Н.Н. Нефедов, В.Ю. Попов, В.Т. Волков - Дифференциальные уравнения. Курс лекций, страница 25

Подставив ее в(1), получим:n∑ Xii =1∂Φ=∂xinn −1∑ Xi ∑i =1j =1∂Φ ∂Ψ j=∂Ψ j ∂xi∂Φ∑j =1 ∂Ψ jn −1∂Ψ jn∑Xi =1i∂xi.≡ 0 ∀Ψ j (T .1)Следовательно, z = Ψ ( x1 , x2 ,, xn ) – решение (1).2)Покажем, что любое решение уравнения (1) можно представитьz = Ψ ( x1, x2 , , xn ) . Подставим Ψ , Ψ j , j = 1, 2,..., n − 1 в (1). Получимввиде∂Ψ+∂x1∂Ψ=0∂xn⎫⎪⎪∂Ψ1∂Ψ1⎪+ + Xn=0X1⎪∂x1∂xn⎬⎪⎪∂Ψ n −1∂Ψ n −1⎪+ + Xn=0 ⎪X1∂x1∂xn⎭X1+ Xn– однородная системы линейных алгебраических уравнений относительно функций X 1 ,..., X n .Так как в силу условия(У1) в области D выполненоn∑Xi =12i≠ 0 , то указаннаяоднороднаяСЛАУимеетненулевоерешение,следовательноопределительD ( Ψ , Ψ1 , , Ψ n −1 )Δ=≡ 0 в области D .

Это означает, что функции Ψ, Ψ1 , , Ψ n−1 зависимы,D( x1 , x2 , , xn )т.е. существует функция F такая, что F ( Ψ, Ψ1 ,, Ψ n −1 ) = 0 . Но по условию теоремы якобианD ( Ψ1 , , Ψ n −1 )≠ 0 , поэтому в силу известных результатов математического анализа последнееD( x1 , , xn −1 )уравнение можно разрешить относительно Ψ:z = Ψ = Φ ( Ψ1 ,, Ψ n −1 ) , где Ф – некотораядифференцируемая функция.

Таким образом, функция z = Φ ( Ψ1,решением (1), Ψ n −1 ) является общим.§3. Задача Коши10.Двумерный случай.Зададим некоторую кривую x = x( s ), y = y ( s ) и поставим задачу построения решенияуравнения (1) с дополнительным условием (задача Коши):∂z∂zX 1 ( x, y ) + X 2 ( x, y ) = 0∂x∂y.z x = x( s ) = ϕ ( s )y = y( s )Геометрически это означает, что нужно получить уравнение поверхности z = z ( x, y ) ,удовлетворяющей (1) и проходящей через кривую x = x( s ), y = y ( s ) .Найдем первый интегралΨ1 ( x, y ) = C1 ⇒ Ψ1 ( x( s), y ( s) ) = C1 .Из полученного соотношения выразим параметр s = w1 ( c1 ) и подставим в начальное условие:z = ϕ ⎡⎣ w1 ( c1 ) ⎤⎦c1 =Ψ1 ( x , y ).Если кривая, на которой задается начальная функция, гладкая и не совпадает схарактеристикой, то каждая характеристика уравнения пересекают эту кривую лишь в однойточке.

Так как характеристики заполняют всю рассматриваемую область, то задача Коши имеетединственное решение в этой области: вдоль каждой из характеристик переносится то значениеϕ ( s ) , которое задано на начальной кривой x = x( s ), y = y ( s ) (вдоль характеристики решениепринимает постоянное значение).Если начальная кривая совпадает с характеристикой, то искомого решения может несуществовать вовсе (если ϕ ( s ) ≠ const ), либо оно может быть не единственным (в случаеϕ ( s ) = const ).20.Постановка задачи и схема решения в общем случае.Рассмотрим следующую задачу Кошиn∂zXi ( x)= 0 ( X n ≠ 0, x ∈ D )∑∂xii =1z x = x ( s ,…, sii1n−1), i =1, n= ϕ ( s1 , … , sn −1 )Искомая функция задается на многообразии ко-размерности 1 (размерности n − 1 ) , т.е.на гиперповерхности.Опишем алгоритм построения решения указанной задачи Коши.1)Находим (n-1) независимых первых интегралов (2):⎧Ψ1 ( x1 , , xn ) = C1 ,⎪⎨⎪Ψ⎩ n −1 ( x1 , , xn ) = Cn −12)Подставляем в полученные выражения уравнение многообразияxi = xi ( s1 ,…, sn −1 ) , i = 1, 2,..., n :⎧Ψ1 ( x1 ( s1 , … , sn −1 ) , , xn ( s1 , … , sn −1 ) ) = C1 ,⎪⎪⎨⎪⎪⎩Ψ n −1 ( x1 ( s1 , … , sn −1 ) , , xn ( s1 , … , sn −1 ) ) = Cn −13)4)Исключаем s1 ,, sn −1 , что возможно, т.к.

