор:F = ( −kx, 0, 0 ) ,маятник:F = ( 0, 0, − mg ) ,∂r= (1, 0, 0 ) ,∂x∂r= ( l cos ϕ , 0, l sin ϕ ) ,∂ϕ∂r= − kx ;∂x∂rQ=F= − mgl sin ϕ∂ϕQ=FДалее:Осциллятор:∂T•∂q=∂T•∂x•= mx,∂T ∂T== 0.∂q ∂x••m x = − kx ,Уравнение движения∂TМаятник:•∂q=∂T•∂ϕ••m x + ω02 x = 0 ,илиk.mω0 =g.l∂T ∂T== 0.∂q ∂ϕ•= ml 2 ϕ ,••••ml 2 ϕ = −mgl sin ϕ , илиУравнение движенияω0 =ϕ + ω02 sin ϕ = 0 ,Если ϕ << 1 , то sin ϕ ≈ ϕ , и ϕ + ω02ϕ = 0 – линеаризованное уравнение колебаний.Если длина стержня маятника изменяется во времени, т.е.будет иметь видПример 6:рисунке.••ϕ+•2l •ϕ + ω 2 ( t ) sin ϕ = 0 , гдеlω (t ) =gl (t )l = l (t ) , то уравнение движения(получите это самостоятельно).уравнение RLCE-контура.

Рассмотрим электрическую цепь, изображенную наОна состоит из четырех двухполюсников: сопротивления R, индуктивности L, емкости C иисточника ЭДС E. Если для двухполюсника A произвольно выбрать положительноенаправление, то в любой момент времени ему можно сопоставить две величины: напряжение uA(вольт) и ток iA (ампер). При смене положительного направления они меняют знак.

Каждый издвухполюсников описывается определенным уравнением:dudiu E = −e ( t ) .u R = RiR ,C C = iC ,L L = uL ,dtdtНеотрицательные параметры R (ом), L (генри) и C (фарада) называются, как и самидвухполюсники, сопротивлением, индуктивностью и емкостью; заданная функция e(t)характеризует источник ЭДС. Соединения двухполюсников в цепь описываются двумязаконами Кирхгофа.Первый закон Кирхгофа гласит: сумма токов, втекающих в любой узел, равна нулю. Врассматриваемом контуре четыре узла, они помечены цифрами. Из закона Кирхгофа для узла 1следует, что iE = iR, так как в этот узел втекают токи iE и –iR. Из рассмотрения остальных узловследует, что ток во всем контуре одинаковый:iE = iR = iC = iL = i .Второй закон Кирхгофа утверждает, что сумма напряжений при обходе любого замкнутогоконтура равна нулю (положительные направления двухполюсников должны быть согласованыс направлением обхода).В нашем случае:uE + uR + uC + uL = 0илиdiL + uC + Ri = e ( t )dtИз уравнения емкости следует, чтоdudid 2u=C 2i= C ,dtdtdtВведя обозначение u = uC , получаем окончательноLCu′′ + RCu′ + u = e ( t )Это и есть уравнение RLCE-контура.

В него входит только напряжение емкости u; всеостальные напряжения и токи вычисляются по известному значению u:uL = e ( t ) − u − uR .u R = Ri ,i = Cu ′ ,Заметим, что при R = 0 и e(t ) = 0 полученное уравнение лишь обозначениями отличается отуравнения гармонического осциллятора. Здесь проявляется универсальность языкадифференциальных уравнений: он выявляет существенные связи между разными уравнениями.1.В уравнении контура роль величины ω0 играетLCПример 7: модель биологической системы "хищник-жертва".

Приведем вывод уравнений,описывающих изменение численности двух взаимосвязанных биологических видов: "жертвы"(N1) и "хищника" (N2) по книге известного итальянского математика Вито Вольтерры.Встречающийся в этом выводе термин "коэффициент прироста" обозначает отношение N′/Nскорости изменения численности вида к его численности. В подобных моделях функциюудобно считать гладкой, хотя на самом деле она принимает целочисленные значения и,следовательно, изменяется скачкообразно. Поскольку модель носит приближенный характер,такая интерпретация допустима.Если бы в среде, где обитают эти виды, находился только один из них, а именно жертва,то у него был бы некоторый коэффициент прироста ε1>0. Другой вид (хищник), питающийсятолько жертвой, в предположении, что он существует изолированно, имеет некоторыйкоэффициент прироста –ε2<0.

Когда два такие вида сосуществуют в ограниченной среде,первый будет развиваться тем медленнее, чем больше существует индивидуумов второго вида,а второй — тем быстрее, чем многочисленнее будет первый вид. Гипотеза, довольно простая,состоит в том, что коэффициенты прироста равны соответственноε1 − γ 1 N 2 , ε1 > 0, γ 1 > 0 и −ε 2 + γ 2 N1 , ε 2 > 0, γ 2 > 0 .Это приводит к системе дифференциальных уравнений для описания численности видов:dN1= N1 ( ε1 − γ 1 N 2 )dtdN 2= N 2 ( −ε 2 + γ 2 N1 )dtN1 ( t0 ) = N10 , N 2 ( t0 ) = N 20На практике, при выводе дифференциальных уравнений помимо строгих законов нередкоиспользуются гипотезы и различные приближенные представления.Пример 8: сведение уравнения в частных производных к ОДУ.Уравнение теплопроводности на отрезке с «холодильниками» на концах.

