Н.Н. Нефедов, В.Ю. Попов, В.Т. Волков - Дифференциальные уравнения. Курс лекций, страница 26

Понятие устойчивости разностной схемы.Рассмотрим две разностные схемыhhLh y ( ) = ϕ ( ) (3)Lh z ( h ) = ϕ ( h ) + ε ( h )(4)εεВторую разностную схему (4) называют возмущенной возмущением (h). (в (h). входятвозмущения и правых частей уравнений (3) и начальных условий.) Предполагаем, что решениязадач (3) и (4) существуют и единственны.Определение 6.Разностная схема (3) называется устойчивой, если∃ h0 : ∀ h ≤ h0 :z ( h ) − y ( h ) ≤ C1 ε ( h ) , C1 − constСправедливо утверждение: из аппроксимации и устойчивости разностной схемы следует еесходимость.Теорема 1.

Пусть:1) разностная схема (3) аппроксимирует дифференциальную задачу (1) с порядком k (скоэффициентом C),2) разностная схема (3) устойчива (с коэффициентом С1).Тогда решение разностной задачи (3) сходится к решению дифференциальной задачи (1) спорядком сходимости k, причем верна оценка[ y ]h − y ( h ) ≤ CC1h kДоказательство.hhLh y ( ) = ϕ ( )⇒ Lh [ y ]h = ϕ ( h ) + δϕ ( h ) ,δϕ ( h ) ≤ Ch kВ силу условия 2),[ y ]h ≡ z ( h ) , δϕ ( h ) ≡ ε ( h ) ,⇒ ∃ h0 : ∀h < h0 :⇒ [ y ]h − y (Замечание.h)z( ) − y(≤ C1 δϕ (hh)≤ C1 ε (h)≤ CC1 hh)kПорядок сходимости устойчивой схемы совпадает с порядком аппроксимации.Утверждение 2.Схема Эйлера (2) устойчива.Рассмотрим невозмущенную и возмущенную разностные схемы:Доказательство.⎧ yn +1 − yn⎫− f ( xn , yn ) ⎪ ⎧ 0 ⎫( h) ⎪Lh y = ⎨h⎬ = ⎨ 0 ⎬ ; (n = 0, N − 1)y ⎭⎪⎩⎪⎭ ⎩Ny0ϕ ( h)⎫zn +1 − zn⎪()−fx,z⎧ 0 ⎫ ⎧ε n ⎫nn ⎪⎪⎬ =⎨Lh z ( h ) =h⎬+ ⎨ ⎬⎪z 0 ⎭ ⎩ε 0 ⎭⎩⎪N Nz0⎭⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪ϕ ( h)ε ( h)Обозначим wn=zn-yn⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩zn⎤ ⎫⎪wn +1 − wn ⎡⎢⎪− f ( xn , yn + wn ) − f ( xn , yn ) ⎥ ⎪ ⎧ ⎫h⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ε n ⎪wn :⎣⎦ ⎬⎪ = ⎨⎪ ε ⎬⎪F ( wn )w0Пусть:∂f< K ⇒| F ( wn ) |≤ K | wn |∂y(по формуле Лагранжа конечных приращений)⎪⎪⎪⎪⎭⎩ 0⎭Оценим wn:| wn +1 |≤| wn + hF ( wn ) + hε n |≤≤| wn | + hK | wn | + h | ε n |==| wn | (1 + Kh) + h | ε n |Следовательно,| w1 |≤| w0 | (1 + Kh) + h | ε 0 || w2 |≤| w1 | (1 + Kh) + h | ε1 |≤≤| w0 | (1 + Kh) 2 + h(1 + Kh) | ε 0 | + h | ε1 |"""""""""Аналогично,| wn |≤| w0 | (1 + Kh) n + h(1 + Kh) n −1 | ε 0 | + h(1 + Kh) n − 2 | ε 1 | + " + h | ε n −1 |nУчитывая, что n ≤ N , h =HN, hN = H , 1 < 1 + Kh < (1 + Kh) N| w0 |=| ε 0 |≤ ε ( h ) ,| ε1 |≤ ε ( h ) ,...,| ε n −1 |≤ ε ( h )получим:| wn |≤ ε( h)=H(1 + Kh) (1 + h+ " +h)NN⇐⇒| wn |≤ ε( h)H(1 + H )(1 + Kh) h⇒|wn |≤ ε ( h ) (1+ H )eKH , ∀nПоэтому,∃ h0 : ∀h ≤ h0 :w(h)< C1 ε (h),w( h ) = z ( h ) − y ( h ) , C1 = (1 + H )e KHУстойчивость схемы Эйлера доказана.Следствие.