якобиан отличен от нуля:s1 = w1 ( C1 , , Cn −1 ) , , sn −1 = wn −1 ( C1, , Cn −1 )Ищем решение в виде функции, задающей начальное условие:z = ϕ ( w1 ( C1 , , Cn −1 ) , , wn −1 ( C1 , , Cn −1 ) ) ,Ci = Ψ i ( x1 , , xn ) , i = 1, n − 1Полученная функция и есть решение рассматриваемой задачи Коши. Убедимся в этом.Действительно,1) Это (в силу теоремы.2) - решение уравнения (1), т.к. частный случайz = Φ ( Ψ1, , Ψ n −1 ) .2) Оно удовлетворяет начальному условиюz x = x ( s ,…, s ), i =1,n = ϕ ( s1 ,…, sn −1 )iiЗамечание.1n−1Если начальная кривая z x = x ( s ,…, sii1n−1), i =1, n= ϕ ( s1 ,…, sn −1 ) является характеристикой,то решение задачи Коши либо не однозначно, либо не существует.30 .Примеры.∂z∂z−x =0.∂x∂yНайдем первый интеграл системы для характеристикdx dy=⇒ ydy + xdx = 0 ⇒ d ( x 2 + y 2 ) = 0 ⇒ Ψ1 ( x, y ) = x 2 + y 2 = C .y −xТаким образом, характеристиками являются окружности, и общее решение уравнения имеетвидz = Φ ( C ) C = x2 + y 2 = Φ ( x 2 + y 2 ) .Пример 1.

Рассмотрим линейное уравнение yПример 2.т.е.Рассмотрим теперь задачу Коши∂z∂zy −x =0z x =1, y = s = 1 + s 2 = ϕ ( s ) ,∂x∂yтребуетсянайтиинтегральнуюповерхность,проходящуючерезкривуюz x =1, y = s = 1 + s = ϕ ( s ) (гиперболу).2Подставим x = 1, y = sΨ = x2 + y 2x =1, y = s=Cв полученный в примере 1 интеграл x 2 + y 2 = C и найдем⇒ 1+ s2 = C ⇒s2 = C −1 ⇒z = 1+ C −1 = CC = x2 + y 2= x2 + y2 .Таким образом, решение z = x 2 + y 2 (верхняя часть конуса) задачи Коши существует иединственно.§4.Квазилинейное уравнение.10.Постановка задачи.Определение.Уравнение в частных производных первого порядка∂z∂z(1)X 1 ( x1 , x2 , , xn , z )+ + X n ( x1 , x2 , , xn , z )= X ( x1 , x2 , , xn , z )∂x1∂xnназывается квазилинейным.Будем искать решение z = Ψ ( x1 ,..., xn ) уравнения (1) в неявном виде V ( x1 ,..., xn , z ) = 0 .Предположим, что последнее уравнение можно разрешить относительно z , т.е.