Начальнокраевая задача для температуры u( x, t ) в тонком однородном стержне имеет видграничные условияначальное условие∂u∂ 2u= a 2 2 + f ( x, t ) ,∂t∂xu (0, t ) = 0 , u(l, t ) = 0 ;u( x,0) = ϕ ( x) .(0 < x < l ) ;Рассмотрим два подхода к решению этой задачи, приводящие к ОДУ.1)Преобразование Лапласа. В результате применения преобразования Лапласа, получим+∞ОДУ для образа U ( x, p ) =∫ u ( x, t ) e− ptdt0pU ( x, p ) − ϕ ( x ) = a 2+ F ( x, p ) ,∂x 2U (0, p) = 0 , U (l, p) = 0 ,с граничными условиями+∞где F ( x, p ) =∫ f ( x, t ) e− pt∂ 2U ( x, p )(0 < x < l )dt .0Решая эту задачу и обращая преобразование Лапласа (например, по формуле Меллина)можно получить искомую функцию u ( x, t ) .2)Метод Фурье.Решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводностиможно искать в виде ряда Фурье∞u ( x, t ) = ∑ un ( t )ψ n ( x )n =1по ортонормированной системе {ψ n ( x )} собственных функций задачи Штурма-Лиувилляd 2ψ n+ λnψ n = 0 , (0 < x < l )∂x 2ψ n (0) = 0 ,ψ n (l ) = 0 .Подставив решение в указанном выше виде в исходное уравнение∞∞dun ( t )d 2ψ n ( x )2+ f ( x, t )ψ n ( x ) = a ∑ un ( t )∑dtdx 2n =1n =1и учитывая определение {ψ n ( x )} , получим∞dun ( t )2ψx=−aun ( t ) λnψ n ( x ) + f ( x, t ) .∑∑n( )dtn =1n =1Умножим обе части последнего равенства на {ψ n ( x )} и проинтегрируем по переменной x от 0до l:∞ll∞dun ( t ) l2ψxψxdx=−autλψxψxdx+()()()()()∑∑nknn∫ nk∫0 f ( x, t )ψ k ( x ) dx .dt ∫0n =1n =10∞l⎧0, k ≠ n∫0 ψ n ( x )ψ k ( x ) dx = ⎨⎩1, k = n , и обозначив ϕk = ∫0 ϕ ( x )ψ k ( x ) dx ,lУчитывая условие нормировкиlи f k ( t ) = ∫ f ( x, t )ψ k ( x ) dx , для определения функций uk ( t ) получим ОДУ0с начальным условиемduk ( t )+ a 2 λk uk ( t ) = f k ( t )dtuk (0) = ϕ k(задача Коши).В частности, решение однородного уравнения теплопроводности (при f ( x, t ) ≡ 0 ) сграничными условиями первого рода имеет вид2⎛ π na ⎞⎟ tl ⎠−⎜2 ∞u ( x, t ) =ϕn e ⎝∑l n =1Получите самостоятельно эту формулу.⎛ π nx ⎞sin ⎜⎟.⎝ l ⎠Глава 2.

Уравнения первого порядка.§1.Простейшиепервого порядка.10.случаиинтегрированиядифференциальныхуравненийУравнения с разделяющимися переменными и приводимые к ним.Уравнения вида y′ = f ( x) .Пусть функция f ( x ) – определена и непрерывна на некотором интервале a < x < b . Втаком случае все решения данного дифференциального уравнения определяются формулойy = ∫ f ( x )dx + C . Если заданы начальные условия x0 и y0 , то можно найти постоянную C .Определение.УравнениевиданазываетсяуравнениемсY ( y ) dy = X ( x) dxразделяющимися переменными.Решение.Пусть решение существует.

Тогда, подставляя это решение в записанное вышеуравнение, получим общий интегралd ∫ X ( x)dx − ∫ Y ( y )dy = 0==>X ( x ) dx − Y ( y ) dy = 0 ==>()∫ Y ( y)dy − ∫ X ( x)dx = C ,т.е. уравнение проинтегрировано в квадратурах.В случае задачи Коши с начальным условием y ( x0 ) = y0 , решение определяетсясоотношениемyxy0x0∫ Y (η )dη − ∫ X (ξ )dξ = 0 .Уравнения, сводящиеся к уравнению с разделяющимися переменными.dydyУравненияилиприводятся к уравнениям с= f ( x) g ( y )g ( y)= f ( x)dxdxразделяющимися переменными.Уравнение вида y′ = f (ax + by ) также сводится крассматриваемому типу заменой ax + by = z .Определение.Дифференциальное уравнение y ′ = f ( x, y ) называется однородным, еслиего правая часть удовлетворяет соотношению f ( kx, ky ) = f ( x, y ) .Уравнениевидаявляетсяоднородным,еслиP ( x, y ) dx + Q ( x, y )dy = 0ααP ( kx, ky ) = k P ( x, y ) и Q ( kx , ky ) = k Q ( x , y ) .