По теореме 1 порядок сходимости устойчивой схемы совпадает с порядкомаппроксимации, т.е. для схемы Эйлера в силу Утв.1 и аппроксимация, и сходимость первогопорядка.50.Модифицированные методы Эйлера 2–го порядка точности.1) Модифицированный метод Эйлера.⎧ yn +1 = yn + hf 2 ,⎪hh ⎞⎪⎛⎨ f1 = f ( xn , yn ) , f 2 = f ⎜ xn + , yn + f1 ⎟ ,22 ⎠⎝⎪0⎪y = y⎩ 02)Метод Эйлера с пересчетом.h⎧⎪ yn +1 = yn + 2 ( f1 + f 2 ) ,⎪⎨ f1 = f ( xn , yn ) , f 2 = f ( xn + h, yn + hf1 ) ,⎪0⎪ y0 = y⎪⎩60.Классический метод Рунге–Кутты 4–го порядка точности.h⎧⎪ yn +1 = yn + 6 ( f1 + 2 f 2 + 2 f3 + f 4 ) ,⎪⎪ f = f x , y , f = f ⎛ x + h , y + h f ⎞,( n n) 2 ⎜ nn1⎟⎪ 122 ⎠⎝⎨⎪hh ⎞⎛⎪ f3 = f ⎜ xn + , yn + f 2 ⎟ , f 4 = f ( xn + h, yn + hf 3 )22 ⎠⎝⎪⎪ y = y0⎩ 0§ 2.Разностный метод решения краевой задачи.10.Разностная схема краевой задачи.Рассмотрим дифференциальную задачу⎧ y′′ − q ( x) y = f ( x), q ( x) > 0, 0 < x < l ,⎨⎩ y (0) = 0, y (l ) = 0в операторном виде⎧ y′′ − q( x) y ⎫ ⎧ f ( x) ⎫⎪⎪ ⎪⎪Ly = ⎨ y (0) ⎬ = ⎨ 0 ⎬ = ϕ .⎪ y (l ) ⎪ ⎪ 0 ⎪⎩⎭ ⎩⎭Заменяя выражение для второй производной на сетке разностным отношениемyn+1 − yn− yn −hyn−1 yn +1 − 2 yn + yn −1hy′′ ≈=,hh2получим разностную краевую задачу:⎧⎫⎪ yn +1 − 2 yn + yn −1− qn yn ⎪⎪⎪2⎧ fn ⎫⎪⎪h⎪⎪⎪ ⎪(h) ⎪(h)⎪⎬ = ⎨ 0 ⎬=ϕLh y = ⎨y0⎪⎪⎪⎪⎪0⎪yN⎪⎪⎩ ⎭⎪⎪⎪⎩⎪⎭СЛАУ из N+1 уравнения имеет трехдиагональную матрицу.

Схема неявная.20.Порядок аппроксимации разностной схемы для краевой задачи.yn +1 − 2 yn + yn −1 1 ⎡h2h3h 4 ( 4)′′′′′′= 2 ⎢ y ( xn ) + hy ( xn ) + y ( xn ) +y ( xn ) + y ( xn + θ1h ) −h2h ⎢⎣23!4!⎤h2h3h4− 2 y ( xn ) + y ( xn ) − hy′ ( xn ) + y′′ ( xn ) −y′′′ ( xn ) + y ( 4) ( xn − θ 2 h ) ⎥ =23!4!⎥⎦h2= y′′ ( xn ) + ⎡⎣ y ( 4) ( xn + θ1h ) + y ( 4) ( xn − θ 2 h ) ⎤⎦24Второй порядок аппроксимации.30.Метод разностной (алгебраической) прогонки.Рассмотрим метод решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей:An yn +1 − Cn yn + Bn yn −1 + Fn = 0, n = 1, N − 1(1)(y0 = α y1 + β , (2))yN = γ yN −1 + δ ,(3)где условия (2) и (3) задают граничные условия на левом и правом концах интервалаинтегрирования дифференциального уравнения. Предположим:An , Bn , Cn > 0, Cn ≥ An + Bn (4)0 ≤ α < 1, 0 ≤ γ < 1,Для разностной схемы краевой задачи эти условия выполнены.Ищем решение уравнений (1) (значения сеточной функции y(h)) в виде, порожденнымграничным условием (2)):yn −1 = α n yn + β n ,(5)где αn, βn – неизвестные коэффициенты, причемα1 = α , β1 = β .(6)Подставляя (5) в (1), получим СЛАУ относительно yn, yn+1:1 ⋅ yn − α n +1 ⋅ yn +1 = β n +1 ,( Bnα n − Cn ) ⋅ yn + An ⋅ yn +1 = −( Fn + Bn β n )Для любого n имеем тождества, когда коэффициенты пропорциональны:−α n +1β n +11==.Bnα n − CnAn−( Fn + Bn β n )Отсюда находим "прогоночные" коэффициентыAnF + Bn β n(7)α n +1 =, n = 1, N − 1, β n +1 = nCn − Bnα nCn − Bnα n()Замечание.

Докажем, что для любого n выполнено неравенство:0 ≤ αn < 1(8)В самом деле, из (4) следует, чтоCn ≥ An + Bn⇒ Cn = An + Bn + Dn , Dn ≥ 0.из (7)AnAnα n +1 =⇒ α n +1 =Cn − Bnα nAn + [ Bn (1 − α n ) + Dn ](6) и (9)⇒ α1 < 1 ⇒ B1 (1 − α1 ) + D1 > 0 ⇒ α 2 < 1,α 2 < 1 ⇒ B2 (1 − α 2 ) + D2 > 0 ⇒ α 3 < 1,""""""""""""""α n −1 < 1 ⇒ Bn −1 (1 − α n −1 ) + Dn −1 > 0 ⇒ α n < 1.Итак, ∀n : 0 ≤ α n < 1 ⇒ Cn − Bnα n > 0 , так какCn − Bnα n > Cn − Bn ≥ An > 0 по условию (4)."Прямая прогонка".Зная, что n=1: α1 = α , β1 = β (6), находим αN, βN, подставляя в (7) n=N-1.Следовательно, в силу (5) и (3) имеем систему уравнений:⎧ yN −1 = α N yN + β N ,(10)⎨⎩ yN = γ yN −1 + δ .(9)Отсюда, исключая yN-1, находим yN - решение на правом конце интервала интегрированияуравнения:y N = γ (α N y N + β N ) + δ ⇒(11)γβ + δyN = N1 − γα Nгде 1-γαN>0, так как γ<1 и αN<1."Обратная прогонка".Полагая в формуле (5)yn −1 = α n yn + β nпоследовательно n = N , N − 1, " ,1 , находим значения в узлах сетки:yN −1 , yN − 2 , ", y1 , y0 ,а, следовательно, y0 - решение на левом конце интервала интегрирования уравнения..