существуетфункция z = Ψ ( x1 ,..., xn ) . Пусть, кроме того ∂V≠ 0 в области D , тогда существуют∂z z =Ψ ( x1 , , xn )∂V∂x∂z=− i .производные∂V∂xi∂zПодставляя в (1) и умножая на ∂V , получим линейное однородное уравнение для∂zфункции V ( x1 ,..., xn , z ) :X 1 ( x1 , x2 ,, xn , z )∂V+∂x1+ X n ( x1 , x2 ,, xn , z )∂V+ X ( x1 , x2 ,∂xn, xn , z )∂V∂z=0(2)z =Ψ ( x1 , , xn )20 .Алгоритм построения решения квазилинейного уравнения..1)Квазилинейному неоднородному уравнению (1) сопоставляется линейное однородноеуравнение (2) относительно функции V ( x1 , x2 ,..., xn , z ) :∂V∂V∂V+ + X n ( x1 , , xn , z )+ X ( x1 , , xn , z )= 0.∂x1∂xn∂zДля полученного уравнения (2) запишем систему уравнений характеристик:dxdx1dz= = n =X1Xn XX 1 ( x1 ,, xn , z )Ее решения - интегральные кривые в пространстве ( x1 ,(3), xn , z ) .2)В соответствии с изложенным выше, ищем общее решение линейного однородногоуравнения (2) в виде функции от n первых интегралов системы (3):Ψ1 ( x1 , , xn , z ) = C1Ψ n ( x1 ,, xn , z ) = Cnв виде V = Φ ( Ψ1 ,, Ψn ) .Формула V = Φ ( Ψ1 ( x1 ,, xn , z ),поставленной задачи в неявном виде.3), Ψ n ( x1,, xn , z ) ) = 0 дает решение z = Ψ ( x1 ,..., xn )Замечание 1.Решения, удовлетворяющие лишь системе (2) называются специальнымии могут не содержаться в полученной формуле.Замечание 2.Схема решения задачи Коши аналогична схеме для линейной задачи.Глава 9.Численные методы.Лекция 14§ 1.Разностныйметоддифференциальных уравнений.ЭйлерарешениязадачиКошидля10.Дифференциальная и разностная задачи Эйлера.Определение 1.Дифференциальной задачей Эйлера называется начальная задача⎧ dy⎫⎪ − f ( x, y ) ⎪ ⎧ 0 ⎫(1)Ly = ⎨ dx⎬ = ⎨ 0⎬ =ϕ⎪⎩ y ( x0 ) ⎪⎭ ⎩ y ⎭Основные определения и обозначения, используемые в дальнейшем:( x0 , x1 , ", xN ) – сетка;xn (n = 0, N ) – узлы сетки;xn +1 − xn = HN = h – шаг сетки;[ y ]h = { y ( x0 ), y ( x1 ), ", y ( xN )} – решение дифференциальной задачи Эйлера (1) в узлах сетки;y ( h ) = ( y0 , y1 , ", y N ) – сеточные функции, определенные на сетке.Заменим производную в узле xn сетки приближенным разностным отношением.y − yn yn +1 − yny′( xn ) ≈ n +1=, ( n = 0,1, ", N − 1)xn +1 − xnhТогда дифференциальная задача (1) заменяется разностной задачей Эйлера:⎧ yn +1 − yn⎫− f ( xn , yn ) ⎪ ⎧ 0 ⎫( h) ⎪(h)(2)Lh y = ⎨h⎬ = ⎨ 0⎬ =ϕy⎩⎭⎪⎩⎪⎭y0Определение 2.Разностная задача (2) называется разностной схемой Эйлера.⎧⎪ yn +1 = yn + hf ( xn , yn ),то это - явная разностная схема.Так как⎨0⎪⎩ y0 = yПредполагается, что решения задач (1) и (2) существуют и единственны.20 .Понятие сходимости сеточных функций.Определение 3.Равномерной (чебышевской) нормой сеточных функций называется( h)y= max | yn |0≤ n≤ NОпределение 4 (сходимости).Решение y(h) разностной задачи (2) сходится при h → 0 крешению дифференциальной задачи (1), если[ y ]h − y (h)h →0→0Если кроме того выполняется неравенство[ y ]h − y ( h ) ≤ Ch k , C > 0, k > 0,то говорят, что имеет место сходимость порядка k.30.

Понятие аппроксимации разностной схемы.Точное решение задачи (1) на сетке [y]h, вообще говоря, не совпадает с решением y(h)разностной задачи (2).Поэтому при подстановке [y]h в (2) возникает невязка δϕ(h):[ y ]h → (2) : Lh [ y ]h = ϕ (h)+ δϕ ( ) ⇐⇒h⇐⇒ δϕ ( h ) = Lh [ y ]h − ϕ ( h )Определение 5 (аппроксимации разностной задачей дифференциальной задачи).Говорят, что разностная задача (2) аппроксимирует дифференциальную задачу (1), если норманевязки стремится к нулю при h → 0 :h→0ϕ (h) → 0Если, кроме того, справедливо неравенство для нормы невязки:ϕ ( h ) ≤ Ch k , C , k − const > 0,то говорят, что имеет место аппроксимация порядка k.Утверждение 1.Схема Эйлера (2) имеет первый порядок аппроксимации.Доказательство.Пусть ∀x ∈ [ x0 , x0 + H ] :| y ′′( x ) |≤ 2C , C − constВычислим и оценим невязку, применив формулу Тейлора⎧ y ( xn + h) − y ( xn )⎫− f ( xn , y ( xn )) ⎪ ⎧⎪ 0 ⎫⎪(h)( h) ⎪δϕ = Lh [ y ]h − ϕ = ⎨h⎬ − ⎨⎪ 0 ⎬⎪ =⎪⎩⎪⎭ ⎩ y ⎭y ( x0 )2⎧ hy′( xn ) + h2 y′′( x∗ )⎫− f ( xn , y ( xn )) ⎪ ⎧⎪ 0 ⎫⎪⎪=⎨h⎬ − ⎨⎪ 0 ⎬⎪ =⎪⎪ ⎩y ⎭y ( x0 )⎩⎭⎧ 1 ′′ ∗ ⎫⎪ y ( x )h ⎪( h)= ⎨2< Ch1⎬ ⇒ δϕ⎪⎩⎪⎭ 0| y ′′ ( x∗ )|≤ 2 Cследовательно, порядок аппроксимации равен 1.40.