Однородное уравнение приводится к уравнениюxyс разделяющимися переменными при помощи замены z =или z = .yxa b⎛ ax + by + c ⎞⎟⎟ при условии Δ =Уравнение вида y ′ = f ⎜⎜≠ 0 сводится кa1 b1⎝ a1 x + b1 y + c1 ⎠однородному заменой переменных x = x0 + t , y = y0 + z , где x0 и y0 – решение системы⎧ax + by + c = 0.⎨⎩a1 x + b1 y + c1 = 020.Линейное уравнение первого порядка.dyОпределение.Уравнение вида+ p ( x) y ( x) = f ( x) называется линейным. В случаеdxf ( x ) ≡ 0 данное уравнение называется линейным однородным.Решение.

Видно, что y ( x) = 0 – решение. Если y ( x) ≠ 0 разделим переменные:dy= − p ( x)dx .yИнтегрируя обе части, получим ln | y |= − ∫ p ( x)dx + C , или | y |= e∫− p ( x ) dx + C=e eC∫− p ( x ) dx.Раскрывая модуль и заменяя ± eC на произвольную константу C , получим окончательноy ( x ) = CeПокажем, что формула y ( x ) = Ce∫− p ( x ) dx∫− p ( x ) dx.дает общее решение задачи. Пусть ϕ ( x ) – любоерешение линейного однородного уравнения первого порядка, т.е.Рассмотрим функцию Φ ( x ) = ϕ ( x ) e∫ p ( x ) dxdϕ ( x )+ p ( x )ϕ ( x ) = 0 .dx.

Тогда∫ p ( x ) dx ⎛ dϕ ( x )⎞ ∫ p ( x ) dxd Φ ( x ) dϕ ( x ) ∫ p ( x ) dx+ ϕ ( x) p ( x) ⎟ e=0e=+ ϕ ( x) p ( x) e=⎜dxdx⎝ dx⎠Следовательно,− ∫ p ( x ) dxdΦ ( x)= 0 ==> Φ ( x ) = C ==> ϕ ( x ) = Ce.dxРешение y ( x) = 0 получается при C = 0 .x−∫ p (ξ ) d ξРешение задачи Коши с начальным условием y ( x0 ) = y0 имеет вид y ( x ) = y0 e x0.В том, что это решение, убеждаемся подстановкой. Единственность следует из единственностипредставления. В частности, при y0 = 0 линейное однородное дифференциальное уравнениепервого порядка имеет только тривиальные решения.Получим теперь общее решение неоднородного линейного ОДУ первого порядкаy′( x ) + p ( x ) y ( x ) = f ( x) .Метод вариации постоянной (метод Лагранжа) (Лагранж Жозеф Луи (1736-1813) - французскийматематик, президент Берлинской Академии Наук, почетный член Петербургской Академии наук (1776)).Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и замене еенулем, т.е.

решается однородное уравнение y ′ + p ( x ) y = 0 . Его общее решение былополучено выше и выглядит так:− p( x )dxy0 ( x ) = Ce ∫.Решение неоднородного уравненияdy+ p ( x) y ( x) = f ( x)dxбудем искать в виде− p ( x ) dx, т.е. формально заменяя постоянную C некоторой функцией отy ( x) = C ( x) e ∫C ( x) вформуле общего решения однородного уравнения. Далее, по правилам дифференцированияпроизведения функций имеемy′ =− p ( x ) dxdy dC ( x ) − ∫ p ( x ) dx.e=− C ( x ) p ( x )e ∫dxdxПодставляя это соотношение в исходное уравнение, получим− p ( x ) dx− p ( x ) dxdC ( x) − ∫ p ( x ) dxe−C ( x ) p ( x ) e ∫+ p ( x )C ( x ) e ∫= f ( x)dxРазделяя переменныеdC − ∫ p ( x ) dxe= f ( x) .dxdC = f ( x)e ∫p ( x ) dxC ( x ) = ∫ f ( x )e ∫p ( x ) dxdx ,найдемdx + C1Подставив последнюю формулу в выражение длялинейного уравнения в виде квадратур:y ( x) , получим общее решение− p ( x ) dx ⎛p ( x ) dx− p ( x ) dxy ( x) = C1e ∫+ ⎜ ∫ f ( x )e ∫dx ⎞⎟ e ∫.⎝⎠Метод Бернулли (Якоб Бернулли (1654-1705) – швейцарский математик).Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в видеdvduпроизведения двух функций y = u ( x )v ( x ) , тогда y ′ = u ⋅ + v ⋅.dxdxПодставляя в исходное уравнение, получаемudvdu+v+ p ( x)uv = f ( x) илиdxdxudv⎛ du⎞+ v⎜+ p ( x)u ⎟ = f ( x) .dx⎝ dx⎠Важное замечание:так как функция y ( x) была представлена в виде произведения,то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, определен неоднозначно.